Kuantum durumlarının doğruluğu - Fidelity of quantum states

Gelen kuantum mekaniği özellikle de, kuantum bilgi teorisi , sadakat iki kuantum durumlarının "yakınlık" bir ölçüsüdür. Bir devletin diğeri olarak tanımlamak için bir testi geçme olasılığını ifade eder. Aslına uygunluk, yoğunluk matrislerinin uzayında bir ölçü değildir , ancak bu uzayda Bures metriğini tanımlamak için kullanılabilir .

İki yoğunluk operatörü verildiğinde ve aslına uygunluk genellikle miktar olarak tanımlanır . Özel durumda ve temsil saf kuantum durumları , yani, ve , tanım durumları arasındaki karesi örtüşmeye azaltır: . Genel tanımından bariz olmasa da, sadakat simetriktir: . ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle F (\ rho, \ sigma) = \ sol (\ operatöradı {tr} {\ sqrt {{\ sqrt {\ rho}} \ sigma {\ sqrt {\ rho}}}} \ sağ) ^ {2 }}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ rho = | \ psi _ {\ rho} \ rangle \! \ langle \ psi _ {\ rho} |}$${\ displaystyle \ sigma = | \ psi _ {\ sigma} \ rangle \! \ langle \ psi _ {\ sigma} |}$${\ displaystyle F (\ rho, \ sigma) = | \ langle \ psi _ {\ rho} | \ psi _ {\ sigma} \ rangle | ^ {2}}$${\ Displaystyle F (\ rho, \ sigma) = F (\ sigma, \ rho)}$

Motivasyon

İki verilen rastgele değişkenler değerleriyle ( kategorik rastgele değişkenler ) ve olasılıklar ve , aslına uygunluğu ve miktarı olarak tanımlanır ${\ displaystyle X, Y}$${\ displaystyle (1, ..., n)}$${\ displaystyle p = (p_ {1}, p_ {2}, \ ldots, p_ {n})}$${\ displaystyle q = (q_ {1}, q_ {2}, \ ldots, q_ {n})}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle F (X, Y) = \ sol (\ toplamı _ {i} {\ sqrt {p_ {i} q_ {i}}} \ sağ) ^ {2}}$ .

Doğruluk , rastgele değişkenlerin marjinal dağılımı ile ilgilenir . Bu değişkenlerin ortak dağılımı hakkında hiçbir şey söylemiyor . Başka bir deyişle, F (X, Y) aslına uygunluk, Öklid uzayında vektörler olarak görülen ve iç çarpımının karesidir . Sadece ve ancak p = q ise F (X, Y) = 1 olduğuna dikkat edin . Genel olarak . Ölçüsü olarak bilinir Bhattacharyya katsayısı . ${\ displaystyle ({\ sqrt {p_ {1}}}, \ ldots, {\ sqrt {p_ {n}}})}$${\ displaystyle ({\ sqrt {q_ {1}}}, \ ldots, {\ sqrt {q_ {n}}})}$${\ displaystyle 0 \ leq F (X, Y) \ leq 1}$ ${\ displaystyle \ toplam _ {i} {\ sqrt {p_ {i} q_ {i}}}}$

İki olasılık dağılımının ayırt edilebilirliğinin klasik bir ölçüsü verildiğinde , iki kuantum durumunun ayırt edilebilirliğinin bir ölçüsü aşağıdaki gibi motive edilebilir. Bir deneyci olup olmadığını belirlemek için çalıştığı takdirde kuantum durumu ya da bu iki imkanın bir ya da onlar durumuna yapabilir en genel olası ölçüm a, POVM kümesi tarafından tanımlanmaktadır, Hermitik pozitif yarı kesin operatör . Deneyci verilen devlet ise , bunlar sonucunu şahit olacaksınız olasılığı ve aynı şekilde olasılığıyla için . Kuantum durumlarını ayırt etme yetenekleri ve daha sonra klasik olasılık dağılımlarını ve . Doğal olarak, deneyci bulabileceği en iyi POVM'yi seçecektir, bu nedenle bu, kuantum sadakatini, tüm olası POVM'lere göre ekstre edildiğinde kare Bhattacharyya katsayısı olarak tanımlamayı motive eder : ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle \ {F_ {i} \}}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle p_ {i} = \ operatöradı {tr} (\ rho F_ {i})}$${\ displaystyle q_ {i} = \ operatöradı {tr} (\ sigma F_ {i})}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle \ {F_ {i} \}}$

${\ displaystyle F (\ rho, \ sigma) = \ min _ {\ {F_ {i} \}} F (X, Y) = \ min _ {\ {F_ {i} \}} \ sol (\ toplamı _ {i} {\ sqrt {\ operatöradı {tr} (\ rho F_ {i}) \ operatöradı {tr} (\ sigma F_ {i})}} \ sağ) ^ {2}.}$

Fuchs ve Caves tarafından bu açıkça simetrik tanımın bir sonraki bölümde verilen basit asimetrik formüle eşdeğer olduğu gösterilmiştir.

