Lagrange (alan teorisi) - Lagrangian (field theory)

Lagrange alan teorisi , klasik alan teorisindeki bir formalizmdir . Lagrange mekaniğinin alan teorik analoğudur . Lagrange mekaniği, her biri sonlu sayıda serbestlik derecesine sahip ayrı parçacıklardan oluşan bir sistemin hareketini analiz etmek için kullanılır . Lagrange alan teorisi, sonsuz sayıda serbestlik derecesine sahip süreklilik ve alanlar için geçerlidir.

Alanlar üzerinde Lagrange formalizminin ve daha genel olarak klasik alan teorisinin geliştirilmesi için bir motivasyon , onu matematiksel bir teori olarak kabul edilemez kılan biçimsel zorluklarla kötü bir şekilde kuşatılmış olan kuantum alan teorisi için temiz bir matematiksel temel sağlamaktır . Burada sunulan Lagrangianlar, kuantum eşdeğerleriyle aynıdır, ancak alanları klasik alanlar olarak ele alırken, nicelenmek yerine, kısmi diferansiyel denklemlerin matematiğine geleneksel biçimsel yaklaşımla uyumlu özelliklere sahip tanımlar sağlayabilir ve çözümler elde edilebilir . Bu, Sobolev uzayları gibi iyi karakterize edilmiş özelliklere sahip uzaylar üzerinde çözümlerin formüle edilmesini sağlar . Varlığın kanıtlarından formel serilerin tek biçimli yakınsamasına ve potansiyel teorinin genel ayarlarına kadar çeşitli teoremlerin sağlanmasını sağlar . Ek olarak, Riemann manifoldlarına ve fiber demetlerine genellemeler yapılarak içgörü ve netlik elde edilir ve geometrik yapının açıkça ayırt edilmesine ve karşılık gelen hareket denklemlerinden ayrılmasına izin verilir. Geometrik yapının daha net bir resim sırayla değişen, geometriden oldukça soyut teoremi kazanç fikir için kullanılacak sağladı Chern-Gauss Bonnet teoremi ve Riemann-Roch teoremi için Atiyah-Singer göstergesi teoremi ve Chern-Simons teori .

genel bakış

Alan teorisinde, bağımsız değişken, uzay-zamandaki ( x , y , z , t ) bir olayla veya daha genel olarak bir Riemann manifoldu üzerindeki bir s noktasıyla değiştirilir . Bağımlı değişkenler, uzay-zamanın o noktasındaki bir alanın değeri ile değiştirilir, böylece hareket denklemleri şu şekilde yazılan bir eylem ilkesi vasıtasıyla elde edilir : ${\görüntüleme stili \varphi (x,y,z,t)}$

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi _{i}}}=0,\,}$

burada işlem , , a, fonksiyonel bağımlı değişkenlerin , bunların türevleri ve s kendini ${\görüntüleme stili {\matematiksel {S}}}$${\displaystyle \varphi _ {i}(ler)}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}\sol[\varphi _{i}\sağ]=\int {{\mathcal {L}}\left(\varphi _ {i}(ler),\left\{ {\frac {\partial \varphi _{i}(s)}{\partial s^{\alpha }}}\right\},\{s^{\alpha }\}\right)\,\mathrm { d} ^{n}s}}$,

parantezlerin gösterdiği yerde ; ve s = { s ^α } belirtmektedir seti arasında n bağımsız değişkenlerin zaman değişkeni de dahil olmak üzere sistemin, ve dizinlenir a = 1, 2, 3, ..., N . Hat yazı tipi, , belirtmek için kullanılır yoğunluğu ve bir birim formu , alan fonksiyonunun , yani alan fonksiyonunun alanının ölçüsü. ${\displaystyle \{\cdot ~\forall \alpha \}}$ ${\görüntüleme stili {\matematiksel {L}}}$${\displaystyle \mathrm {d} ^{n}s}$

