Ford çemberi - Ford circle

1'den 20'ye kadar q için Ford daireleri . Q ≤ 10 olan daireler şu şekilde etiketlenir: p q ve q'ya göre renk kodlu . Her daire, temel çizgiye ve komşu dairelere teğettir . Aynı paydaya sahip indirgenemez kesirler, aynı boyutta dairelere sahiptir.

Gelen matematik bir Ford daire a, daire ile merkezi olarak ve yarıçapı bir olan indirgenemez fraksiyon , ie ve vardır göreceli asal tamsayı . Her bir Ford dairesi yatay eksene teğettir ve herhangi iki Ford dairesi birbirine teğet veya ayrıktır. ${\ displaystyle (p / q, 1 / (2q ^ {2}))}$ ${\ displaystyle 1 / (2q ^ {2}),}$ ${\ displaystyle p / q}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle y = 0,}$

Tarih

Ford çemberleri, karşılıklı teğet çemberlerin özel bir durumudur; taban çizgisi sonsuz yarıçaplı bir daire olarak düşünülebilir. Karşılıklı teğet çember sistemleri Pergalı Apollonius tarafından incelenmiş , ardından Apollonius ve Apollonian conta problemi adlandırılmıştır. 17. yüzyılda René Descartes , karşılıklı teğet çemberlerin yarıçaplarının karşıtları arasında bir ilişki olan Descartes teoremini keşfetti .

Ford çemberleri , Japon matematiğinin Sangaku'sunda (geometrik bulmacalar) da görünür . Gunma Eyaletindeki bir 1824 tabletinde sunulan tipik bir problem, üç dokunma dairesinin ortak bir teğet ile ilişkisini kapsar . Dıştaki iki büyük dairenin boyutu göz önüne alındığında, aralarındaki küçük dairenin boyutu nedir? Cevap bir Ford dairesine eşdeğerdir:

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {r _ {\ text {middle}}}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {r _ {\ text {left}}}}} + {\ frac {1} {\ sqrt {r _ {\ text {sağ}}}}}.}

Ford çevreleri, 1938'de onlar hakkında yazan Amerikalı matematikçi Lester R. Ford, Sr.'nin adını almıştır .

Özellikleri

Ford dairelerinin karşılaştırması ve 1'den 9'a kadar n için dairesel yaylara sahip bir Farey diyagramı . Her bir yayın, karşılık gelen daireleri dik açılarda kestiğine dikkat edin. Olarak SVG resmi, bir daire ya da eğri üzerinde gelme o ve şartları vurgulamak için.

Kesirle ilişkili Ford çemberi veya ile gösterilir Her rasyonel sayı ile ilişkili bir Ford çemberi vardır . Buna ek olarak, çizgi bir Ford çemberi olarak sayılır - sonsuzluk ile ilişkili Ford çemberi olarak düşünülebilir , bu durumda ${\ displaystyle p / q}$ ${\ displaystyle C [p / q]}$ ${\ displaystyle C [p, q].}$ ${\ displaystyle y = 1}$ ${\ displaystyle p = 1, q = 0.}$

İki farklı Ford dairesi ya ayrık ya da birbirine teğettir . Rasyonel koordinatlarla her noktada x eksenine teğet bir Ford dairesi olmasına rağmen, Ford dairelerinin hiçbir iki iç kısmı kesişmiyor . Eğer 0 ve 1, teğet olan Ford çevreleri arasında olduğu çeşitli olarak tanımlanabilir ${\ displaystyle p / q}$ ${\ displaystyle C [p / q]}$

nerede daireler ${\ displaystyle C [r / s]}$ ${\ displaystyle | ps-qr | = 1,}$
bazı Farey dizilerinde komşu olan fraksiyonlarla ilişkili daireler veya ${\ displaystyle r / s}$ ${\ displaystyle p / q}$
çevreler sonraki daha büyük veya yanındaki küçük atası içinde Stern-Brocot ağaca ya da nereye yanında daha büyük veya daha küçük bir sonraki atası . ${\ displaystyle C [r / s]}$ ${\ displaystyle r / s}$ ${\ displaystyle p / q}$ ${\ displaystyle p / q}$ ${\ displaystyle r / s}$

Eğer ve iki teğet Ford çevreleri daha sonra üzerinden bir daire olan ve (Ford çemberlerinin merkezleri x koordinatları) ve buna dik olan (ki merkez x-ekseni üzerinde) aynı zamanda nokta burada geçer -Axis iki daire birbirine teğettir. ${\ displaystyle C [p / q]}$ ${\ displaystyle C [r / s]}$ ${\ displaystyle (p / q, 0)}$ ${\ displaystyle (r / s, 0)}$ ${\ displaystyle x}$

Ford daireleri, karmaşık düzlemdeki eğriler olarak da düşünülebilir . Modüler grubu , kompleks düzlemin dönüşümlerin diğer Ford çevrelerine Ford çevreleri eşleştirir.

