Gauss'un yerçekimi yasası - Gauss's law for gravity

In fiziği , yerçekimi için Gauss yasası olarak da bilinen, yerçekimi için Gauss akı teoremi , eşdeğerdir fizik kanunudur Newton'un evrensel çekim yasası . Adını Carl Friedrich Gauss'tan almıştır . Gauss'un yerçekimi yasası, Newton yasasından daha çok çalışmak için daha uygundur.

Yerçekimi için Gauss yasasının formu matematiksel benzer Gauss yasası için Elektrostatik , biri Maxwell denklemlerinin . Gauss'un yerçekimi yasası Newton'un yasasıyla, Gauss'un elektrostatik yasasıyla Coulomb yasası arasındaki matematiksel bağın aynısına sahiptir . Bunun nedeni, hem Newton yasasının hem de Coulomb yasasının 3 boyutlu bir uzayda ters-kare etkileşimini tanımlamasıdır .

Yasanın nitel ifadesi

Yerçekimi alanı gr (ayrıca yerçekimi ivmesi alanı (ve süre) her noktada bir vektör -) bir vektör bir alandır. Bir parçacığın maruz kaldığı yerçekimi kuvveti, parçacığın kütlesinin o noktadaki yerçekimi alanıyla çarpımına eşit olacak şekilde tanımlanır.

Yerçekimi akı a, yüzey integrali kadar benzer bir kapalı yüzey üzerinde yerçekimi alanının, manyetik akı manyetik alanın bir yüzey ayrılmaz bir parçasıdır.

Gauss'un yerçekimi durumları yasası:

Herhangi bir kapalı yüzeyden geçen yerçekimi akısı , kapalı kütle ile orantılıdır .

integral formu

Gauss yasasının yerçekimi durumları için integral formu:

nerede

${\displaystyle \scriptstyle \kısmi V}$ (ayrıca yazılır ) kapalı bir yüzey üzerinde bir yüzey integralini belirtir,${\displaystyle \oint _{\kısmi V}}$

∂ V herhangi bir kapalı yüzeydir ( isteğe bağlı bir V hacminin sınırı ),

d A , büyüklüğü ∂ V yüzeyinin sonsuz küçük bir parçasının alanı olan ve yönü dışa dönük yüzey normali olan bir vektördür ( daha fazla ayrıntı için yüzey integraline bakın),

g olan yerçekimi alanı ,

G evrensel yerçekimi sabitidir ve

M , ∂ V yüzeyinin içindeki toplam kütledir .

Bu denklemin sol tarafına yerçekimi alanının akısı denir . Yasaya göre her zaman negatif (veya sıfır) olduğuna ve asla pozitif olmadığına dikkat edin. Bu , akının pozitif veya negatif olabileceği Gauss'un elektrik yasasıyla karşılaştırılabilir . Aradaki fark, yükün pozitif veya negatif olabilmesi , kütlenin ise yalnızca pozitif olabilmesidir.

diferansiyel formu

Gauss yasasının yerçekimi durumları için diferansiyel formu

burada diverjansı gösterir , G evrensel yerçekimi sabitidir ve ρ , her noktadaki kütle yoğunluğudur . ${\ Displaystyle \ nabla \ cdot }$

integral forma İlişkisi

Gauss'un yerçekimi yasasının iki biçimi matematiksel olarak eşdeğerdir. Diverjans teoremi devletler:

${\displaystyle \oint _{\partial V}\mathbf {g} \cdot d\mathbf {A} =\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {g} \ dV}$

burada V yüzey ∂ yönlendirilmiş kapalı bir basit tarafından sınırlanmış bir kapalı bölge V ve dV hacmi derece kısa bir parça V (bakınız hacim integrali Daha fazla bilgi için). Yerçekimi alanı g , V komşuluğunda tanımlanan sürekli türevlenebilir bir vektör alanı olmalıdır .

Ayrıca verilen

${\displaystyle M=\int _{V}\rho \ dV}$

Diverjans teoremini, Gauss'un yerçekimi yasasının integral formuna uygulayabiliriz, bu şöyle olur:

${\displaystyle \int _{V}\nabla \cdot \mathbf {g} \ dV=-4\pi G\int _{V}\rho \ dV}$

yeniden yazılabilir:

${\displaystyle \int _{V}(\nabla \cdot \mathbf {g} )\ dV=\int _{V}(-4\pi G\rho )\ dV.}$

Bu, her olası hacim V için aynı anda geçerli olmalıdır ; Bunun olabilmesinin tek yolu, integrallerin eşit olmasıdır. Bu yüzden varıyoruz

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho,}$

ki bu yerçekimi için Gauss yasasının diferansiyel formudur.

Bu yöntemin tersini kullanarak integral formu diferansiyel formdan türetmek mümkündür.

İki form eşdeğer olmasına rağmen, belirli bir hesaplamada biri veya diğeri daha uygun olabilir.