Matematiksel formülasyonlarda, Lagrange'ı bir lif demeti üzerindeki bir fonksiyon olarak ifade etmek yaygındır , burada Euler-Lagrange denklemleri , lif demeti üzerindeki jeodezikleri belirtmek olarak yorumlanabilir . Abraham ve Marsden'in ders kitabı , modern geometrik fikirler açısından , yani teğet manifoldlar , simplektik manifoldlar ve temas geometrisi açısından klasik mekaniğin ilk kapsamlı tanımını sağladı . Bleecker'ın ders kitabı, ölçü değişmez lif demetleri açısından fizikteki alan teorilerinin kapsamlı bir sunumunu sağladı. Bu tür formülasyonlar çok önceden biliniyordu veya şüpheleniliyordu. Jost, Hamilton ve Lagrange formları arasındaki ilişkiyi açıklayarak, spin manifoldlarını ilk ilkelerden vb. açıklayarak geometrik bir sunumla devam eder . Mevcut araştırmalar , vektör uzaylarının oluşumlarının yerini aldığı katı olmayan afin yapılara (bazen "kuantum yapılar" olarak adlandırılır) odaklanır. tarafından tensör Cebirlerin . Bu araştırma anlayarak atılım motive edilir kuantum gruplar olarak afin Lie cebirleri ( Lie grupları kendi Lie cebir tarafından belirlenir gibi bir anlamda, "rijit" dir. Bir tensör cebir üzerine yeniden formüle, bunlar sahip "disket" haline sonsuz serbestlik dereceleri; bkz. örneğin Virasoro cebiri .)

Tanımlar

Lagrange alan teorisinde, genelleştirilmiş koordinatların bir fonksiyonu olarak Lagrange'ın yerini, sistemdeki alanların ve bunların türevlerinin bir fonksiyonu olan ve muhtemelen uzay ve zaman koordinatlarının kendilerinin bir fonksiyonu olan bir Lagrange yoğunluğu alır. Alan teorisinde, bağımsız değişken t , uzay-zamandaki ( x , y , z , t ) bir olayla veya daha genel olarak bir manifold üzerindeki bir s noktasıyla değiştirilir .

Çoğu zaman, bir "Lagrange yoğunluğu", basitçe "Lagrange" olarak adlandırılır.

skaler alanlar

Bir skaler alan için Lagrange yoğunluğu şu şekilde olacaktır: ${\görüntüleme stili \varphi }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\partial\varphi /\partial t,\mathbf {x} ,t)}$

Birçok skaler alan için

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi _{1},{\boldsymbol {\nabla }}\varphi _{1},\partial \varphi _{1}/\partial t,\ldots ,\ varphi _{n},{\boldsymbol {\nabla }}\varphi _{n},\partial \varphi _{n}/\partial t,\ldots ,\mathbf {x} ,t)}$

Matematiksel formülasyonlarda, skaler alanları olduğu anlaşılmalıdır koordinatları bir ilgili lif demeti , ve alan türevleri olarak anlaşılmaktadır bölümler arasında püskürtme paket .

Vektör alanları, tensör alanları, spinor alanları

Yukarıdakiler vektör alanları , tensör alanları ve spinor alanları için genelleştirilebilir . Fizikte, fermiyonlar spinor alanları ile tanımlanır. Bozonlar , özel durumlar olarak skaler ve vektör alanlarını içeren tensör alanları ile tanımlanır.

Varsa Örneğin, gerçek -valued skaler alanlar , daha sonra saha manifoldu olduğunu . Alan gerçek ise vektör alanı , daha sonra saha manifoldu olduğu izomorftur için . ${\görüntüleme stili m}$ ${\displaystyle \varphi _{1},\dots,\varphi _{m}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Eylem

Zaman yekpare Lagrange adlandırılan bir işlem ile gösterilen S . Alan teorisinde, zaman integralinin eylem olduğu Lagrange L arasında zaman zaman bir ayrım yapılır.

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int L\,\mathrm {d} t\,,}$

ve eylemi elde etmek için tüm uzay-zaman üzerinde bütünleşen Lagrange yoğunluğu : ${\görüntüleme stili {\matematiksel {L}}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]=\int {\mathcal {L}}(\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\partial \varphi /\partial t,\mathbf {x} ,t)\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} \,\mathrm {d} t.}$

Lagrange yoğunluğunun uzaysal hacim integrali Lagrange'dır; 3D olarak,

${\displaystyle L=\int {\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} \,.}$

Eylem, alanların (ve bunların türevlerinin) bir işlevi olduğu için genellikle " işlevsel eylem" olarak adlandırılır .

Hacim formu

Yerçekimi varlığında veya genel eğrisel koordinatlar kullanıldığında, Lagrange yoğunluğu bir faktör içerecektir . Bu, eylemin genel koordinat dönüşümleri altında değişmez olmasını sağlar. Matematik literatüründe, uzay-zaman bir Riemann manifoldu olarak alınır ve daha sonra integral hacim formu olur.${\görüntüleme stili {\matematiksel {L}}}$${\ Displaystyle {\sqrt {g}}}$ ${\görüntüleme stili M}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{M}{\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{m}{\mathcal {L}}}$

