Gullstrand–Painlevé koordinatları - Gullstrand–Painlevé coordinates

Gullstrand–Painlevé koordinatları , Schwarzschild metriği için belirli bir koordinat setidir - bir kara deliği tanımlayan Einstein alan denklemlerinin bir çözümü . Giren koordinatlar öyledir ki, zaman koordinatı çok uzaklardan sıfır hızda başlayan serbest düşen bir gözlemcinin uygun zamanını takip eder ve uzamsal dilimler düzdür. Schwarzschild yarıçapında (olay ufku) koordinat tekilliği yoktur. Gidenler, basitçe, gelen koordinatların zamanın tersidir (zaman, sıfır hızla sonsuza ulaşan giden parçacıklar boyunca uygun zamandır).

Çözüm, 1921'de Paul Painlevé ve 1922'de Allvar Gullstrand tarafından bağımsız olarak önerildi . Lemaître'nin makalesinde 1933'e kadar bu çözümlerin olağan Schwarzschild çözümünün basitçe koordinat dönüşümleri olduğu açıkça gösterilmedi , ancak Einstein hemen bunun doğru olduğuna inandı.

türetme

GP koordinatlarının türetilmesi, aşağıdaki koordinat sistemlerinin tanımlanmasını ve bir koordinat sistemindeki olaylar için ölçülen verilerin başka bir koordinat sisteminde nasıl yorumlandığını anlamayı gerektirir.

Kural: Değişkenlerin birimlerinin tümü geometrikleştirilmiştir . Zaman ve kütlenin birimleri metredir. Düz uzay-zamanda ışığın hızı 1 değerine sahiptir. Yerçekimi sabiti 1 değerine sahiptir. Metrik +−−− işaret kuralında ifade edilir .

Schwarzschild koordinatları

Bir Schwarzschild gözlemcisi, uzak bir gözlemci veya muhasebecidir. Farklı yerlerde meydana gelen olayların doğrudan ölçümlerini yapmaz. Bunun yerine kara delikten ve olaylardan çok uzaktadır. Olaylara yerel gözlemciler ölçüm yapmak ve sonuçları kendisine göndermek için görevlendirilir. Muhasebeci çeşitli yerlerden raporları toplar ve birleştirir. Raporlardaki sayılar, olayları küresel olarak değerlendirmek ve açıklamak için sistematik bir araç sağlayan Schwarzschild koordinatlarında verilere dönüştürülür. Böylece fizikçi verileri akıllıca karşılaştırabilir ve yorumlayabilir. Bu verilerden anlamlı bilgiler bulabilir. Schwarzschild koordinatlarını kullanan Schwarzschild metriğinin Schwarzschild formu şu şekilde verilir:

${\displaystyle g=\left(1-{\frac {2M}{r}}\sağ)\,dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{\left(1-{\frac) {2M}{r}}\sağ)}}-r^{2}\,d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2} \,}$

nerede

G=1=c

t , r , θ , φ Schwarzschild koordinatlarıdır,

M kara deliğin kütlesidir.

GP koordinatları

Yeni bir zaman koordinatı tanımlayın

${\displaystyle t_{r}=ta(r)}$

bazı keyfi işlevler için . Schwarzschild metriğinde ikame, bir alır ${\görüntüleme stili bir(r)}$

${\displaystyle g=\left(1-{\frac {2M}{r}}\sağ)\,dt_{r}^{2}+2\left(1-{\frac {2M}{r}} \right)\,a'dt_{r}dr-\left({\frac {1}{1-{\frac {2M}{r}}}}-\left(1-{\frac {2M}{) r}}\sağ)\,{a'}^{2}\sağ)dr^{2}-r^{2}\,d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2 }\theta \,d\phi ^{2}\,}$

nerede . Şimdi çarpma terimi birlik olacak şekilde seçersek , ${\displaystyle a'(r)={\frac {da}{dr}}}$${\görüntüleme stili bir(r)}$${\ Displaystyle Dr^{2}}$

