Gerçek sayıların tamlığı - Completeness of the real numbers

Sezgisel olarak tamlık, gerçek sayı doğrusunda herhangi bir “boşluk” (Dedekind'in terminolojisinde) veya “eksik noktalar” olmadığı anlamına gelir . Bu , karşılık gelen sayı doğrusunda her irrasyonel değerde bir "boşluk" bulunan rasyonel sayılarla çelişir . Gelen ondalık sayı sistemine , tamlık ondalık basamak herhangi sonsuz dize aslında bir olduğunu açıklamaya eşdeğerdir ondalık gösterim bazı gerçek sayı için.

Kullanılan gerçek sayıların yapısına bağlı olarak, tamlık bir aksiyom ( tamlık aksiyomu ) şeklini alabilir veya yapıdan kanıtlanmış bir teorem olabilir . Tamlığın birçok eşdeğer formu vardır , en belirginleri Dedekind tamlığı ve Cauchy tamlığıdır ( metrik uzay olarak tamlık ).

Bütünlük biçimleri

Gerçek sayılar edilebilir sentetik tanımlanmış bir şekilde sipariş alanın bir versiyonunu tatmin tamlık aksiyomuna . Bu aksiyomun farklı versiyonlarının tümü, bir tamlık biçimini karşılayan herhangi bir sıralı alanın hepsini yerine getirmesi anlamında eşdeğerdir ; sıralı ve Arşimet dışı alanlar olduğu için kesinlikle daha zayıf olan Cauchy tamlığı ve iç içe aralıklar teoremi dışında. Cauchy tamamlandı. Gerçek sayılar bunun yerine bir model kullanılarak oluşturulduğunda, tamlık bir teorem veya teoremler topluluğu haline gelir .

En küçük üst sınır özelliği

En küçük üst sınır özelliği , bir üst sınırı olan gerçek sayıların boş olmayan her alt kümesinin, gerçek sayılar kümesinde bir en küçük üst sınıra (veya üst sınıra) sahip olması gerektiğini belirtir.

Rasyonel sayı hattı S azından üst bağlı özelliğine sahip değildir. Bir örnek, rasyonel sayıların alt kümesidir.

${\displaystyle S=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\}.}$

Bu kümenin bir üst sınırı vardır. Bununla birlikte, bu kümenin Q'da en küçük üst sınırı yoktur : gerçeklerin bir alt kümesi olarak en küçük üst sınır √2 olacaktır , ancak Q'da yoktur . Herhangi bir x ∈ Q üst sınırı için , y < x olan başka bir y ∈ Q üst sınırı vardır .

Örneğin, x = 1.5 alın , o zaman x kesinlikle S'nin bir üst sınırıdır , çünkü x pozitiftir ve x ² = 2.25 ≥ 2 ; yani, S'nin hiçbir elemanı x'ten büyük değildir . Ancak, daha küçük bir üst sınır seçebiliriz, diyelim ki y = 1.45 ; bu da aynı nedenlerle S'nin bir üst sınırıdır , ancak x'ten daha küçüktür , dolayısıyla x , S'nin en küçük üst sınırı değildir . Bu, bir üst sınırı bulmak için aynı şekilde devam edebilir S daha küçük olan y , ki z = 1.42 bir en-üst sınır asla bu şekilde, vb S içinde Q .

En küçük üst sınır özelliği, kısmen sıralı kümelerin ayarına genelleştirilebilir . Bkz. eksiksizlik (düzen teorisi) .

Dedekind eksiksizliği

Bu adı taşıyan daha genel kavramlar için Dedekind tamlığına bakın .

Dedekind tamlığı, gerçek sayıların her Dedekind kesiminin bir gerçek sayı tarafından üretilmesi özelliğidir. Gerçek sayılara sentetik bir yaklaşımda, bu, çoğu zaman bir aksiyom olarak dahil edilen tamlık versiyonudur.

Rasyonel sayı hattı S Dedekind'in tam değildir. Bir örnek Dedekind kesimidir

${\displaystyle L=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}\leq 2\vee x<0\}.}$

${\displaystyle R=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}\geq 2\wedge x>0\}.}$

L'nin maksimumu yoktur ve R'nin minimumu yoktur, dolayısıyla bu kesim rasyonel bir sayı tarafından üretilmez.

Bir yoktur reel sayıların inşaat gerçek sayılar isim rasyonel sayılar Dedekind kesim kullanma fikri dayanan; örneğin yukarıda açıklanan kesim (L,R) name olacaktır . Eğer biri Dedekind kesimleriyle gerçek sayıların inşasını tekrarlayacak olsaydı (yani, tüm olası Dedekind kesimlerini ekleyerek gerçek sayılar kümesini "kapatmak"), gerçek sayılar zaten Dedekind tamamlandı olduğundan ek sayılar elde edilemezdi. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Cauchy eksiksizliği

Cauchy tamlığı , her Cauchy reel sayı dizisinin yakınsadığı ifadesidir .