Burada ise kama ürün ve belirleyici kare köküdür ait metrik tensör üzerinde . Düz uzay-zaman için ( örneğin Minkowski uzay-zaman ), birim hacim birdir, yani düz uzay-zamanda alan teorisi tartışılırken genellikle ihmal edilir. Benzer şekilde, kama-çarpım sembollerinin kullanımı, çok değişkenli hesaptaki olağan hacim kavramı hakkında ek bir anlayış sunmaz ve dolayısıyla bunlar da aynı şekilde bırakılır. Bazı eski ders kitapları, örneğin Landau ve Lifschitz yazma hacmi formu için, eksi işareti imzasıyla metrik tensörlerle için uygun olduğundan (+ ---) veya (- +++) (belirleyici negatif her iki durumda da, olduğundan). Genel Riemann manifoldları üzerinde alan teorisini tartışırken, hacim formu genellikle Hodge yıldızının nerede olduğu kısaltılmış gösterimde yazılır . Yani, ${\görüntüleme stili \kama }$${\displaystyle {\sqrt {|g|}}}$${\görüntüleme stili |g|}$ ${\görüntüleme stili g}$${\görüntüleme stili M}$ ${\displaystyle {\sqrt {|g|}}=1}$${\displaystyle {\sqrt {-g}}}$${\görüntüleme stili *(1)}$${\görüntüleme stili *}$

${\displaystyle *(1)={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{m}}$

ve bu yüzden

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{M}*(1){\mathcal {L}}}$

Nadiren değil, yukarıdaki gösterimin tamamen gereksiz olduğu kabul edilir ve

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{M}{\mathcal {L}}}$

sıklıkla görülmektedir. Yanlış yönlendirilmeyin: Cilt formu, açıkça yazılmamış olsa bile, yukarıdaki integralde örtük olarak mevcuttur.

Euler-Lagrange denklemleri

Euler-Lagrange denklemleri tanımlamak jeodezik akışını alanının zamanın bir fonksiyonu olarak. Alarak varyasyonu ile ilgili olarak için , bir elde eder ${\görüntüleme stili \varphi }$${\görüntüleme stili \varphi }$

${\displaystyle 0={\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi }}=\int _{M}*(1)\left(-\partial _{\mu }\left ({\frac {\partial {\mathcal {L}}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\sağ)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{ \partial \varphi }}\sağ).}$

Sınır koşullarına göre çözülerek Euler-Lagrange denklemleri elde edilir :

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}=\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}}{\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}} \partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\sağ).}$

Örnekler

Alanlar üzerinde Lagrangianlar cinsinden çok çeşitli fiziksel sistemler formüle edilmiştir. Aşağıda, alan teorisi üzerine fizik ders kitaplarında bulunan en yaygın olanlardan bazılarının bir örneği verilmiştir.

Newton yerçekimi

Newton yerçekimi için Lagrange yoğunluğu:

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-{1 \over 8\pi G}(\nabla \Phi (\mathbf {x} ,t))^{2}- \rho (\mathbf {x} ,t)\Phi (\mathbf {x} ,t)}$

burada Φ olan çekim potansiyel , ρ kütle yoğunluğu, ve G, m ³ -kg ^-1 -s ^-2 olan yerçekimi sabiti . Yoğunluğun birimi J·m ^-3'tür . Burada etkileşim terimi, kg·m ^-3 cinsinden sürekli bir kütle yoğunluğu ρ içerir . Bu gereklidir, çünkü bir alan için nokta kaynağı kullanmak matematiksel zorluklara neden olur. ${\görüntüleme stili {\matematiksel {L}}}$

Bu Lagrange şeklinde yazılabilir ile etkileşimi, kinetik terimi sağlanması ve potansiyel terimi. Bu form, bir sonraki skaler alan teorisi örneğinde yeniden verilmiştir. ${\görüntüleme stili {\matematiksel {L}}=TV}$${\displaystyle T=-(\nabla \Phi )^{2}/8\pi G}$${\displaystyle V=\rho \Phi }$

İntegralin Φ'ye göre değişimi :

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\delta \Phi (\mathbf {x} ,t)-{2 \over 8\pi G}(\nabla \Phi (\mathbf {x} ,t))\cdot (\nabla \delta \Phi (\mathbf {x} ,t)))}$

Parçalar halinde integral alındıktan, toplam integrali çıkardıktan ve δΦ'ye böldükten sonra formül şu hale gelir:

${\displaystyle 0=-\rho (\mathbf {x} ,t)+{1 \over 4\pi G}\nabla \cdot \nabla \Phi (\mathbf {x} ,t)}$

şuna eşdeğerdir:

${\displaystyle 4\pi G\rho (\mathbf {x} ,t)=\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {x} ,t)}$

hangi Gauss'un yerçekimi yasasını verir .

