İntegral geometri - Integral geometry

Gelen matematik , yekpare geometri teorisi önlemleri altında geometrik boşluk değişmez üzerinde simetri grubunun bu alanı. Daha yakın zamanlarda, anlam, bir geometrik uzaydaki fonksiyonların uzayından başka bir geometrik uzaydaki fonksiyonların uzayına değişmez (veya eşdeğer ) dönüşümlerin bir görünümünü içerecek şekilde genişletildi . Bu tür dönüşümler genellikle Radon dönüşümü ve genellemeleri gibi integral dönüşümler biçimini alır .

klasik bağlam

İntegral geometri ilk olarak geometrik olasılık teorisinin belirli ifadelerini düzeltme girişimi olarak ortaya çıktı . Erken eser Luis Santalo ve Wilhelm Blaschke bu bağlamda oldu. Bir düzlem eğrisinin uzunluğunu , rastgele bir çizgiyle kesişme sayısının bir beklentisi olarak ifade eden klasik Crofton teoreminden çıkar . Burada 'rastgele' kelimesi doğru simetri değerlendirmelerine tabi olarak yorumlanmalıdır.

Düzlemin afin grubunun etki ettiği bir örnek çizgi uzayı vardır . Bu uzayda simetri grubu altında değişmeyen bir olasılık ölçüsü aranır. Bu durumda olduğu gibi, böyle benzersiz bir değişmez ölçü bulabilirsek, o zaman bu, 'rastgele doğru'nun ne anlama geldiğini doğru bir şekilde formüle etme sorununu çözer ve bu ölçü ile ilgili olarak beklentiler integral olur. (Örneğin, 'bir dairenin rastgele akoru' ifadesinin bazı paradokslar oluşturmak için kullanılabileceğini unutmayın - örneğin Bertrand'ın paradoksu .)

Bu nedenle, bu anlamda bu yekpare geometri uygulanmasıdır söyleyebiliriz olasılık teorisi (şekilde tarafından axiomatized Kolmogorov bağlamında) Erlangen programı arasında Klein . Teorinin içeriği , Lie gruplarının (tercihen kompakt ) homojen uzayları üzerindeki değişmez (düz) ölçülerin içeriğidir ; ve diferansiyel formların integrallerinin değerlendirilmesi .

Çok ünlü bir örnek Buffon'un iğnesi problemidir : tahtalardan yapılmış bir zemine bir iğne bırakın ve iğnenin bir çatlağın üzerinde olma olasılığını hesaplayın. Genelleme yaparak, bu teori geometrik ve insidans sorularıyla ilgili çeşitli stokastik süreçlere uygulanır . Stokastik geometriye bakın .

Bu integral geometri biçimindeki en ilginç teoremlerden biri, Öklid ortamında Hadwiger teoremidir . Daha sonra Hadwiger tipi teoremler, değerleme teorisinden gelişmiş araçlar kullanılarak, özellikle hermit geometrisinde, çeşitli ortamlarda kuruldu .

Daha yeni anlam integral geometri ait olduğunu Sigurdur Helgason ve İsrail Gelfand . Radon dönüşümünde modellenen integral dönüşümlerle daha spesifik olarak ilgilenir . Burada, altta yatan geometrik geliş ilişkisi (Crofton'un durumunda doğrular üzerinde uzanan noktalar) daha serbest bir ışıkta, geliş grafiği üzerine geri çekme ve ardından ileri itme olarak oluşturulmuş bir integral dönüşümün yeri olarak görülmektedir .

Notlar

Referanslar