Geometrik hayal kırıklığı - Geometrical frustration

İçinde yoğun madde fizik terimi geometrik engellenme (veya kısaca: engellenme ) bir olayını belirtir atomuna önemsiz olmayan pozisyonlara ya da burada yapışma eğilimi, düzenli üzerinde kristal kafesinde , atomlar arası kuvvetler çakışan (her biri oldukça basit lehine , ancak farklı yapılar) oldukça karmaşık yapılara yol açar. Geometrideki veya kuvvetlerdeki engelin bir sonucu olarak, sıfır sıcaklıkta çok sayıda farklı zemin durumu ortaya çıkabilir ve daha yüksek sıcaklıklarda olağan termal sıralama bastırılabilir. Üzerinde çok çalışılan örnekler amorf malzemeler, camlar veya seyreltik mıknatıslardır .

Manyetik sistemler bağlamında hayal kırıklığı terimi Gerard Toulouse (1977) tarafından tanıtıldı . Gerçekten de, hüsrana uğramış manyetik sistemler daha önce de çalışılmıştı. Erken çalışma ilişkin bir araştırmayı içerir Ising modelinin en yakın-komşu ile bir üçgen örgüde spinleri birleştiğinde antiferromagnetically tarafından, GH Wannier ile 1950 İlgili özellikler yayımlanan mıknatıslar meydana rakip etkileşimler çiftleri arasında, hem ferromanyetik hem de antiferromanyetik kaplinler spin veya manyetik momentler, dönüşlerin ayrılma mesafesine bağlı olarak etkileşim tipi ile mevcuttur. Bu durumda , özellikle A. Yoshimori, TA Kaplan, RJ Elliott ve 1959'da başlayan diğerleri tarafından, nadir toprak metalleri üzerindeki deneysel bulguları tanımlamak için başlangıçta tartışıldığı gibi, sarmal dönüş düzenlemeleri gibi ölçülebilirlik sonuçlanabilir . Hayal kırıklığına uğramış veya rekabet halindeki etkileşimlere sahip bu tür döndürme sistemlerine yeniden ilgi, yaklaşık yirmi yıl sonra, 1970'lerde başlayarak, döndürme camları ve uzamsal olarak modüle edilmiş manyetik üst yapılar bağlamında ortaya çıktı . Döndürme camlarında, deneysel olarak, stokiyometrik olmayan manyetik alaşımlarda meydana gelebileceği gibi, etkileşimlerdeki stokastik düzensizlik hayal kırıklığını artırır . Dikkatle analiz edilen ve hayal kırıklığı yaratan dönüş modelleri arasında, dönüş gözlüklerini tanımlayan Sherrington-Kirkpatrick modeli ve ölçülebilir manyetik üst yapıları tanımlayan ANNNI modeli bulunur .

Manyetik sıralama

Şekil 1: Üçgen bir düzenlemede antiferromanyetik olarak etkileşen spinler

Şekil 2: Bir tetrahedral düzenlemede antiferromanyetik olarak etkileşen dönüşler

Şekil 3: Bir tetrahedronun kolay eksenleri boyunca döner

Şekil 4: Bir tetrahedronda hüsrana uğramış kolay dönüşler

Geometrik hüsran, spinlerin göreli düzenlenmesinden kaynaklanan manyetizmanın önemli bir özelliğidir . Şekil 1'de basit bir 2B örnek gösterilmiştir. Üç manyetik iyon, aralarında antiferromanyetik etkileşimler bulunan bir üçgenin köşelerinde bulunur ; enerji, her dönüş komşulara zıt olarak hizalandığında en aza indirilir. İlk iki dönüş ters paralel olarak hizalandığında, üçüncüsü hüsrana uğrar çünkü yukarı ve aşağı iki olası yönü aynı enerjiyi verir. Üçüncü spin, diğer ikisi ile olan etkileşimlerini aynı anda en aza indiremez. Bu etki her dönüş için gerçekleştiğinden, temel durum altı kat dejeneredir . Sadece tüm dönüşlerin yukarı veya aşağı olduğu iki durum daha fazla enerjiye sahiptir.