skaler alan teorisi

Bir potansiyelde hareket eden bir skaler alan için Lagrangian şu şekilde yazılabilir: ${\görüntüleme stili V(\phi )}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -V(\phi )={\frac { 1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-\sum _ {n=3}^{\infty }{\frac {1}{n!}}g_{n}\phi ^{n}}$

Olarak yazılmış bir serbest nokta parçacığının kinetik terimi için skaler teorinin lisans ders kitabı Lagrange'a benzemesi hiç de tesadüf değildir . Skaler teori, bir potansiyelde hareket eden bir parçacığın alan teorisi genellemesidir. Ne zaman bir Meksika şapkası potansiyeli , ortaya çıkan alanlar olarak adlandırılmaktadır Higgs alanları . ${\ekran stili L=TV}$${\displaystyle T=mv^{2}/2}$${\görüntüleme stili V(\phi )}$

Sigma modeli Lagrange

Sigma modeli bir hareket için kısıtlı bir skalar noktası parçacığın hareketini tarif Riemannsal manifoldu , böyle bir daire ya da küre olarak,. Düz bir manifold üzerinde hareket etmek için kısıtlanmış alanlar olan skaler ve vektör alanları durumunu genelleştirir. Lagrange genellikle üç eşdeğer biçimden biriyle yazılır:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mathrm {d} \phi \wedge {*\mathrm {d} \phi }}$

burada bir diferansiyel . Eşdeğer bir ifade ${\görüntüleme stili \mathrm {d} }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}( \phi )\;\partial ^{\mu }\phi _{i}\partial _{\mu }\phi _{j}}$

ile Riemann metrik alanının manifoldu üzerine; yani alanlar sadece vardır yerel koordinatlar üzerinde koordinat grafik manifoldu. Üçüncü bir yaygın biçim ${\displaystyle g_{ij}}$${\displaystyle \phi _{i}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left(L_{\mu }L^{\mu }\sağ)}$

ile birlikte

${\displaystyle L_{\mu }=U^{-1}\kısmi _{\mu }U}$

ve , Lie grubu SU(N) . Bu grup herhangi bir Lie grubuyla veya daha genel olarak simetrik bir boşlukla değiştirilebilir . İz, saklanmakta olan sadece Öldüren formdur ; Killing formu alan manifoldu üzerinde ikinci dereceden bir form sağlar, lagrangian bu formun sadece geri çekilmesidir. Alternatif olarak, Lagrange, Maurer-Cartan formunun temel uzay -zamana geri çekilmesi olarak da görülebilir . ${\ Displaystyle U\ SU(N)}$

Genel olarak, sigma modelleri topolojik soliton çözümleri sergiler . En ünlü ve bunların iyi çalışılmış olan Skyrmion bir model olarak hizmet veren, nükleonun zaman test dayanmış.

Özel görelilikte elektromanyetizma

Elektromanyetik alanla etkileşen bir nokta parçacık, yüklü bir parçacık düşünün . etkileşim terimleri

${\displaystyle -q\phi (\mathbf {x} (t),t)+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} (\mathbf {x} (t) ),T)}$

A, sürekli bir yük yoğunluğu p kapsayan terimlerinin yerini · s · m ^-3 ve akım yoğunluğu A • m ^-2 . Elektromanyetik alan için elde edilen Lagrange yoğunluğu: ${\görüntüleme stili \mathbf {j} }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\phi (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {j} ( \mathbf {x} ,t)\cdot \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)+{\epsilon _{0} \over 2}{E}^{2}(\mathbf {x} , t)-{1 \over {2\mu _{0}}}{B}^{2}(\mathbf {x} ,t).}$

Bunu ϕ'ye göre değiştirerek, şunu elde ederiz:

${\displaystyle 0=-\rho (\mathbf {x} ,t)+\epsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)}$

hangi Gauss yasasını verir .

Bunun yerine göre değişiklik gösterirsek , şunu elde ederiz: ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle 0=\mathbf {j} (\mathbf {x} ,t)+\epsilon _{0}{\dot {\mathbf {E} }}(\mathbf {x} ,t)-{1 \ üzerinde \mu _{0}}\nabla \times \mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)}$

hangi Ampère yasasını verir .