Tanım

Ρ ve σ olmak üzere iki yoğunluk matrisi verildiğinde , aslına uygunluk şu şekilde tanımlanır:

${\ displaystyle F (\ rho, \ sigma) = \ sol (\ operatöradı {tr} {\ sqrt {{\ sqrt {\ rho}} \ sigma {\ sqrt {\ rho}}}} \ sağ) ^ {2 },}$

burada, pozitif yarı kesin bir matris için , spektral teorem tarafından verildiği gibi , benzersiz pozitif karekökünü gösterir . Klasik tanımdaki Öklid iç çarpımı Hilbert-Schmidt iç çarpımı ile değiştirilir . ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ sqrt {M}}}$

Kuantum durum sadakatinin önemli özelliklerinden bazıları şunlardır:

• Simetri . . ${\ Displaystyle F (\ rho, \ sigma) = F (\ sigma, \ rho)}$
• Sınırlı değerler . Herhangi için ve , ve . ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle 0 \ leq F (\ rho, \ sigma) \ leq 1}$${\ displaystyle F (\ rho, \ rho) = 1}$
• Olasılık dağılımları arasında aslına uygunluk ile tutarlılık . If and commute , tanım basitleştiriyor ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ sigma}$
  $${\ displaystyle F (\ rho, \ sigma) = \ sol [\ operatöradı {tr} {\ sqrt {\ rho \ sigma}} \ sağ] ^ {2} = \ sol (\ toplamı _ {k} {\ sqrt {p_ {k} q_ {k}}} \ sağ) ^ {2} = F ({\ boldsymbol {p}}, {\ boldsymbol {q}}),}$$

  
  sırasıyla özdeğerleri nerede . Bunu görmek için, o zaman aynı temelde köşegenleştirilebileceklerini unutmayın : ${\ displaystyle p_ {k}, q_ {k}}$${\ displaystyle \ rho, \ sigma}$${\ displaystyle [\ rho, \ sigma] = 0}$
  $${\ displaystyle \ rho = \ toplam _ {i} p_ {i} | ben \ rangle \ langle i | {\ text {ve}} \ sigma = \ toplamı _ {i} q_ {i} | i \ rangle \ langle i |,}$$

  
  Böylece ${\ displaystyle \ operatorname {tr} {\ sqrt {\ rho \ sigma}} = \ operatorname {tr} \ left (\ sum _ {k} {\ sqrt {p_ {k} q_ {k}}} | i \ rangle \! \ langle i | \ right) = \ sum _ {k} {\ sqrt {p_ {k} q_ {k}}}.}$
• Saf durumlar için basitleştirilmiş ifadeler . Eğer bir saf , daha sonra . Bu, ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ rho = | \ psi _ {\ rho} \ rangle \! \ langle \ psi _ {\ rho} |}$${\ displaystyle F (\ rho, \ sigma) = \ langle \ psi _ {\ rho} | \ sigma | \ psi _ {\ rho} \ rangle}$
  $${\ displaystyle F (\ rho, \ sigma) = \ sol (\ operatör adı {tr} {\ sqrt {| \ psi _ {\ rho} \ rangle \ langle \ psi _ {\ rho} | \ sigma | \ psi _ {\ rho} \ rangle \ langle \ psi _ {\ rho} |}} \ right) ^ {2} = \ langle \ psi _ {\ rho} | \ sigma | \ psi _ {\ rho} \ rangle \ left (\ operatöradı {tr} {\ sqrt {| \ psi _ {\ rho} \ rangle \ langle \ psi _ {\ rho} |}} \ sağ) ^ {2} = \ langle \ psi _ {\ rho} | \ sigma | \ psi _ {\ rho} \ rangle.}$$

  
  İkisi de ve safsa ve o zaman . Bu, saf için yukarıdaki ifadeden hemen sonra gelir . ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ rho = | \ psi _ {\ rho} \ rangle \! \ langle \ psi _ {\ rho} |}$${\ displaystyle \ sigma = | \ psi _ {\ sigma} \ rangle \! \ langle \ psi _ {\ sigma} |}$${\ displaystyle F (\ rho, \ sigma) = | \ langle \ psi _ {\ rho} | \ psi _ {\ sigma} \ rangle | ^ {2}}$${\ displaystyle \ rho}$

• Eşdeğer ifade .