Benzer şekilde, üç boyutta, bir tetrahedron (Şekil 2) içinde düzenlenmiş dört dönüş, geometrik hüsrana uğrayabilir. Spinler arasında antiferromanyetik bir etkileşim varsa, spinleri, spinler arasındaki tüm etkileşimler antiparalel olacak şekilde düzenlemek mümkün değildir. Altı en yakın komşu etkileşimi vardır, bunlardan dördü paralel olmayan ve bu nedenle olumlu, ancak ikisi (1 ile 2 arasında ve 3 ile 4 arasında) olumsuzdur. Tüm etkileşimlerin olumlu olması imkansızdır ve sistem hüsrana uğramıştır.

Spinler doğrusal olmayan bir şekilde düzenlenirse geometrik engel de mümkündür . Her bir köşesi kolay eksen boyunca (yani, doğrudan doğruya veya merkezden uzağa doğru) işaret eden bir dönüşü olan bir tetrahedron düşünürsek , o zaman dört dönüşü net bir dönüş olmayacak şekilde düzenlemek mümkündür (Şekil 3). Bu, her bir spin çifti arasında bir antiferromanyetik etkileşime sahip olmakla tam olarak eşdeğerdir, bu nedenle bu durumda geometrik engel yoktur. Bu eksenlerle, komşular arasında enerjinin paralel dönüşlerle en aza indirildiği bir ferromanyetik etkileşim varsa, geometrik hayal kırıklığı ortaya çıkar . Mümkün olan en iyi düzenleme Şekil 4'te gösterilmiştir, iki dönüş merkeze ve iki dönüş uzağa işaret etmektedir. Net manyetik moment yukarıyı gösterir, bu yönde ferromanyetik etkileşimleri maksimuma çıkarır, ancak sol ve sağ vektörler, ileri ve geri olduğu gibi birbirini götürür (yani, antiferromanyetik olarak hizalanır). İki dönüşlü ve iki dönüşlü üç farklı eşdeğer düzenleme vardır, bu nedenle temel durum üç kat dejeneredir.

matematiksel tanım

Matematiksel tanımı (sözde ve benzer basit Wilson döngü olarak kuantum ) bir formunun, örneğin ifadeleri ( "toplam enerjisi" ya da "Hamiltoniyenler") için dikkate

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{G}-I_{k_{\nu },k_{\mu }}\,\,S_{k_{\nu }}\cdot S_{k_{ \mu }}\,,}$

burada G dikkate alınan grafiktir, oysa I _{k ν , k μ} miktarları en yakın komşular arasındaki "değişim enerjileri" olarak adlandırılır ve (değerlendirilen enerji birimlerinde) ±1 değerlerini alır (matematiksel olarak bu bir işarettir. grafik ), S _{k ν} · S _{k μ} ise skaler veya vektörel dönüşlerin veya sözde dönüşlerin iç ürünleridir. Grafik halinde G, ikinci dereceden sahip ya da üçgen dönük P , sözde "plaket değişkenleri" P _W tür aşağıdakilerden "çevrim-ürünler", görünür:

${\displaystyle P_{W}=I_{1,2}\,I_{2,3}\,I_{3,4}\,I_{4,1}}$ve sırasıyla,${\displaystyle P_{W}=I_{1,2}\,I_{2,3}\,I_{3,1}\,,}$

Bunlara "hayal kırıklığı ürünleri" de denir. Bu ürünler üzerinde, tüm plaketlerin üzerinde bir toplam yapmak gerekir. Tek bir plaket için sonuç ya +1 ya da -1'dir. Son bahsedilen durumda, plaket "geometrik olarak hüsrana uğramıştır".