Tensör notasyonunu kullanarak , tüm bunları daha kompakt bir şekilde yazabiliriz. Terim aslında iki dört-vektörün iç çarpımıdır . Yük yoğunluğunu mevcut 4-vektöre ve potansiyeli potansiyel 4-vektöre paketliyoruz. Bu iki yeni vektör ${\displaystyle -\rho \phi (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} }$

${\displaystyle j^{\mu }=(\rho ,\mathbf {j} )\quad {\text{and}}\quad A_{\mu }=(-\phi ,\mathbf {A} )}$

Daha sonra etkileşim terimini şu şekilde yazabiliriz:

${\displaystyle -\rho \phi +\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} =j^{\mu }A_{\mu }}$

Ek olarak, E ve B alanlarını elektromanyetik tensör olarak bilinen şeye paketleyebiliriz . Bu tensörü şu şekilde tanımlıyoruz: ${\displaystyle F_{\mu\nu }}$

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}$

Aradığımız terim ortaya çıkıyor

${\displaystyle {\epsilon _{0} \over 2}{E}^{2}-{1 \over {2\mu _{0}}}{B}^{2}=-{\frac {1 }{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F_{\rho \sigma }\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }}$

Biz kullanımı yaptık Minkowski metriği EMF tensörü üzerinde endekslerini yükseltmek. Bu gösterimde, Maxwell denklemleri

${\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=-\mu _{0}j^{\nu }\quad {\text{and}}\quad \epsilon ^{\mu \ nu \lambda \sigma }\partial _{\nu }F_{\lambda \sigma }=0}$

burada ε, Levi-Civita tensörüdür . Dolayısıyla, özel görelilikteki elektromanyetizma için Lorentz vektörleri ve tensörleri cinsinden yazılan Lagrange yoğunluğu,

${\displaystyle {\mathcal {L}}(x)=j^{\mu }(x)A_{\mu }(x)-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{ \mu \nu }(x)F^{\mu \nu }(x)}$

Bu gösterimde, klasik elektromanyetizmanın bir Lorentz değişmez teorisi olduğu açıktır. Eşdeğerlik ilkesiyle , elektromanyetizma kavramını eğri uzay- zamana genişletmek basitleşir.

Elektromanyetizma ve Yang-Mills denklemleri

Kullanarak diferansiyel formları , elektromanyetik hareket S Riemannsal manifold (psödomonasa) ile vakum içinde yazılabilir (kullanarak doğal birimleri , c = ε ₀ = 1 ) olarak ${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {A} ]=-\int _{\mathcal {M}}\left({\frac {1}{2}}\,\mathbf {F} \ kama \ast \mathbf {F} -\mathbf {A} \kama \ast \mathbf {J} \sağ).}$

Burada A elektromanyetik potansiyel 1-formu, J mevcut 1-formu, F alan şiddeti 2-formu ve yıldız Hodge yıldız operatörünü ifade eder . Bu, yukarıdaki bölümdeki ile tamamen aynı Lagrange'dır, ancak buradaki tedavi koordinattan bağımsızdır; integrali bir tabana genişletmek aynı, uzun ifadeyi verir. Formlarda yerleşik koordinat diferansiyelleri bulunduğundan, formlarda ek bir entegrasyon önleminin gerekli olmadığını unutmayın.

${\displaystyle \mathrm {d} {\ast }\mathbf {F} ={\ast }\mathbf {J} .}$

Bunlar, Maxwell'in elektromanyetik potansiyel denklemleridir. İkame F d = bir hemen alanlar için denklem elde edilir,

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =0}$

çünkü F bir bir tam şekli .

Bir alan olduğu anlaşılabilir afin bağlantı bir ilgili U (1) - lif yumağı . Yani klasik elektrodinamik, tüm etkileri ve denklemleri, Minkowski uzay-zaman üzerinde bir daire demeti olarak tamamen anlaşılabilir .

Yang Mills denklemler değiştirilmesiyle, yukarıda tam olarak aynı biçimde yazılabilir Yalan grubunu U (1) , bir rasgele Lie grubu ile elektromanyetizma. Olarak standart modeli , geleneksel olarak alınır genel durum genel ilgi olmasına rağmen. Her durumda, gerçekleştirilecek herhangi bir niceleme gerekmemektedir. Yang-Mills denklemleri tarihsel olarak kuantum alan teorisine dayanmasına rağmen, yukarıdaki denklemler tamamen klasiktir. ${\görüntüleme stili SU(3)\kez SU(2)\kez U(1)}$

Chern-Simons işlevsel

Yukarıdakiyle aynı şekilde, eylem bir boyutta daha az, yani bir temas geometrisi ayarında düşünülebilir . Bu, Chern-Simons'a işlevsellik kazandırır . olarak yazılır

${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {A} ]=\int _{\mathcal {M}}\mathrm {tr} \left(\mathbf {A} \wedge d\mathbf {A} + {\frac {2}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \sağ).}$

Chern-Simons teorisi , büyük bir birleşik teoride bulmayı bekleyebileceğiniz geniş bir geometrik fenomen yelpazesi için bir oyuncak model olarak fizikte derinlemesine araştırıldı .