• Kübitler için açık ifade .

Alternatif tanım

Bazı yazarlar alternatif bir tanım kullanır ve bu niceliğe sadakat adını verir. Ancak tanımı daha yaygındır. Karışıklığı önlemek için "karekök aslına uygunluk" olarak adlandırılabilir. Her durumda, aslına uygunluk uygulandığında benimsenen tanımın açıklığa kavuşturulması tavsiye edilir. ${\ displaystyle F ': = {\ sqrt {F}}}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F '}$

Diğer özellikler

Üniter değişmezlik

Doğrudan hesaplama gösterileri sadakat tarafından korunduğunu üniter evrim , yani

${\ displaystyle \; F (\ rho, \ sigma) = F (U \ rho \; U ^ {*}, U \ sigma U ^ {*})}$

herhangi bir üniter operatör için . ${\ displaystyle U}$

Uhlmann teoremi

İki saf hal için, sadakatlerinin örtüşme ile örtüştüğünü gördük. Uhlmann'ın teoremi, bu ifadeyi saflaştırmaları açısından karışık durumlara geneller:

Teorem ρ ve σ, C ^n'ye etki eden yoğunluk matrisleri olsun . Ρ ^{1 ⁄ 2} , ρ'nun benzersiz pozitif karekökü olsun ve

Bir olmak saflaştırma p'ye ve (bu yüzden , aşağıdaki eşitliğin ortonormal baz olan): ${\ displaystyle \ textstyle \ {| e_ {i} \ rangle \}}$

${\ displaystyle F (\ rho, \ sigma) = \ max _ {| \ psi _ {\ sigma} \ rangle} | \ langle \ psi _ {\ rho} | \ psi _ {\ sigma} \ rangle | ^ { 2}}$

σ'nun saflaştırılması nerede . Bu nedenle, genel olarak aslına uygunluk, saflaştırmalar arasındaki maksimum örtüşmedir. ${\ displaystyle | \ psi _ {\ sigma} \ rangle}$

İspat taslağı

Basit bir ispat aşağıdaki gibi çizilebilir. Izin vektörü göstermek ${\ displaystyle \ textstyle | \ Omega \ rangle}$

${\ displaystyle | \ Omega \ rangle = \ toplamı _ {i = 1} ^ {n} | e_ {i} \ rangle \ otimes | e_ {i} \ rangle}$

ve σ ^{1 ⁄ 2} , σ'nun benzersiz pozitif kareköküdür. Görüyoruz ki, karekök çarpanlarına ayırmadaki ve birimdik tabanları seçmedeki üniter serbestlik nedeniyle , keyfi bir σ arındırması şeklinde olduğunu görüyoruz.

${\ displaystyle | \ psi _ {\ sigma} \ rangle = (\ sigma ^ {{1} / {2}} V_ {1} \ otimes V_ {2}) | \ Omega \ rangle}$

burada V _i 'ler düzgün operatörler . Şimdi doğrudan hesaplıyoruz

${\ displaystyle | \ langle \ psi _ {\ rho} | \ psi _ {\ sigma} \ rangle | ^ {2} = | \ langle \ Omega | (\ rho ^ {{1} / {2}} \ otimes I) (\ sigma ^ {{1} / {2}} V_ {1} \ otimes V_ {2}) | \ Omega \ rangle | ^ {2} = | \ operatöradı {tr} (\ rho ^ {{1 } / {2}} \ sigma ^ {{1} / {2}} V_ {1} V_ {2} ^ {T}) | ^ {2}.}$

Ancak genel olarak, herhangi bir kare matris A ve üniter U için , | tr ( AU ) | olduğu doğrudur. ≤ tr (( A ^* A ) ^{1 ⁄ 2} ). Ayrıca, eğer eşitlik elde edilir , U ^* üniter operatörü olan polar bir ayrışma arasında A . Bundan doğrudan Uhlmann teoremini izler.

Açık ayrıştırmalarla kanıt

Burada, Uhlmann teoremini kanıtlamak için alternatif ve açık bir yol sağlayacağız.