Sonuç, basit olduğu gösterilebilir göstergesi değişmezliği : o mu değil değiştirmek - örneğin "toplam enerji", ne de diğer ölçülebilir miktarlarda do - lokal değiş integraller ve spin aynı anda modifiye bile şöyle: ${\görüntüleme stili {\matematiksel {H}}}$

${\displaystyle I_{i,k}\to \varepsilon _{i}I_{i,k}\varepsilon _{k},\quad S_{i}\to \varepsilon _{i}S_{i},\ dörtlü S_{k}\to \varepsilon _{k}S_{k}\,.}$

Burada ε _i ve ε _k sayıları keyfi işaretlerdir, yani +1 veya -1, böylece değiştirilmiş yapı tamamen rastgele görünebilir.

su buzu

Şekil 5: Su buzu moleküllerinin şeması

Hayal kırıklığı üzerine önceki ve güncel araştırmaların çoğu dönüş sistemlerine odaklansa da, fenomen ilk olarak sıradan buzda incelenmiştir . 1936'da Giauque ve Stout , Suyun Entropisi ve Termodinamiğin Üçüncü Yasasını yayınladı . 15 K'dan 273 K'ya kadar Buzun Isı Kapasitesi , yüksek sıcaklıkta gaz fazına kadar donma ve buharlaşma geçişleri yoluyla su üzerinde kalorimetre ölçümlerini rapor eder. Entropi entegre ederek hesaplanmıştır ısı kapasitesi ve ekleme gizli ısı katkıları; düşük sıcaklık ölçümleri, Debye'nin daha sonra yeni türetilen formülü kullanılarak sıfıra tahmin edildi. Ortaya çıkan entropi, S ₁  = 44.28 cal/(K·mol) = 185.3 J/(mol·K), bir ideal gazın istatistiksel mekaniğinden teorik sonuçla karşılaştırıldı, S ₂  = 45.10 cal/(K·mol) = 188.7 J/(mol·K). İki değer S ₀  = 0.82 ± 0.05 cal/(K·mol) = 3.4 J/(mol·K) ile farklılık gösterir . Bu sonuç daha sonra Linus Pauling tarafından mükemmel bir yaklaşıklıkla açıklanmıştır ; bu, buzun sıfır sıcaklıkta sonlu bir entropiye sahip olduğunu (0.81 cal/(K·mol) veya 3.4 J/(mol·K) olarak tahmin edilir) konfigürasyon bozukluğundan dolayı gösterdi. buzdaki protonlara özgüdür.

Olarak altıgen veya küp buz fazı oksijen iyonları, bir O-O bağı uzunluğu 2.76 ile tetrahedral bir yapı oluşturmak  A (276  pm ) ise O-H bağı uzunluğu önlemler, sadece 0.96 Â (96 pm). Şekil iç lH bakımı 5'te gösterildiği gibi her oksijen (beyaz) iyonu, dört hidrojen iyonlarının (siyah) ve her biri hidrojen iyonu 2 oksijen iyonları ile çevrilidir çevrilidir ₂ O molekül yapısı, bir protonun, minimum enerji konumu değil iki bitişik oksijen iyonu arasında yarı yolda. O–O bağı hattında bir hidrojenin kaplayabileceği iki eşdeğer konum vardır, uzak ve yakın konum. Bu nedenle, bir kural, bir temel durum konfigürasyonu için protonun konumlarının engellenmesine yol açar: her oksijen için, komşu protonlardan ikisi uzak konumda ve ikisi de yakın konumda bulunmalıdır, buna ' buz kuralları ' denir . Pauling, buzun açık tetrahedral yapısının, buz kurallarını karşılayan birçok eşdeğer durum sağladığını öne sürdü.

Pauling'in şu şekilde konfigürasyon entropi hesaplamak için devam etti: aşağıdakilerden oluşan buz bir mol dikkate N , O ² ve 2 N proton. Her O–O bağının bir proton için iki konumu vardır, bu da 2 ^{2 N} olası konfigürasyona yol açar . Bununla birlikte, her bir oksijen ile bağlı 16 olası konfigürasyonlar arasında, sadece 6H muhafaza enerjik olarak uygun olan ₂ O molekülü kısıtlaması. Daha sonra, temel durumun alabileceği sayıların bir üst sınırı Ω  < 2 ^{2 N} olarak tahmin edilir (6/16) ^{, N} . Karşılık gelen konfigürasyon entropisi S ₀  = k _B ln( Ω ) = Nk _B ln(3/2) = 0.81 cal/(K·mol) = 3.4 J/(mol·K), Giauque ve Stout tarafından ölçülen eksik entropi ile şaşırtıcı bir uyum içindedir.