Rasyonel sayı hattı S tam Cauchy değildir. Bir örnek, aşağıdaki rasyonel sayılar dizisidir:

${\displaystyle 3,\dörtlü 3.1,\dörtlü 3.14,\dörtlü 3.142,\dörtlü 3.1416,\dörtlü \ldots }$

Burada n, sırayla inci terimdir n th ondalık yaklaşım pi . Bu bir Cauchy rasyonel sayılar dizisi olmasına rağmen, herhangi bir rasyonel sayıya yakınsamaz. (Bu gerçek sayı doğrusunda, bu dizi pi'ye yakınsar.)

Cauchy tamlığı, gerçek sayıların Cauchy dizileri kullanılarak oluşturulmasıyla ilgilidir. Esasen, bu yöntem bir reel sayıyı Cauchy rasyonel sayılar dizisinin limiti olarak tanımlar.

Olarak matematiksel analiz , auchy bütünlüğü herhangi eksiksiz bir kavramına genelleştirilebilir metrik alanı . Tam metrik uzaya bakın .

Bir İçin sıralı alanda , Cauchy tamlık bu sayfadaki tamlığı diğer formlarına göre daha zayıftır. Ancak Cauchy bütünlüğü ve Arşimet özelliği birlikte alındığında diğerlerine eşdeğerdir.

İç içe aralıklar teoremi

İç içe aralığı teoremi bütünlüğü başka bir şeklidir. Let I _{, n} = [ a _{, n} , B _{, n} ] , kapalı bir dizisi aralıklarla ve bu aralıklar anlamında olup, iç içe geçmiş olduğunu varsayalım

${\displaystyle I_{1}\;\supset \;I_{2}\;\supset \;I_{3}\;\supset \;\cdots }$

Üstelik farz b _n -a _n → 0 olarak n → + ∞ . Yuvalanmış aralık teoremi , tüm I _n aralıklarının kesişiminin tam olarak bir nokta içerdiğini belirtir .

Rasyonel sayı çizgisi iç içe aralıklar teoremi tatmin etmiyor. Örneğin, dizi (terimleri önerilen şekilde pi rakamlarından türetilen )

${\displaystyle [3,4]\;\supset \;[3.1,3.2]\;\supset \;[3.14,3.15]\;\supset \;[3.141,3.142]\;\supset \;\cdots }$

kesişimi boş olan rasyonel sayılarda iç içe kapalı aralıklar dizisidir. (Gerçek sayılarda bu aralıkların kesişimi pi sayısını içerir .)

İç içe aralıklar teoremi, bu eksiksizlik ifadeleri yelpazesinde Cauchy eksiksizliği ile aynı mantıksal durumu paylaşır. Başka bir deyişle, iç içe aralıklar teoremi, Arşimet özelliği ile birlikte ele alınsa da diğer tamlık formlarına göre tek başına daha zayıftır , diğerlerine eşdeğerdir.

Monoton yakınsama teoremi

Monoton yakınsama teoremi olarak tanımlanan ( analizin temel aksiyomu Körner her azalmayan, reel sayılar yakınsak sınırlandırılmış sekansı. Bu, en üst sınır özelliği özel bir durum olarak izlenebilir belirtmektedir, ama aynı zamanda doğrudan oldukça kullanılabilir reel sayıların Cauchy tamlığını kanıtlayın.

Bolzano-Weierstrass teoremi

Bolzano-Weierstrass teoremi gerçek sayılar her Sınırlı bir dizinin yakınsak bir olduğunu bildiren altdizisi . Yine, bu teorem, yukarıda verilen diğer tamlık biçimlerine eşdeğerdir.

ara değer teoremi

Ara değer teoremi durumları negatif ve pozitif değerlerini hem de ulaşır her sürekli fonksiyon bir köke sahip olduğu. Bu, en küçük üst sınır özelliğinin bir sonucudur, ancak bir aksiyom olarak ele alınırsa, en küçük üst sınır özelliğini kanıtlamak için de kullanılabilir. (Sürekliliğin tanımı herhangi bir tamlık biçimine bağlı değildir, dolayısıyla bu döngüsel değildir.)

Ayrıca bakınız

• Gerçek analiz konularının listesi

Referanslar

daha fazla okuma

• Aliprantis, Charalambos D .; Burkinshaw, Owen (1998). Gerçek analizin ilkeleri (3. baskı). Akademik. ISBN'si 0-12-050257-7.
• Browder, Andrew (1996). Matematiksel Analiz: Bir Giriş . Matematikte Lisans Metinleri . New York: Springer Verlag. ISBN'si 0-387-94614-4.
• Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2000). Gerçek Analize Giriş (3. baskı). New York: John Wiley ve Oğulları. ISBN'si 0-471-32148-6.
• Abbott, Stephen (2001). Analizi Anlamak . Matematikte Lisans Metinleri. New York: Springer Verlag. ISBN'si 0-387-95060-5.
• Rudin, Walter (1976). Matematiksel Analiz İlkeleri . İleri Matematikte Walter Rudin Öğrenci Serisi (3. baskı). McGraw-Hill. ISBN'si 9780070542358.
• Danello, Frank; Seyfried, Michael (1999). Giriş Gerçek Analiz . Brooks Cole. ISBN'si 9780395959336.
• Bressoud, David (2007). Gerçek Analize Radikal Bir Yaklaşım . MAA . ISBN'si 0-88385-747-2.