Ginzburg-Landau Lagrange

Ginzburg-Landau teorisi için Lagrange yoğunluğu , skaler alan teorisi için Lagrange ile Yang-Mills eylemi için Lagrange ile birleştirir . Şu şekilde yazılabilir:

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\psi ,A)=\vert F\vert ^{2}+\vert D\psi \vert ^{2}+{\frac {1}{4}}\ sol(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\sağ)^{2}}$

lifli bir vektör demetinin bir bölümü nerede . Bir sipariş parametresine tekabül süperiletken ; eşdeğer olarak, ikinci terimin ünlü "Sombrero şapka" potansiyeli olduğunu belirttikten sonra , Higgs alanına karşılık gelir . Alan (Abelian olmayan) ayar alanıdır, yani Yang-Mills alanıdır ve alan kuvvetidir. Euler-Lagrange denklemleri fonksiyonel Ginzburg-Landau içindir Yang-Mills denklemleri${\görüntüleme stili\psi }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\görüntüleme stili\psi }$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili F}$

${\displaystyle D{\star }D\psi ={\frac {1}{2}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)\psi }$

ve

${\displaystyle D{\star }F=-\operatöradı {Re} \langle D\psi ,\psi \rangle }$

nerede olduğunu Hodge yıldız operatörü , tam antisimetrik tensör yani. Bu denklemler, Yang–Mills–Higgs denklemleriyle yakından ilişkilidir . Bir başka yakından ilişkili Lagrange, Seiberg-Witten teorisinde bulunur . ${\görüntüleme stili {\yıldız }}$

Dirac Lagrange

Bir Dirac alanı için Lagrange yoğunluğu :

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\hbar c{\partial }\!\!\!/\ -mc^{2})\psi }$

nerede bir olan Dirac spinor , onun olduğu Dirac eşlenik ve olduğu Feynman eğik çizgi notasyonu için . Klasik teoride Dirac spinörlerine odaklanmaya özel bir ihtiyaç yoktur. Weyl spinörleri daha genel bir temel sağlamak; doğrudan Clifford uzay-zaman cebirinden oluşturulabilirler; herhangi bir sayıda boyutta inşaat işleri ve Dirac spinors özel bir durum olarak ortaya çıkıyor. Weyl spinörleri , bir Riemann manifoldu üzerindeki metrik için bir vielbein'de kullanılabilmeleri gibi ek bir avantaja sahiptir ; Bu , kabaca konuşursak, eğri bir uzay-zamanda spinorları tutarlı bir şekilde formüle etmenin bir yolu olan bir spin yapısı kavramını mümkün kılar . ${\görüntüleme stili\psi }$${\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\hançer }\gamma ^{0}}$${\görüntüleme stili {\kısmi }\!\!\!/}$${\displaystyle \gamma ^{\sigma }\kısmi _{\sigma }\!}$

Kuantum elektrodinamik Lagrange

QED için Lagrange yoğunluğu , Dirac alanı için Lagrange ile elektrodinamik için Lagrange ile gösterge değişmez bir şekilde birleştirir. Bu:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QED} }={\bar {\psi }}(i\hbar c{D}\!\!\!\!/\ -mc^{2 })\psi -{1 \over 4\mu _{0}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$

burada bir elektromanyetik tensör , D bir göstergesi bildirdiğinden türevi ve bir Feynmann gösterim için olan burada bir elektromanyetik dört potansiyel . Yukarıda "kuantum" kelimesi geçse de, bu tarihi bir eserdir. Dirac alanının tanımı herhangi bir niceleme gerektirmez , bir Clifford cebirinden ilk ilkelerden oluşturulan tamamen klasik bir anti- değişmeli Weyl spinörleri alanı olarak yazılabilir . Tam ölçü değişmez klasik formülasyon Bleecker'da verilmiştir. ${\displaystyle F^{\mu \nu }\!}$${\görüntüleme stili {D}\!\!\!\!/}$${\displaystyle \gamma ^{\sigma }D_{\sigma }\!}$${\displaystyle D_{\sigma }=\kısmi _{\sigma }-ieA_{\sigma }}$${\ Displaystyle A_{\sigma }}$

