Altın üçgen (matematik) - Golden triangle (mathematics)

Altın bir üçgen. a/b oranı altın oran φ'dir. Köşe açısı . Taban açılarının her biri 72°'dir.${\displaystyle \theta =36^{\circ }}$

Altın cüce.

Bir altın üçgen da adlandırılan, üstün bir üçgen , bir bir ikizkenar üçgen çoğaltılmış yan içinde olduğu altın oranı taban tarafına: ${\görüntüleme stili \varphi }$

${\displaystyle {a \b üzerinde}=\varphi ={1+{\sqrt {5}} \2 üzerinde}\yaklaşık 1.618~034~.}$

açılar

• Köşe açısı :

${\displaystyle \theta =2\arcsin {b \over 2a}=2\arcsin {1 \over 2\varphi }=2\arcsin {{{\sqrt {5}}-1} \4'ün üzerinde}={\ pi \5'in üzerinde}~{\text{rad}}=36^{\circ }.}$

Dolayısıyla altın üçgen bir dar (ikizkenar) üçgendir.

• Bir üçgenin açıları toplamı radyan olduğundan, taban açılarının her biri (CBX ve CXB):${\görüntüleme stili\pi }$

${\displaystyle \beta ={{\pi -{\pi \5'ten fazla}} \2'den fazla}~{\text{rad}}={2\pi \5'ten fazla}~{\text{rad}}=72 ^{\circ }.}$

Not:

${\displaystyle \beta =\arccos \left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\sağ)\,{\text{rad}}={2\pi \üzer 5} ~{\text{rad}}=72^{\circ }.}$

• Altın üçgen benzersiz bir şekilde, üç açısı 1: 2: 2 (36°, 72°, 72°) oranında olan tek üçgen olarak tanımlanır.

Diğer geometrik şekillerde

• Normal pentagramların sivri uçlarında altın üçgenler bulunabilir .
• Altın üçgenler, herhangi iki bitişik köşeyi merkeze bağlayarak, düzgün bir ongen , bir eşkenar ve eşkenar on kenarlı çokgen içinde de bulunabilir . Bunun nedeni: 180(10−2)/10 = 144° iç açıdır ve onu tepe noktasından merkeze ikiye bölmek: 144/2 = 72°.
• Ayrıca, birkaç dodekahedron ve ikosahedron yıldızlarının ağlarında altın üçgenler bulunur .

Logaritmik sarmal

Logaritmik bir sarmalda yazılı altın üçgenler

Altın üçgen, logaritmik bir spiralin bazı noktalarını oluşturmak için kullanılır . Taban açılarından birini ikiye bölerek, sırayla başka bir altın üçgen oluşturan yeni bir nokta oluşturulur. İkiye bölme işlemi, sonsuz sayıda altın üçgen oluşturarak süresiz olarak devam ettirilebilir. Köşelerden logaritmik bir spiral çizilebilir. Bu spiral aynı zamanda René Descartes tarafından ortaya atılan bir terim olan eş köşeli spiral olarak da bilinir . "Kutuptan eğri üzerindeki herhangi bir noktaya doğru bir çizgi çizilirse, eğriyi tam olarak aynı açıyla keser", dolayısıyla eşaçılıdır .

altın cüce

Robinson üçgenlerinde ikiye bölünmüş altın üçgen: altın bir üçgen ve altın bir cüce.

Normal pentagram . Her köşe altın bir üçgendir. Figürde ayrıca birbirine bitişik olmayan iki köşenin "küçük" merkezi beşgenin birleştirilmesiyle yapılmış beş "büyük" altın gnomon bulunmaktadır. "Büyük" beşgenin beş kenarını pentagramın etrafına çizmek beş "küçük" altın cüce yapar.

Yakından altın altın üçgen olan ilgili gnomon taban uzunluğuna eşit yan uzunluklarının oranı olan ikizkenar üçgen, karşılıklı bir altın oranı . ${\displaystyle {\tfrac {1}{\varphi }}}$ ${\görüntüleme stili \varphi }$

"Altın üçgenin taban uzunluğunun kenar uzunluğuna oranı altın bölüme φ eşittir, oysa altın gnomonun kenar uzunluğunun taban uzunluğuna oranı altın bölüme φ eşittir."

${\displaystyle {a' \over b'}={1 \üstü\varphi }={{{\sqrt {5}}-1} \2'den fazla}\yaklaşık 0.618034.}$

açılar

( Şekilde görüldüğü gibi, AX ve CX mesafelerinin her ikisi de a ′ = a = φ ve AC mesafesi b ′ = φ²'dir.)

• Tepe açısı AXC:

${\displaystyle \theta '=2\arcsin {b' \over {2a'}}=2\arcsin {{\varphi ^{2}} \over {2\varphi }}=2\arcsin {{1+{ \sqrt {5}}} \4'ün üzerinde}={3\pi \5'in üzerinde}~{\text{rad}}=108^{\circ }.}$

Dolayısıyla altın cüce geniş (ikizkenar) bir üçgendir.

${\görüntüleme stili (}$Not: ${\displaystyle \theta '=\arccos \left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{4}}\sağ)\,{\text{rad}}={3\pi \ üzeri 5 }~{\text{rad}}=108^{\circ }.)}$

• AXC üçgeninin açılarının toplamı radyan olduğundan, CAX ve ACX taban açılarının her biri:${\görüntüleme stili\pi }$

${\displaystyle \beta '=\theta ={\pi -{3\pi \5'ten fazla} \2'den fazla}~{\text{rad}}={\pi \5'ten fazla}~{\text{rad}} =36^{\circ }.}$

Not: ${\displaystyle \beta '=\theta =\arccos \left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}\sağ)\,{\text{rad}}={\pi \ 5'ten fazla}~{\metin{rad}}=36^{\circ }.}$

• Altın gnomon benzersiz bir şekilde üç açısı 1 : 1: 3 (36°, 36°, 108°) oranında olan bir üçgen olarak tanımlanır. Taban açıları, her biri altın üçgenin tepe noktasıyla aynı olan 36°'dir.

Biseksiyonlar

• Taban açılarından birini 2 eşit açıya bölerek, bir altın üçgen, bir altın üçgen ve bir altın gnomon olarak ikiye bölünebilir.
• Tepe açısını biri diğerinin iki katı olmak üzere 2 açıya bölerek, altın bir gnomon, bir altın üçgen ve bir altın gnomon olarak ikiye bölünebilir.
• Bir altın gnomon ve eşit kenar uzunlukları birbirine uyan altın bir üçgen, geniş ve dar Robinson üçgenleri olarak da adlandırılır.

Fayanslar

• Bir altın üçgen ve iki altın cüce, düzgün bir beşgen döşer .
• Bu ikizkenar üçgenler, Penrose döşemelerini üretmek için kullanılabilir . Penrose karoları uçurtma ve dartlardan yapılmıştır. İki altın üçgenden bir uçurtma, iki cüceden bir dart yapılır.

Ayrıca bakınız

• altın dikdörtgen
• altın eşkenar dörtgen
• Kepler üçgeni
• Kimberling'in altın üçgeni
• Pisagor Udası
• Pentagram
• Altın üçgen (kompozisyon)

Referanslar

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric W. "Altın Üçgen" . Matematik Dünyası .
• Weisstein, Eric W. "Altın cüce" . Matematik Dünyası .
• Tilings Ansiklopedisi'nde Robinson üçgenleri
• Öklid'e göre altın üçgen
• Giorgio Pietrocola tarafından Tartapelago'daki altın üçgenlerin olağanüstü karşılıklılığı