Newton yasasına İlişkisi

Gauss yasasını Newton yasasından türetme

Gauss'un yerçekimi yasası, Newton'un bir nokta kütleden kaynaklanan yerçekimi alanının şöyle olduğunu belirten evrensel yerçekimi yasasından türetilebilir :

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-GM{\frac {\mathbf {e_{r}} }{r^{2}}}}$

nerede

e _r radyal birim vektördür ,

r yarıçaptır, | r |.

M , orijinde bulunan noktasal bir kütle olduğu varsayılan parçacığın kütlesidir .

Vektör hesabını kullanan bir ispat aşağıdaki kutuda gösterilmektedir. Coulomb yasasından başlayarak Gauss yasasının ( elektrostatikte ) ispatıyla matematiksel olarak aynıdır .

Kanıt taslağı: (Sağdaki [göster] düğmesine tıklayın.)

g ( R ), çekim alanı r , katkı ekleyerek hesaplanabilir g ( r (bkz bağlı evrenin kütlesinin her bit için) süperpozisyon prensibi ). Bunu yapmak için , uzaydaki her s noktası üzerinde integral alırız ve bu katkının Newton yasası ile hesaplandığı s noktasında (varsa) kütle ile ilişkili g ( r )' ye katkıyı toplarız. Sonuç: ${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\int \rho (\mathbf {s} ){\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\ mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}d^{3}\mathbf {s} .}$ ( d 3 s , her biri −∞'den +∞'ye tümleşik olan ds x ds y ds z anlamına gelir .) Bu denklemin her iki tarafının r'ye göre diverjansını alırsak ve bilinen teoremi kullanırsak ${\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\sağ)=4\pi \delta (\mathbf {r} ) }$ burada δ ( r ) 'dir Dirac delta fonksiyonu , sonuç ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-4\pi G\int \rho (\mathbf {s} )\ \delta (\mathbf {r} -\mathbf {s) } )\ d^{3}\mathbf {s} .}$ Dirac delta fonksiyonunun "eleme özelliğini" kullanarak, ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-4\pi G\rho (\mathbf {r} )}$ ki bu, Gauss'un yerçekimi yasasının istendiği gibi diferansiyel biçimidir.

Newton yasasını Gauss yasasından ve irrotasyonsuzluktan türetme

Bunu matematiksel Gauss yasasından Newton'un yasasını kanıtlamak mümkün değildir yalnız Gauss yasası ıraksamasını belirttiği için, g ama ilgili herhangi bir bilgi içermemektedir curl ait g (bkz Helmholtz ayrışma ). Gauss yasasına ek olarak, yerçekimi korunumlu bir kuvvet olduğundan g'nin irrotasyonel olduğu (sıfır kıvrılmaya sahip olduğu) varsayımı kullanılır :

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {g} =0}$

Bunlar bile yeterli değildir: Alanın bir kütleden sonsuz derecede uzakta sıfır olduğu varsayımı gibi Newton yasasını kanıtlamak için g üzerindeki sınır koşulları da gereklidir.

Bu varsayımlardan Newton yasasının kanıtı şu şekildedir:

Kanıt taslağı

Gauss yasasının integral formuyla başlayın: ${\displaystyle \oint _{\kısmi V}\mathbf {g} \cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM.}$ Bu yasayı, V hacminin , M nokta-kütlesi merkezli r yarıçaplı bir küre olduğu duruma uygulayın . Bir nokta kütleden yerçekimi alanının küresel olarak simetrik olmasını beklemek mantıklıdır. (Basitlik için ispatı atlıyoruz.) Bu varsayımı yaparak g , aşağıdaki formu alır: ${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=g(r)\mathbf {e_{r}} }$ (yani, g'nin yönü r'nin yönüne paraleldir ve g'nin büyüklüğü r'nin yönüne değil, yalnızca büyüklüğüne bağlıdır ). Bunu fişe takarak ve ∂ V'nin sabit r ve alana sahip küresel bir yüzey olduğu gerçeğini kullanarak , ${\displaystyle 4\pi r^{2}}$ ${\displaystyle g(r)\oint _{\partial V}\mathbf {e_{r}} \cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM}$ ${\displaystyle g(r)(4\pi r^{2})=-4\pi GM}$ ${\displaystyle g(r)=-{\frac {GM}{r^{2}}}}$ ${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-GM{\frac {\mathbf {e_{r}} }{r^{2}}}}$ bu Newton'un yasasıdır.

Poisson denklemi ve yerçekimi potansiyeli

Yerçekimi alanı, yukarıda belirtildiği gibi sıfır kıvrılmaya sahip olduğundan (eşdeğer olarak, yerçekimi korunumlu bir kuvvettir ) , yerçekimi potansiyeli olarak adlandırılan bir skaler potansiyelin gradyanı olarak yazılabilir :

${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \phi .}$

O zaman Gauss'un yerçekimi yasasının diferansiyel formu Poisson denklemi olur :

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =4\pi G\rho .}$

Bu, yerçekimi potansiyelini ve yerçekimi alanını hesaplamak için alternatif bir yol sağlar. İşlem olmasına rağmen g Poisson denklem yoluyla işlem için matematiksel olarak denk olan g , belli bir durumda daha kolay bir hesaplama olabilir Gauss kanunu, bir veya diğer bir yaklaşım şirketinden.