Pauling'in hesaplaması hem proton sayısı üzerindeki küresel kısıtlamayı hem de Wurtzite kafesindeki kapalı döngülerden kaynaklanan yerel kısıtlamayı ihmal etmesine rağmen, tahminin daha sonra mükemmel doğrulukta olduğu gösterildi.

Buz sıkmak

Şekil 6: Dönen buz moleküllerinin şeması

Sulu buzdaki yozlaşmaya matematiksel olarak benzer bir durum, spin buzlarda bulunur . Dört köşenin her birinde bir manyetik atom veya iyon bulunan kübik piroklor yapısında ortak bir spin buz yapısı Şekil 6'da gösterilmektedir. Malzemedeki güçlü kristal alan nedeniyle , manyetik iyonların her biri, büyük bir momente sahip bir Ising temel durum ikilisi ile temsil edilebilir. Bu, köşe paylaşımlı tetrahedral kafes üzerinde bulunan ve her bir dörtyüzlü tepe noktasını merkeze bağlayan çizgilerle çakışan yerel niceleme ekseni, <111> kübik eksenler boyunca sabitlenen dönüşlerle Ising dönüşlerinin bir resmini önerir . Enerjiyi en aza indirmek için her dört yüzlü hücrenin iki dönüşü ve iki dönüşü olması gerekir. Şu anda spin buz modeli yaklaşık olarak gerçek malzemelerle, özellikle de nadir toprak piroklorları Ho ₂ Ti ₂ O ₇ , Dy ₂ Ti ₂ O ₇ ve Ho ₂ Sn ₂ O _{7 ile gerçekleştirilmiştir} . Bu malzemelerin tümü, düşük sıcaklıkta sıfır olmayan artık entropi gösterir.

Pauling'in modelinin uzantısı: Genel hayal kırıklığı

Spin ice modeli, hüsrana uğramış sistemlerin yalnızca bir alt bölümüdür. Hayal kırıklığı kelimesi başlangıçta bir sistemin bileşenleri arasındaki rekabet eden etkileşim enerjisini aynı anda en aza indirememesi durumunu tanımlamak için tanıtıldı. Genel engellenme olarak (bakınız ayrıca bağlı Alanı bozukluğu için rekabet etkileşimler yoluyla neden olduğu Hain modeli gibi) veya gibi kafes yapı tarafından üçgen , yüzey merkezli kübik (FCC), altıgen sıkı paket , tetrahedron , piroklor ve lipplois kafesler antiferromanyetik etkileşim ile. Dolayısıyla hüsran iki kategoriye ayrılır: birincisi , hem yapısında düzensizliğe hem de dönüşte hüsrana sahip olan spin camına karşılık gelir ; ikincisi, düzenli bir kafes yapısı ve dönüş engeli ile geometrik engeldir. Bir spin camın hayal kırıklığı, ferromanyetik veya anti-ferromanyetik etkileşim özelliğinin iki manyetik iyonun mesafesine bağlı olduğu RKKY modeli çerçevesinde anlaşılır . Spin camındaki kafes düzensizliği nedeniyle, ilgilenilen bir spin ve en yakın komşuları farklı mesafelerde olabilir ve farklı bir etkileşim özelliğine sahip olabilir, bu da spinin farklı tercih edilen hizalanmasına yol açar.