${\displaystyle a'=-{\frac {1}{1-{\frac {2M}{r}}}}{\sqrt {\frac {2M}{r}}}}$

ve metrik olur

${\displaystyle g=\left(1-{\frac {2M}{r}}\sağ)\,dt_{r}^{2}-2{\sqrt {\frac {2M}{r}}}dt_ {r}dr-dr^{2}-r^{2}\,d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\, }$

Uzamsal metrik (yani, metriğin sabit olduğu yüzeydeki kısıtlaması ), küresel kutupsal koordinatlarda ifade edilen düz metriktir. Bu metrik, r=2M olan ufuk boyunca düzenlidir , çünkü zamansal terim sıfıra gitse de, metrikteki köşegen dışı terim hala sıfır değildir ve metriğin hala ters çevrilebilir olmasını sağlar (metriğin determinantı ). ${\displaystyle g|_{t=t_{r}}}$${\görüntüleme stili t_{r}}$${\displaystyle -r^{4}\sin(\theta )^{2}}$

Fonksiyon tarafından verilir ${\görüntüleme stili bir(r)}$

${\displaystyle a(r)=-\int {\frac {\sqrt {\frac {2M}{r}}}}{1-{\frac {2M}{r}}}}dr=2M\left(- 2y+\ln \sol({\frac {y+1}{y-1}}\sağ)\sağ)}$

nerede . Schwarzschild metriğindeki bu tekilliği ortadan kaldırmak için olması gerektiği gibi , fonksiyon r=2M'de açıkça tekildir . ${\displaystyle y={\sqrt {\frac {r}{2M}}}}$${\görüntüleme stili bir(r)}$

Yağmur damlasının hareketi

Bir yağmur damlasını sonsuzda durağan bir kara deliğe doğru radyal olarak dalan bir nesne olarak tanımlayın. Schwarzschild koordinatlarında, bir yağmur damlasının hızı şu şekilde verilir:

${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=-\left(1-{\frac {2M}{r}}\sağ){\sqrt {\frac {2M}{r}}}.\, }$

• r olay ufkuna yaklaştıkça hız 0 olma eğilimindedir. Yağmur damlası, olay ufkuna yaklaştıkça yavaşlamış ve muhasebeci tarafından ölçüldüğü üzere olay ufkunda durmuş gibi görünüyor. Gerçekten de, olay ufkunun dışındaki bir gözlemci, yağmur damlasının gitgide daha yavaş daldığını görecektir. Görüntüleri sonsuz derecede kırmızıya kayıyor ve asla olay ufkunu geçemiyor. Ancak, muhasebeci hızı fiziksel olarak doğrudan ölçmez. Kabuk gözlemcisi tarafından aktarılan verileri Schwarzschild değerlerine çevirir ve hızı hesaplar. Sonuç sadece bir muhasebe girişidir.

GP koordinatlarında, hız şu şekilde verilir:

${\displaystyle {\frac {dr}{dt_{r}}}=\beta =-{\sqrt {\frac {2M}{r}}}.\,}$

• Yağmur damlasının hızı , yarıçapın karekökü ile ters orantılıdır ve negatif Newton kaçış hızına eşittir . Kara delikten çok uzak yerlerde hız son derece küçüktür. Yağmur damlası kara deliğe doğru daldıkça hız artar. Olay ufkunda hız 1 değerine sahiptir. Olay ufkunda süreksizlik veya tekillik yoktur.
• Olay ufkunun içinde, yağmur damlası tekilliğe daha da yaklaştıkça hız artar. Sonunda, tekillikte hız sonsuz hale gelir. Aşağıda gösterildiği gibi hız her zaman ışık hızından daha azdır. Kuantum mekaniği dahil edildiğinde gerçek çözüm oldukça farklı olabileceğinden, sonuçlar tekillikte ve çok yakınında denklem tarafından doğru bir şekilde tahmin edilemeyebilir.${\görüntüleme stili r<2M\,\!}$
• Tekillikle ilgili soruna rağmen, yağmur damlasının ufuktan kara deliğin merkezine seyahat süresini matematiksel olarak hesaplamak hala mümkündür.