Sırasıyla ve saflaştırmaları olsun ve olsun . Başlamak için bunu gösterelim . ${\ displaystyle | \ psi _ {\ rho} \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi _ {\ sigma} \ rangle}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle | \ langle \ psi _ {\ rho} | \ psi _ {\ sigma} \ rangle | \ leq \ operatorname {tr} | {\ sqrt {\ rho}} {\ sqrt {\ sigma}} |}$

Devletlerin arındırılmasının genel biçimi şöyledir:

Yaramaz olan özvektörler arasında ve rasgele ortonormal bazlardır. Arındırmalar arasındaki örtüşme, ${\ displaystyle | \ lambda _ {k} \ rangle, | \ mu _ {k} \ rangle}$${\ displaystyle \ rho, \ \ sigma}$${\ displaystyle \ {u_ {k} \} _ {k}, \ {v_ {k} \} _ {k}}$

$${\ displaystyle \ langle \ psi _ {\ rho} | \ psi _ {\ sigma} \ rangle = \ sum _ {jk} {\ sqrt {\ lambda _ {j} \ mu _ {k}}} \ langle \ lambda _ {j} | \ mu _ {k} \ rangle \, \ langle u_ {j} | v_ {k} \ rangle = \ operatöradı {tr} \ left ({\ sqrt {\ rho}} {\ sqrt { \ sigma}} U \ sağ),}$$

üniter matris şu şekilde tanımlanır: ${\ displaystyle U}$

$${\ displaystyle U = \ sol (\ toplamı _ {k} | \ mu _ {k} \ rangle \! \ langle u_ {k} | \ sağ) \, \ sol (\ toplamı _ {j} | v_ {j } \ rangle \! \ langle \ lambda _ {j} | \ sağ).}$$

Şu anda eşitsizlik kullanılarak sonuca varılıyor : ${\ displaystyle | \ operatöradı {tr} (AU) | \ leq \ operatöradı {tr} ({\ sqrt {A ^ {\ hançer} A}}) \ eşdeğeri \ operatöradı {tr} | A |}$

$${\ displaystyle | \ langle \ psi _ {\ rho} | \ psi _ {\ sigma} \ rangle | = | \ operatöradı {tr} ({\ sqrt {\ rho}} {\ sqrt {\ sigma}} U) | \ leq \ operatöradı {tr} | {\ sqrt {\ rho}} {\ sqrt {\ sigma}} |.}$$

Bu eşitsizliğin, matrisin tekil değerlerine uygulanan üçgen eşitsizliği olduğuna dikkat edin. Aslında, genel bir matris ve üniter için , elimizde ${\ displaystyle A \ eşdeğeri \ toplam _ {j} s_ {j} (A) | a_ {j} \ rangle \! \ langle b_ {j} |}$${\ displaystyle U = \ toplam _ {j} | b_ {j} \ rangle \! \ langle w_ {j} |}$

$${\ displaystyle {\ begin {align} | \ operatorname {tr} (AU) | & = \ left | \ operatorname {tr} \ left (\ sum _ {j} s_ {j} (A) | a_ {j} \ rangle \! \ langle b_ {j} | \, \, \ sum _ {k} | b_ {k} \ rangle \! \ langle w_ {k} | \ sağ) \ sağ | \\ & = \ sol | \ sum _ {j} s_ {j} (A) \ langle w_ {j} | a_ {j} \ rangle \ right | \\ & \ leq \ sum _ {j} s_ {j} (A) \, | \ langle w_ {j} | a_ {j} \ rangle | \\ & \ leq \ sum _ {j} s_ {j} (A) \\ & = \ operatöradı {tr} | A |, \ end {hizalı} }}$$

burada vardır (her zaman gerçek ve negatif olmayan) tekil değerler arasında olduğu gibi, tekil değer ayrışımı . Eşitsizlik doymuştur ve ne zaman , yani ne zaman ve bu yüzden eşitlik halini alır . Yukarıdakiler, ne zaman arınma ve böyle olduğunu göstermektedir . Bu seçim, eyaletlerden bağımsız olarak mümkün olduğundan, nihayet şu sonuca varabiliriz: ${\ displaystyle s_ {j} (A) \ geq 0}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ langle w_ {j} | a_ {j} \ rangle = 1}$${\ displaystyle U = \ toplamı _ {k} | b_ {k} \ rangle \! \ langle a_ {k} |,}$${\ displaystyle AU = {\ sqrt {AA ^ {\ hançer}}} \ eşdeğeri | A |}$${\ displaystyle | \ langle \ psi _ {\ rho} | \ psi _ {\ sigma} \ rangle | = \ operatöradı {tr} | {\ sqrt {\ rho}} {\ sqrt {\ sigma}} |}$${\ displaystyle | \ psi _ {\ rho} \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi _ {\ sigma} \ rangle}$${\ displaystyle {\ sqrt {\ rho}} {\ sqrt {\ sigma}} U = | {\ sqrt {\ rho}} {\ sqrt {\ sigma}} |}$

$${\ displaystyle \ operatorname {tr} | {\ sqrt {\ rho}} {\ sqrt {\ sigma}} | = \ max | \ langle \ psi _ {\ rho} | \ psi _ {\ sigma} \ rangle | .}$$