Kuantum kromodinamik Lagrange

Kuantum renk dinamiği için Lagrange yoğunluğu, bir veya daha fazla masif Dirac spinörü için Lagrange ile bir ayar alanının dinamiklerini tanımlayan Yang-Mills eylemi için Lagrange ile birleştirir ; birleşik Lagrange, ölçü değişmezidir. Şu şekilde yazılabilir:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}\left(i\hbar c{D}\!\ !\!\!/\ -m_{n}c^{2}\sağ)\psi _{n}-{1 \over 4}G^{\alpha }{}_{\mu \nu }G_{ \alpha }{}^{\mu \nu }}$

burada D QCD olan göstergesi bildirdiğinden türevi , N = 1, 2, ... 6 sayımı , kuark türleri ve bir gluon alan gücü tensörü . Yukarıdaki elektrodinamik duruma gelince, yukarıdaki "kuantum" kelimesinin ortaya çıkışı sadece onun tarihsel gelişimini kabul eder. Lagrange ve onun ayar değişmezliği tamamen klasik bir tarzda formüle edilebilir ve işlenebilir. ${\displaystyle G^{\alpha }{}_{\mu \nu }\!}$

Einstein yerçekimi

Madde alanlarının varlığında genel görelilik için Lagrange yoğunluğu

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{GR}}={\mathcal {L}}_{\text{EH}}+{\mathcal {L}}_{\text{madde}} ={\frac {c^{4}}{16\pi G}}\left(R-2\Lambda \sağ)+{\mathcal {L}}_{\text{madde}}}$

burada bir kozmolojik sabit , bir eğrilik skalar olup, Ricci tensörü anlaşmalı metrik tensörü ve Ricci tensörü olan Riemann tensör bir anlaşmalı Kronecker'in delta . integrali Einstein-Hilbert eylemi olarak bilinir . Riemann tensörü gelgit kuvveti tensörüdür ve uzay-zaman üzerindeki metrik bağlantıyı tanımlayan Christoffel sembollerinden ve Christoffel sembollerinin türevlerinden oluşturulmuştur . Yerçekimi alanının kendisi tarihsel olarak metrik tensöre atfedilmiştir; modern görüş, bağlantının "daha temel" olduğudur. Bu, sıfır olmayan burulma ile bağlantılar yazılabileceğinin anlaşılmasından kaynaklanmaktadır . Bunlar, geometriyi bir bit değiştirmeden metriği değiştirir. Gerçek "yerçekiminin gösterdiği yöne" (örneğin Dünya yüzeyinde, aşağıyı gösterir) gelince, bu Riemann tensöründen gelir: hareket eden cisimlerin hissettiği ve tepki verdiği "yerçekimi kuvveti alanını" tanımlayan şeydir. ile. (Bu son ifade nitelenmelidir: Kendi başına bir "kuvvet alanı" yoktur ; hareketli cisimler , bağlantı tarafından tanımlanan manifold üzerinde jeodezikleri takip eder. " düz bir çizgi " üzerinde hareket ederler .) ${\ Displaystyle \ Lambda }$${\görüntüleme stili R}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{EH}}}$

Genel görelilik için Lagrangian, onu Yang-Mills denklemlerine açıkça benzeyen bir biçimde de yazılabilir. Buna Einstein-Yang-Mills eylem ilkesi denir . Bu, diferansiyel geometrinin çoğunun, afin bağlantısı ve keyfi Lie grubu olan demetler üzerinde "sadece iyi" çalıştığına dikkat edilerek yapılır . Ardından, bu simetri grubu için, yani çerçeve alanları için SO(3,1)'i takarak, yukarıdaki denklemler elde edilir.

Bu Lagrange'ı Euler-Lagrange denkleminde yerine koyarak ve alan olarak metrik tensörü alarak Einstein alan denklemlerini elde ederiz.${\displaystyle g_{\mu\nu }}$

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Lambda ={\frac {8\pi G}{c ^{4}}}T_{\mu \nu }\,.}$

${\displaystyle T_{\mu\nu }}$olan enerji momentum tensör ve tanımlanır

${\displaystyle T_{\mu\nu }\equiv {\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\mathcal {L}}_{\mathrm {madde} }) {\sqrt {-g}})}{\delta g^{\mu\nu }}}=-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {madde}}}{\ delta g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {madde} }\,.}$

matris olarak kabul edildiğinde metrik tensörün determinantı nerede . Genel olarak, genel görelilikte, Lagrange yoğunluğunun eyleminin integrasyon ölçüsü . Metrik determinantın kökü Jacobian determinantına eşdeğer olduğundan bu, integral koordinatını bağımsız kılar . Eksi işareti, metrik imzanın bir sonucudur (belirleyici kendi başına negatiftir). Bu , daha önce tartışılan, düz olmayan uzay-zamanda tezahür eden hacim formunun bir örneğidir . ${\görüntüleme stili g}$${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$