Hareket denklemini entegre edin:

${\displaystyle \int _{0}^{T_{r}}\,dt=-\int _{2M}^{0}\left({\sqrt {\frac {2M}{r}}}\sağ )^{-1}\,dr.\,}$ sonuç ${\displaystyle T_{r}={\frac {4}{3}}M.\,}$

Bu sonucu yağmur damlasının hızı için kullanarak, zaman açısından yağmur damlasının yörüngesi boyunca uygun zamanı bulabiliriz . Sahibiz ${\görüntüleme stili t_{r}}$

${\displaystyle d\tau ^{2}=g|_{\text{yörünge}}=dt_{r}^{2}\left[1-{\frac {2M}{r}}+2{\sqrt {\frac {2M}{r}}}{\sqrt {\frac {2M}{r}}}-{\sqrt {\frac {2M}{r}}}^{2}\sağ]=dt_{ r}^{2}}$

Yani yağmur damlalarının yörüngesi boyunca geçen zaman, yörünge boyunca tam olarak uygun zamandır. GP koordinatları, uzamsal yüzeylerin düz olmasını talep etmek yerine bu gereksinimle tanımlayabilirdi. ${\görüntüleme stili t_{r}}$

Yakından ilişkili bir koordinatlar dizisi, "radyal" koordinatın yağmur damlalarının yolları boyunca sabit olarak seçildiği Lemaître koordinatlarıdır. Yana r yağmur damlaları düşmeye olarak değişir GP metrik zaman bağımsız iken, bu metrik zamana bağlıdır.

Yukarıda f(r) fonksiyonunu yukarıda seçtiklerimizin negatifi olarak alırsak elde edilen metriğe GP koordinat sistemi de denir. Metrikteki tek değişiklik, çapraz terim değişikliklerinin işaretidir. Bu metrik, giden yağmur damlaları için normaldir - yani kara deliği terk eden ve sonsuzdaki hızları sıfır olacak şekilde sadece kaçış hızıyla dışarı doğru hareket eden parçacıklar. Olağan GP koordinatlarında, bu tür parçacıklar r<2M için tanımlanamaz . Bunlar için bir sıfır değerine sahip olarak , r = 2 M . Bu, Schwarzschild kara deliğinin iki ufkunun, bir geçmiş ufku ve bir gelecek ufkunun olduğunun bir göstergesidir. GP koordinatlarının Orijinal biçimi, gelecek ufku boyunca (parçacıkların bir kara deliğe düştüklerinde düştüğü yer) düzenliyken, alternatif negatif versiyon geçmiş ufuk boyunca (parçacıkların kara delikten dışarı çıkarlarsa) düzenlidir. Bu yüzden). ${\displaystyle {\frac {dr}{dt_{r}}}}$

Kruskal-Szekeres koordinatları zamanında koordine metrik kuvvetle bağımlı hale pahasına her iki ufuklar karşısında düzenlidir.

ışık hızları

Radyal hareket varsayalım. Işık için, Bu nedenle, ${\görüntüleme stili d\tau =0.}$

${\displaystyle 0=\left(dr+\left(1+{\sqrt {\frac {2M}{r}}}\ \sağ)dt_{r}\sağ)\left(dr-\left(1-{ \sqrt {\frac {2M}{r}}}\ \sağ)\,dt_{r}\sağ),}$