Yapay geometrik olarak sinirli ferromanyetler

Litografi tekniklerinin yardımıyla, geometrik düzenlemesi doğal olarak oluşan spin buz malzemelerinde bulunan hayal kırıklığını yeniden üreten mikrometre altı boyutta manyetik adalar üretmek mümkündür. Son zamanlarda RF Wang ve ark. Litografik olarak üretilmiş tek alanlı ferromanyetik adalardan oluşan dizilerden oluşan yapay, geometrik olarak engellenmiş bir mıknatısın keşfini bildirdi. Bu adalar, buzu döndürmek için iki boyutlu bir analog oluşturmak için manuel olarak düzenlenmiştir. Sıralı "dönme" adalarının manyetik momentleri manyetik kuvvet mikroskobu (MFM) ile görüntülendi ve ardından hayal kırıklığının yerel yerleşimi kapsamlı bir şekilde incelendi. Hüsrana uğramış mıknatıslardan oluşan kare bir kafes üzerindeki önceki çalışmalarında, tıpkı düşük sıcaklıkta dönen buzda olduğu gibi hem buza benzer kısa menzilli korelasyonları hem de uzun menzilli korelasyonların yokluğunu gözlemlediler. Bu sonuçlar, gerçek hayal kırıklığı fiziğinin bu yapay geometrik olarak hüsrana uğramış mıknatıslar tarafından görselleştirilebileceği ve modellenebileceği haritalanmamış zemini sağlamlaştırıyor ve daha fazla araştırma faaliyetine ilham veriyor.

Bu yapay olarak engellenen ferromanyetler, Magneto-Optical Kerr Effect kullanarak harici bir alana küresel tepkilerini incelerken benzersiz manyetik özellikler sergileyebilir. Özellikle, kare kafes zorlayıcılığının monotonik olmayan açısal bağımlılığının, yapay spin buz sistemindeki düzensizlikle ilişkili olduğu bulunmuştur.

Kafessiz geometrik hayal kırıklığı

Başka bir geometrik engel türü, yerel bir düzenin yayılmasından kaynaklanır. Yoğun madde fizikçisinin karşılaştığı ana soru, bir katının kararlılığını açıklamaktır.

Bazen, düşük enerji konfigürasyonlarına yol açan ve bu nedenle yapısal ve kimyasal düzeni yöneten, kimyasal nitelikte bazı yerel kurallar oluşturmak mümkündür. Bu genellikle böyle değildir ve genellikle yerel etkileşimler tarafından tanımlanan yerel düzen serbestçe yayılamaz ve bu da geometrik hayal kırıklığına yol açar. Tüm bu sistemlerin ortak bir özelliği, basit yerel kurallarla bile, büyük bir dizi, genellikle karmaşık, yapısal gerçekleştirmeler sunmalarıdır. Geometrik hayal kırıklığı, kümeler ve amorf katılardan karmaşık sıvılara kadar yoğun madde alanlarında rol oynar.

Bu komplikasyonları çözmek için genel yaklaşım yöntemi iki adımı takip eder. İlk olarak, mükemmel boşluk doldurma kısıtlaması, boşluk eğriliğine izin verilerek gevşetilir. Bu kavisli alanda ideal, engelsiz bir yapı tanımlanır. Ardından, üç boyutlu Öklid uzayına gömmek için bu ideal şablona özel çarpıtmalar uygulanır. Nihai yapı, yerel düzenin şablonunkine benzer olduğu sıralı bölgelerin ve gömmeden kaynaklanan kusurların bir karışımıdır. Olası kusurlar arasında ayrımlar önemli bir rol oynamaktadır.

Bir düzlemin beşgenlerle döşenmesi imkansızdır, ancak yarı kristallerde gösterildiği gibi beşgen dodekahedron şeklinde bir küre üzerinde gerçekleştirilebilir.

Basit iki boyutlu örnekler

İki boyutlu örnekler, yerel kurallar ve genel olarak geometri arasındaki rekabetin kökeni hakkında biraz bilgi sahibi olmak için yardımcı olur. İlk önce bir düzlem üzerinde özdeş disklerin (varsayılan iki boyutlu bir metal için bir model) düzenini düşünün; diskler arasındaki etkileşimin izotropik olduğunu ve yerel olarak diskleri mümkün olduğunca yoğun şekilde düzenleme eğiliminde olduğunu varsayıyoruz. Üç disk için en iyi düzenleme, üçgen köşelerinde bulunan disk merkezleri ile önemsiz bir eşkenar üçgendir. Bu nedenle, uzun menzilli yapının incelenmesi, eşkenar üçgenli düzlem döşemelere indirgenebilir. Yerel ve küresel kurallar arasında tam bir uyumluluk ile üçgen döşeme ile iyi bilinen bir çözüm sağlanır: sistemin "hayal kırıklığına uğramamış" olduğu söylenir.