Radyal olarak simetrik sistemlerde, yerçekimi potansiyeli sadece bir değişkenin (yani, ) bir fonksiyonudur ve Poisson denklemi şu hale gelir (bkz. Del silindirik ve küresel koordinatlarda ): ${\görüntüleme stili r=|\mathbf {r} |}$

${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\,{\frac {\partial \phi }{\displaystyle {\frac } \kısmi r}}\sağ)=4\pi G\rho (r)}$

yerçekimi alanı ise:

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\mathbf {e_{r}} {\frac {\partial \phi }{\kısmi r}}.}$

Denklemi çözerken, sonlu yoğunluklar durumunda ∂ ϕ /∂ r'nin sınırlarda (yoğunluğun süreksizlikleri) sürekli ve r = 0 için sıfır olması gerektiği dikkate alınmalıdır .

Uygulamalar

Gauss yasası, Newton yasasının doğrudan uygulanmasının daha zor olduğu (ama imkansız olmadığı) bazı durumlarda yerçekimi alanını kolayca türetmek için kullanılabilir. Bu türetmelerin nasıl yapıldığı hakkında daha fazla ayrıntı için Gauss yüzeyi makalesine bakın . Bu tür üç uygulama aşağıdaki gibidir:

Bouguer plakası

Herhangi bir sonlu kalınlığa sahip sonsuz, düz bir levha ( Bouguer levhası ) için, levhanın dışındaki yerçekimi alanının levhaya dik olduğu ve kütlenin 2 πG katı büyüklüğünde levhaya doğru olduğu sonucuna varabiliriz (bir " Gauss hap kutusu " kullanarak ). plakaya olan mesafeden bağımsız olarak birim alan başına (ayrıca bkz . gravite anomalileri ).

Daha genel olarak, yoğunluğu yalnızca bir Kartezyen koordinat z'ye bağlı olan bir kütle dağılımı için, herhangi bir z için yerçekimi , bu z değerinin her iki tarafında birim alan başına kütle farkının 2 πG katıdır .

Özellikle, birim alan başına eşit kütleye sahip iki paralel sonsuz plakanın paralel bir kombinasyonu, aralarında hiçbir yerçekimi alanı oluşturmaz.

Silindirik simetrik kütle dağılımı

Sonsuz tek biçimli ( z cinsinden) silindirik simetrik kütle dağılımı durumunda (silindirik bir Gauss yüzeyi kullanarak ) merkezden r mesafesindeki alan kuvvetinin toplamın 2 G / r katı büyüklüğünde içe doğru olduğu sonucuna varabiliriz. Daha büyük bir mesafede herhangi bir kütleden bağımsız olarak, daha küçük bir mesafede (eksenden) birim uzunluk başına kütle.

Örneğin, sonsuz tek biçimli içi boş bir silindirin içinde alan sıfırdır.

Küresel simetrik kütle dağılımı

Küresel simetrik bir kütle dağılımı durumunda (küresel bir Gauss yüzeyi kullanarak ) merkezden r mesafesindeki alan kuvvetinin içeriye doğru olduğu ve daha küçük bir mesafe içindeki toplam kütlenin yalnızca G / r ² katı büyüklüğünde olduğu sonucuna varabiliriz. r'den daha fazla . Merkezden r'den daha büyük bir mesafedeki tüm kütlelerin sonuçta hiçbir etkisi yoktur.

Örneğin, içi boş bir küre içeride net yerçekimi üretmez. İçerideki yerçekimi alanı, içi boş küre orada değilmiş gibi aynıdır (yani, sonuçta ortaya çıkan alan, küre hariç, kürenin içinde ve dışında olabilen tüm kütlelerin alanıdır).

Bu, Gauss'un yerçekimi yasasından bir veya iki cebir satırında izlense de, Isaac Newton'un yerçekimi yasasını kullanarak onu doğrudan türetmesi birkaç sayfa hantal hesap aldı; bu doğrudan türetme için makale kabuk teoremine bakın.

Lagrange'dan türetme

Lagrange yoğunluk Newton yerçekimi içindir

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\phi (\mathbf {x} ,t)-{1 \ 8'den fazla\ pi G}(\nabla \phi (\mathbf {x} ,t))^{2}}$

Hamilton ilkesini bu Lagrange'a uygularsak , sonuç Gauss'un yerçekimi yasasıdır:

${\displaystyle 4\pi G\rho (\mathbf {x} ,t)=\nabla ^{2}\phi (\mathbf {x} ,t).}$

Ayrıntılar için bkz. Lagrange (alan teorisi) .

Ayrıca bakınız

Referanslar

daha fazla okuma

• "Gauss yerçekimi yasası" teriminin kullanımı için örneğin Moody, MV; Paik, HJ (1 Mart 1993). "Kısa mesafeden Gauss yasası yerçekimi testi". Fiziksel İnceleme Mektupları . 70 (9): 1195–1198. Bibcode : 1993PhRvL..70.1195M . doi : 10.1103/PhysRevLett.70.1195 . PMID  10054315 .