${\displaystyle {\frac {dr}{dt_{r}}}=\pm 1-{\sqrt {\frac {2M}{r}}}.}$

• Çok uzak kara delikten yerlerde, ışığın hızı 1, özel görelilik aynıdır.${\displaystyle r\to \infty ,{\tfrac {dr}{dt_{r}}}=\pm 1.}$
• Olay ufkunda, kara deliğin merkezinden dışarıya doğru parlayan ışığın hızı olay ufkundan kaçamaz. Bunun yerine olay ufkunda takılıp kalıyor. Işık diğerlerinden daha hızlı hareket ettiğinden, madde yalnızca olay ufkunda içe doğru hareket edebilir. Olay ufkunun içindeki her şey dış dünyadan gizlenir.${\görüntüleme stili r=2M,}$${\displaystyle {\tfrac {dr}{dt_{r}}}=0.}$
• Olay ufkunun içinde, yağmur gözlemcisi ışığın merkeze doğru 2'den daha büyük bir hızla hareket ettiğini ölçer. Özel görelilikte bile, hareket eden bir cismin uygun hızı, ${\görüntüleme stili r<2M,}$

  ${\displaystyle {\frac {dr_{ff}}{d\tau }}={\frac {v}{\sqrt {1-v^{2}}}}\geq 1.}$

Dikkate alınması gereken iki önemli nokta vardır:

1. Hiçbir nesne, aynı referans çerçevesinde ölçülen ışık hızından daha yüksek hıza sahip olmamalıdır. Böylece nedensellik ilkesi korunur. Gerçekten de yağmur damlasının hızı ışığın hızından daha azdır:${\displaystyle {\frac {\sol({\dfrac {dr}{dt_{r}}}\sağ)_{\text{yağmur damlası}}}{\left({\dfrac {dr}{dt_{r} }}\sağ)_{\text{light}}}}={\frac {\sqrt {\dfrac {2M}{r}}}}{1+{\sqrt {\dfrac {2M}{r}}} }}<1.}$
2. Olay ufkundan karadeliğin merkezine doğru parlayan ışığın seyahat süresi, ışık hızı denkleminin integrali alınarak elde edilebilir,

${\displaystyle \int _{0}^{T_{r}}\,dt=-\int _{2M}^{0}\left({\sqrt {\frac {2M}{r}}}+1 \sağ)^{-1}\,dr.}$

sonuç ${\displaystyle T_{r}=4M\ln 2-2M\yaklaşık 0.77M.}$

1. Tipik boyutu 3 güneş kütlesi olan bir yıldız kara deliğinin ışık yolculuk süresi yaklaşık 11 mikrosaniyedir.
2. Samanyolu'nun merkezinde yer alan ve kütlesi 3,7 milyon güneş kütlesi olan süper kütleli kara delik Sagittarius A* için dönme etkileri göz ardı edildiğinde , ışık seyahat süresi yaklaşık 14 saniyedir.
3. Başak Kümesi'ndeki dev bir eliptik gökada olan Messier 87'nin merkezindeki süper kütleli kara delik, bilinen en büyük kara deliktir. Yaklaşık 3 milyar güneş kütlesi kütlesine sahiptir. Işığın böyle süper kütleli bir kara deliğin merkezi tekilliğine ulaşması yaklaşık 3 saat ve yağmur damlası için 5 saat sürer.

Bir yağmur gözlemcisinin evrene bakışı

Kara deliğe dalan bir yağmur gözlemcisi tarafından görüldüğü gibi evren nasıl görünüyor? Görünüm aşağıdaki denklemlerle açıklanabilir:

${\displaystyle \cos {\boldsymbol {\Phi }}_{r}={\frac {dr_{r}}{dt_{r}}}={\frac {{\sqrt {\dfrac {2M}{r} }}}+\cos {\boldsymbol {\Phi }}_{s}}{1+{\sqrt {\dfrac {2M}{r}}}\ \cos {\boldsymbol {\Phi }}_{s }}},\,}$

${\displaystyle \cos {\boldsymbol {\Phi }}_{s}={\frac {dr_{s}}{dt_{s}}}=\pm {\sqrt {1-\left(1-{\ frac {2M}{r}}\sağ){\frac {{\mathit {I}}^{2}}{r^{2}}}}},\,\!}$

${\displaystyle \phi ={\mathit {I}}\int _{r_{0}}^{\infty }{\frac {dr}{r^{2}\ \cos {\boldsymbol {\Phi }} _{s}}},\,\!}$

nerede

${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}_{r},\ {\boldsymbol {\Phi }}_{s}\,\!}$ radyal olarak dışa doğru yöne göre yağmur gözlemcisinin ve kabuk gözlemcisinin görüş açılarıdır.