Ama şimdi, atomlar düzenli bir beşgenin köşelerine oturduğunda etkileşim enerjisinin minimumda olması gerekiyor . Kenarları (atomik bağlar) ve köşeleri (atomlar) paylaşan bu beşgenlerin bir dizisini uzun menzilde yaymaya çalışmak imkansızdır. Bunun nedeni, bir düzlemi düzgün beşgenlerle döşemenin imkansızlığıdır, çünkü beşgen köşe açısı 2 π'yi bölmez . Bu tür üç beşgen ortak bir tepe noktasına kolayca sığabilir, ancak iki kenar arasında bir boşluk kalır. Bu, "geometrik hayal kırıklığı" olarak adlandırılan bu tür bir tutarsızlıktır. Bu zorluğun üstesinden gelmenin bir yolu var. Döşenecek yüzeyin herhangi bir varsayılan topolojiden arındırılmış olmasına izin verin ve döşemeyi yerel etkileşim kuralının katı bir uygulamasıyla inşa edelim. Bu basit örnekte, yüzeyin bir kürenin topolojisini miras aldığını ve dolayısıyla bir eğrilik aldığını gözlemliyoruz. Burada beşgen bir dodecahedron olan son yapı, beşgen düzenin mükemmel bir şekilde yayılmasını sağlar. Ele alınan yapı için "ideal" (kusursuz) model olarak adlandırılır.

Yoğun yapılar ve tetrahedral paketler

Dörtyüzlü paketleme: Bir dört yüzlünün dihedral açısı 2 π ile orantılı değildir ; sonuç olarak, ortak bir kenarı olan beş dörtyüzlü bir paketin iki yüzü arasında bir delik kalır. On iki dış köşe düzensiz bir ikosahedron oluşturacak şekilde ortak bir tepe noktasına sahip yirmi dörtyüzlü bir paket

Metallerin kararlılığı, yalnızca pozitif yüklü iyonlar ile değerlik ve iletim elektronları arasındaki etkileşimi uygun şekilde hesaba katarak kuantum mekaniksel çerçevede anlaşılabilen, katı hal fiziğinin uzun süredir devam eden bir sorusudur. Bununla birlikte, metalik bağların çok basitleştirilmiş bir resmini kullanmak mümkündür ve yalnızca yoğun bir şekilde paketlenmiş küreler olarak temsil edilebilecek yapılara yol açan izotropik tipte bir etkileşimi korur. Ve gerçekten de kristalin basit metal yapılar genellikle ya yakın paketlenmiş yüz merkezli kübik (fcc) ya da altıgen yakın paket (hcp) kafeslerdir. Bir dereceye kadar amorf metaller ve yarı kristaller de kürelerin yakın paketlenmesiyle modellenebilir. Yerel atomik düzen, kusurlu bir ikosahedral düzene yol açan yakın bir tetrahedra paketi ile iyi modellenmiştir.