Ford daireleri , çizgiler ve daire tarafından oluşturulan Apollon contasındaki dairelerin bir alt kümesidir. ${\ displaystyle y = 0}$ ${\ displaystyle y = 1}$ ${\ displaystyle C [0/1].}$

Karmaşık düzlemin üst yarısını hiperbolik düzlemin bir modeli ( Poincaré yarı düzlem modeli ) olarak yorumlayarak, Ford çemberleri yıldız döngüleri olarak yorumlanabilir . Olarak hiperbolik geometrisi herhangi iki horocycles olan uyumlu . Bunlar ne zaman horocycles edilir çevrelenmiş tarafından apeirogons onlar kiremit bir ile hiperbolik düzlem emri-3 apeirogonal döşeme .

2015A AMC sınavının son sorusu, Ford çemberlerinin çevrelerinin karşılıklarının toplamını bulmaktır.

Ford çevrelerinin toplam alanı

Ford çevrelerin alanı arasında bir bağlantı vardır totient Riemann zeta fonksiyonu ve apéry sabiti hiçbir iki Ford çevreler kesiştiği olarak, Ford çevrelerin toplam alanının olduğunu hemen izler, ${\ displaystyle \ varphi,}$ ${\ displaystyle \ zeta,}$ ${\ displaystyle \ zeta (3).}$

{\ displaystyle \ sol \ {C [p, q]: 0 <{\ frac {p} {q}} \ leq 1 \ sağ \}}

1'den küçüktür. Aslında bu Ford dairelerinin toplam alanı, değerlendirilebilecek yakınsak bir toplamla verilir. Tanımdan, alan

{\ displaystyle A = \ toplam _ {q \ geq 1} \ toplamı _ {(p, q) = 1 \ atop 1 \ leq p <q} \ pi \ sol ({\ frac {1} {2q ^ {2 }}} \ sağ) ^ {2}.}

Bu ifadeyi basitleştirmek verir

{\ displaystyle A = {\ frac {\ pi} {4}} \ toplamı _ {q \ geq 1} {\ frac {1} {q ^ {4}}} \ toplamı _ {(p, q) = 1 \ atop 1 \ leq p <q} 1 = {\ frac {\ pi} {4}} \ sum _ {q \ geq 1} {\ frac {\ varphi (q)} {q ^ {4}}} = {\ frac {\ pi} {4}} {\ frac {\ zeta (3)} {\ zeta (4)}},}

Geçen eşitlik yansıtır nerede Dirichlet üreten fonksiyonu için totient yana bu nihayet olur ${\ displaystyle \ varphi (q).}$ ${\ displaystyle \ zeta (4) = \ pi ^ {4} / 90,}$

{\ displaystyle A = {\ frac {45} {2}} {\ frac {\ zeta (3)} {\ pi ^ {3}}} \ yaklaşık 0,872284041.}

Geleneksel olarak, önceki hesaplamaların kesire karşılık gelen yarıçaplı çemberi hariç tuttuğunu unutmayın . Yarısı birim aralığının dışında kalan tam çemberi içerir , dolayısıyla toplam yine de Ford çemberlerinin kapladığı birim karenin fraksiyonudur. ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {0} {1}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {1}}}$

Ford küreleri (3D)

Ford, karmaşık alanın üzerinde küreler

Ford çemberleri kavramı, rasyonel sayılardan Gauss mantığına göre genelleştirilebilir ve Ford küreleri verir. Bu yapıda, karmaşık sayılar üç boyutlu bir Öklid uzayında bir düzlem olarak gömülür ve bu düzlemdeki her bir Gauss rasyonel noktası için bu noktada düzleme teğet bir küre oluşturulur. Gibi en düşük açısından temsil edilen bir Gauss rasyonel için , bu kürenin çapı olmalıdır burada temsil kompleks bir konjügatı arasında . Ortaya çıkan küreler vardır teğet Gauss rationals çiftleri için ve ile , aksi takdirde birbirleriyle kesiştiği yok. ${\ displaystyle p / q}$ ${\ displaystyle 1 / q {\ bar {q}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {q}}}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle P / Q}$ ${\ displaystyle p / q}$ ${\ displaystyle | Pq-pQ | = 1}$