${\görüntüleme stili \\phi \,\!}$ uzak yıldız ile radyal olarak dışa doğru yön arasındaki açıdır.

${\görüntüleme stili {\mathit {I}}\,\!}$   etki parametresidir. Gelen her ışık ışını, sonsuzda karşılık gelen bir ışına geri döndürülebilir. Gelen ışık ışını için Etki parametresi, sonsuzdaki karşılık gelen ışın ile doğrudan kara deliğe dalan ona paralel bir ışın arasındaki mesafedir.

Küresel simetri nedeniyle, ışığın yörüngesi her zaman kürenin merkezinden geçen bir düzlemde bulunur. varsayarak metriği basitleştirmek mümkündür . ${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2}}\,\!}$

Darbe parametresi , yağmur gözlemcisinin r-koordinatı ve görüş açısı bilinerek hesaplanabilir . Daha sonra uzak yıldızın gerçek açısı , sayısal olarak sonsuza kadar integre edilerek belirlenir . Numune sonuçlarının bir grafiği sağda gösterilmektedir. ${\görüntüleme stili {\mathit {I}}\,\!}$${\görüntüleme stili r_{0}\,\!}$${\displaystyle \ {\boldsymbol {\Phi }}_{r0}\,\!}$${\görüntüleme stili \\phi \,\!}$${\görüntüleme stili dr\,\!}$${\görüntüleme stili r_{0}\,\!}$

• At r / M = 500, kara delik çok uzaklarda hala. Gökyüzünde ~ 1 derecelik bir çap açısına sahiptir. Kara deliğin varlığı, doğrudan arkasındaki yıldızlar dışında, yıldızlarda pek bozulma olmaz. Kütleçekimsel merceklenme nedeniyle , bu engellenen yıldızlar şimdi arkadan 5 derece sapıyor. Bu yıldızlar ve kara delik arasında, yıldızların ikincil görüntülerinden oluşan dairesel bir bant bulunur. Yinelenen görüntüler kara deliğin tanımlanmasında etkilidir.
• r/M = 30'da kara delik çok daha büyük hale geldi ve gökyüzünde ~15 derecelik bir çap açısına yayıldı. İkincil görüntülerin bandı da 10 dereceye yükseldi. Artık, bir zamanlar kara deliğin etrafında dönen ışık ışınları tarafından üretilen, bantta soluk üçüncül görüntüler bulmak mümkün. Birincil görüntüler gökyüzünün geri kalanında daha sıkı bir şekilde dağıtılır. Dağılım modeli daha önce sergilenene benzer.
• Olay ufku olan r/M = 2'de kara delik artık gökyüzünün önemli bir bölümünü kaplıyor. Yağmur gözlemcisi, zifiri karanlık olan radyal olarak içe doğru 42 dereceye kadar olan bir alanı görecektir. İkincil ve üçüncül görüntülerin bandı artmak yerine 5 dereceye kadar küçülmüştür. Sapmaları etkisi artık oldukça baskındır. Dalma hızı ışık hızına ulaştı. Birincil görüntülerin dağıtım modeli büyük ölçüde değişiyor. Birincil görüntüler bandın sınırına doğru kayıyor. Grubun yakınındaki kenar şimdi yıldızlarla dolu. Doppler etkisi nedeniyle , orijinal olarak yağmur gözlemcisinin arkasında bulunan yıldızların birincil görüntüsü, görüntüleri belirgin şekilde kırmızıya kaydırılırken, öndekiler maviye kaydırılır ve çok parlak görünür.
• r/M=0.001'de, uzak yıldız açısına karşı görüş açısı eğrisi, 90 derecelik görüş açısında bir dik açı oluşturuyor gibi görünüyor. Neredeyse tüm yıldız görüntüleri, radyal olarak içe doğru 90 derecelik dar bir halkada toplanmıştır. Halka ve radyal olarak içe doğru yön arasında devasa kara delik bulunur. Karşı tarafta ise sadece birkaç yıldız hafifçe parlıyor.
• Yağmur gözlemcisi tekilliğe yaklaştıkça , ve . Kara deliğin etrafındaki ışığın çoklu yörüngelerinin neden olduğu yıldızların çoğu ve görüntüleri, 90° görüş açısında dar bir banda sıkıştırılır. Gözlemci, karanlık gökyüzünü ikiye bölen muhteşem bir parlak yıldız halkası görür.${\görüntüleme stili r\sağ ok 0\,\!}$${\displaystyle \cos {\boldsymbol {\Phi }}_{r}\rightarrow {\sqrt {\frac {r}{2M}}}\,\!}$