Düzenli bir tetrahedron, dört eşit kürenin paketlenmesi için en yoğun konfigürasyondur. Sert kürelerin yoğun rastgele paketlenmesi problemi böylece dört yüzlü paketleme probleminde haritalanabilir . Sadece dört yüzlü konfigürasyonlar oluşturmak için masa tenisi toplarını paketlemeye çalışmak pratik bir alıştırmadır. Biri mükemmel bir dörtyüzlü olarak düzenlenmiş dört top ile başlar ve yeni dörtyüzlüler oluştururken yeni küreler eklemeye çalışır. Beş bilyeli bir sonraki çözüm, önemsiz bir şekilde ortak bir yüzü paylaşan iki tetrahedradır; Halihazırda bu çözümde, ayrı dört yüzlü delikler içeren fcc yapısının böyle bir konfigürasyon göstermediğine dikkat edin (dört yüzlüler ortak kenarlar, yüzler değil). Altı top ile üç düzenli dörtyüzlü inşa edilmiştir ve küme tüm kompakt kristal yapılarla (fcc ve hcp) uyumsuzdur. Yedinci bir kürenin eklenmesi, birbirine temas eden iki "eksenel" bilye ve son iki topa temas eden diğer beş topdan oluşan yeni bir küme verir; dış şekil neredeyse düzenli bir beşgen çift piramittir. Ancak şimdi, yukarıda iki boyutlu beşgen döşemede karşılaşılana benzer gerçek bir paketleme sorunuyla karşı karşıyayız. Bir tetrahedronun dihedral açısı 2 π ile orantılı değildir ; sonuç olarak, komşu tetrahedranın iki yüzü arasında bir delik kalır. Bunun bir sonucu olarak, Öklid alan mükemmel bir döşeme R ³ , düzenli tetrahedra ile mümkün değildir. Engellenmenin topolojik bir karakteri vardır: Sabit sayıda dörtyüzlülerin (burada beş) ortak bir kenarı paylaştığını kabul edersek, Öklid uzayını dörtyüzlülerle doldurmak imkansızdır, hatta ciddi şekilde çarpıtılmıştır.

Bir sonraki adım çok önemlidir: yerel konfigürasyonların tüm uzay boyunca aynı ve hatasız olarak yayılması için uzayda eğriliğe izin vererek engellenmemiş bir yapı arayışı .

Dörtyüzlülerin düzenli paketlenmesi: politop {3,3,5}

600 hücreli : politop {3,3,5}

On iki dış köşe düzenli bir ikosahedron oluşturacak şekilde ortak bir tepe noktasına sahip yirmi düzensiz dörtyüzlü paketi. Aslında, ikosahedron kenar uzunluğu l , çevre yarıçapından r ( l  ≈ 1.05 r ) biraz daha uzundur . Uzay Öklidyen değil de küresel ise, düzenli dörtyüzlü bir çözüm vardır. Bu ise politop kullanarak {3,3,5} SCHLAFLI olarak da bilinen notasyon, 600 hücre .

Yarıçapı altın orana eşit olan S ³ hiperküresine ait yüz yirmi köşe vardır ( φ  = 1 + √ 5/2) kenarlar birim uzunlukta ise. Altı yüz hücre, ortak bir kenar etrafında beş ve ortak bir tepe etrafında yirmi ile gruplandırılmış düzenli dörtyüzlülerdir. Bu yapıya çokgenler ve çokyüzlüler içeren dizilerde daha yüksek boyuttaki genel adı olan politop (bkz. Coxeter ) denir . Bu yapı dört boyutta gömülü olsa bile üç boyutlu (eğri) bir manifold olarak kabul edilmiştir. Bu nokta kavramsal olarak şu nedenle önemlidir. Kavisli Uzayda tanıtılan ideal modeller, üç boyutlu kavisli şablonlardır. Yerel olarak üç boyutlu Öklid modelleri gibi görünüyorlar. Böylece, tetrahedra ile bir döşeme olan {3,3,5} politop, atomlar köşelerinde yer alıyorsa çok yoğun bir atomik yapı sağlar. Bu nedenle doğal olarak amorf metaller için bir şablon olarak kullanılır, ancak ardışık idealleştirmeler pahasına olduğu unutulmamalıdır.

Edebiyat

• Sadok, JF; Mosseri, R. (2007). Geometrik Hayal Kırıklığı (yeniden düzenlenmiş ed.). Cambridge Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 9780521031875.
• Sadok, JF, ed. (1990). Yoğun Madde Fiziğinde Geometri . Singapur: Dünya Bilimsel. ISBN'si 9789810200893.
• Coxeter, HSM (1973). Düzenli Politoplar . Dover Yayıncılık. ISBN'si 9780486614809.

Referanslar