Genel görelilikte elektromanyetizma

Genel görelilikteki elektromanyetizmanın Lagrange yoğunluğu, yukarıdan Einstein-Hilbert eylemini de içerir. Saf elektromanyetik Lagrange, tam olarak bir Lagrange meselesidir . Lagrange ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{madde}}}$

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}{\mathcal {L}}(x)&=j^{\mu }(x)A_{\mu }(x)-{1 \over 4\mu _{0} }F_{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)g^{\mu \rho }(x)g^{\nu \sigma }(x)+{\frac {c^ {4}}{16\pi G}}R(x)\\&={\mathcal {L}}_{\text{Maxwell}}+{\mathcal {L}}_{\text{Einstein-Hilbert }}.\end{hizalanmış}}}$

Bu Lagrange, yukarıdaki düz Lagrange'daki Minkowski metriğinin daha genel (muhtemelen eğri) bir metrikle değiştirilmesiyle elde edilir . Bu lagrangian'ı kullanarak bir EM alanının varlığında Einstein Alan Denklemlerini üretebiliriz. Enerji-momentum tensörü ${\displaystyle g_{\mu\nu }(x)}$

${\displaystyle T^{\mu \nu }(x)={\frac {2}{\sqrt {-g(x)}}}{\frac {\delta }{\delta g_{\mu \nu } (x)}}{\mathcal {S}}_{\text{Maxwell}}={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{{\text{ }}\lambda } ^{\mu }(x)F^{\nu \lambda }(x)-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x) )F^{\rho \sigma }(x)\sağ)}$

Bu enerji momentum tensörünün izsiz olduğu gösterilebilir, yani

${\displaystyle T=g_{\mu \nu }T^{\mu \nu }=0}$

Einstein Alan Denklemlerinin her iki tarafının izini alırsak,

${\displaystyle R=-{\frac {8\pi G}{c^{4}}}T}$

Dolayısıyla, enerji momentum tensörünün izsizliği, bir elektromanyetik alandaki eğrilik skalerinin ortadan kalktığını ima eder. Einstein denklemleri daha sonra

${\displaystyle R^{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}{\frac {1}{\mu _{0}}}\sol(F_{{ \text{ }}\lambda }^{\mu }(x)F^{\nu \lambda }(x)-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }(x)F_ {\rho \sigma }(x)F^{\rho \sigma }(x)\sağ)}$

Ek olarak, Maxwell denklemleri

${\displaystyle D_{\mu }F^{\mu \nu }=-\mu _{0}j^{\nu }}$

burada bir covariant türevi . Boş alan için mevcut tensörü sıfıra eşitleyebiliriz, . Boş uzayda küresel olarak simetrik bir kütle dağılımı etrafında hem Einstein hem de Maxwell denklemlerini çözmek , tanımlayıcı çizgi elemanıyla ( doğal birimlerde ve Q yüküyle yazılmış) Reissner-Nordström yüklü karadeliğe yol açar : ${\görüntüleme stili D_{\mu }}$${\görüntüleme stili j^{\mu }=0}$

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right )\mathrm {d} t^{2}-\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\sağ)^ {-1}\mathrm {d} r^{2}-r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}}$

Elektromanyetik ve yerçekimsel Lagrangianları (beşinci bir boyut kullanarak) birleştirmenin olası bir yolu Kaluza-Klein teorisi tarafından verilmektedir . Etkili bir şekilde, daha önce verilen Yang-Mills denklemlerinde olduğu gibi bir afin demeti oluşturulur ve ardından eylemi 4 boyutlu ve 1 boyutlu parçalar üzerinde ayrı ayrı ele alır. Bu çarpanlama örneğin 7-küre 4-küre bir ürünü ve 3-küre olarak yazılabilir, ya da 11-küre 4-küre bir ürünü ve 7-küre gibi faktörlere de bağlıdır, hesaba Her şeyin bir teorisinin bulunmuş olduğu ilk heyecanın çoğu için. Ne yazık ki, 7 küre, tüm Standart modeli kapsayacak kadar büyük olmadığını kanıtladı ve bu umutları boşa çıkardı.

Ek örnekler

• "Arka Plan Alanı"nın kısaltması olan BF modeli Lagrange, düz bir uzay-zaman manifoldu üzerine yazıldığında önemsiz dinamikleri olan bir sistemi tanımlar. Topolojik olarak önemsiz olmayan bir uzay-zamanda, sistem solitonlar veya instantonlar olarak yorumlanabilecek önemsiz olmayan klasik çözümlere sahip olacaktır . Topolojik alan teorilerinin temellerini oluşturan çeşitli uzantılar mevcuttur .

Ayrıca bakınız

Notlar

alıntılar