Tarih

Hem Painlevé hem de Gullstrand bu çözümü, Einstein'ın teorisinin, küresel bir cismin yerçekimi alanı için birden fazla çözüm sunduğu ve dahası farklı fizik verdiği için eksik olduğunu iddia etmek için kullandılar (çubukların uzunluklarının bazen daha uzun ve bazen daha kısa olabileceğini savundular). teğet yönlerden daha radyal). Painlevé'nin önerisinin "hilesi", artık tam bir ikinci dereceden (statik) forma bağlı kalmaması, bunun yerine, metrik formu artık statik değil, durağan ve artık yön simetrik değil, tercihen yönelimli yapan bir çapraz zaman-uzay çarpımına izin vermesiydi.

İkinci, daha uzun bir makalede (14 Kasım 1921), Painlevé, metriğin genel bir küresel simetrik formu için Einstein'ın denklemlerini doğrudan çözerek çözümünü nasıl elde ettiğini açıklıyor. Makalesinin sonucu olan denklem (4), r koordinatının iki keyfi fonksiyonuna bağlıydı ve çift sonsuz çözüm üretti. Artık bunların hem zaman hem de radyal koordinatların çeşitli seçimlerini temsil ettiğini biliyoruz.

Painlevé, çözümünü tanıtmak için Einstein'a yazdı ve Einstein'ı bir tartışma için Paris'e davet etti. Einstein'ın cevap mektubunda (7 Aralık), yakın zamanda ziyaret edecek durumda olmadığı için özür diledi ve Painlevé'nin argümanlarından neden memnun olmadığını açıklayarak koordinatların hiçbir anlamı olmadığını vurguladı. Sonunda, Einstein Nisan ayı başlarında Paris'e geldi. 5 Nisan 1922'de, "Collège de France"da Painlevé, Becquerel, Brillouin, Cartan, De Donder, Hadamard, Langevin ve Nordmann ile "sonsuz potansiyeller" üzerine bir tartışmada, Einstein, ikinci dereceden olmayan çapraz terim karşısında şaşırdı. line öğesinde Painlevé çözümünü reddetti.

Ayrıca bakınız

• izotropik koordinatlar
• Eddington-Finkelstein koordinatları
• Kruskal-Szekeres koordinatları
• Lemaitre koordinatları

Referanslar

• Misner, Thorne, Wheeler (1973). yerçekimi . WH Freeman ve Şirketi. ISBN'si 0-7167-0344-0.CS1 bakımı: birden çok ad: yazar listesi ( bağlantı )

Dış bağlantılar

• Kara Deliklerin Nehir Modeli
• Andrew JS Hamilton'ın "Inside Black Holes" videosu
• GP koordinatlarında kara delik yörünge simülasyonu.