Sonuçlar

Uhlmann teoreminin bazı acil sonuçları şunlardır:

• Doğruluk, argümanlarında simetriktir, yani F (ρ, σ) = F (σ, ρ). Bunun orijinal tanımdan anlaşılmadığını unutmayın.
• F (ρ, σ), Cauchy-Schwarz eşitsizliğine göre [0,1] 'de yer alır .
• F (ρ, σ) = 1 ancak ve ancak ρ = σ ise, çünkü Ψ _ρ = Ψ _σ , ρ = σ anlamına gelir.

Böylece, sadakatin neredeyse bir ölçü gibi davrandığını görebiliriz. Bu, tanımlanarak resmileştirilebilir ve kullanışlı hale getirilebilir

${\ displaystyle \ cos ^ {2} \ theta _ {\ rho \ sigma} = F (\ rho, \ sigma) \,}$

As açısı devletler arasında ve . Girişlerinde negatif olmayan, simetrik olan ve ancak ve ancak sıfıra eşit olan yukarıdaki özelliklerden kaynaklanır . Dahası, üçgen eşitsizliğine uyduğu kanıtlanabilir, bu nedenle bu açı, durum uzayında bir metriktir:

Fubini – Study metriği . ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ theta _ {\ rho \ sigma}}$${\ displaystyle \ rho = \ sigma}$

Karşılık gelen olasılık dağılımları arasındaki aslına uygunluk ile ilişki

Izin vermek rasgele

pozitif operatör değerli bir ölçü (POVM) olsun; yani tatmin edici bir dizi operatör . Aynı zamanda keyfi bir projektif ölçüm (PVM) olabilir, yani aynı zamanda tatmin eden bir POVM'dir ve . Sonra, herhangi bir durum çifti için ve bizde ${\ displaystyle \ {E_ {k} \} _ {k}}$${\ displaystyle E_ {k}}$${\ displaystyle \ toplamı _ {k} E_ {k} = I}$${\ displaystyle E_ {j} E_ {k} = \ delta _ {jk} E_ {j}}$${\ displaystyle E_ {k} ^ {2} = E_ {k}}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ sigma}$

$${\ displaystyle {\ sqrt {F (\ rho, \ sigma)}} \ leq \ sum _ {k} {\ sqrt {\ operatöradı {tr} (E_ {k} \ rho)}} {\ sqrt {\ operatöradı {tr} (E_ {k} \ sigma)}} \ equiv \ sum _ {k} {\ sqrt {p_ {k} q_ {k}}},}$$

son adımda POVM ile ölçülerek elde edilen olasılık dağılımlarını gösterdik . ${\ displaystyle p_ {k}, q_ {k}}$${\ displaystyle \ rho, \ \ sigma}$${\ displaystyle \ {E_ {k} \} _ {k}}$

Bu, iki kuantum durumu arasındaki aslına uygunluğun karekökünün, herhangi bir olası POVM'deki karşılık gelen olasılık dağılımları arasındaki Bhattacharyya katsayısı ile üst sınır olduğunu gösterir . Aslında, daha genel olarak doğrudur

$${\ displaystyle F (\ rho, \ sigma) = \ min _ {\ {E_ {k} \}} F ({\ kalın sembol {p}}, {\ kalın sembol {q}})}$$

nerede ve minimum olası tüm POVM'ler üzerinden alınır. ${\ displaystyle F ({\ boldsymbol {p}}, {\ boldsymbol {q}}) \ equiv \ left (\ sum _ {k} {\ sqrt {p_ {k} q_ {k}}} \ sağ) ^ {2}}$

Eşitsizliğin kanıtı

Daha önce gösterildiği gibi, aslına uygunluğun karekökü, üniter bir operatörün varlığına eşdeğer olan şekilde yazılabilir, öyle ki ${\ displaystyle {\ sqrt {F (\ rho, \ sigma)}} = \ operatöradı {tr} | {\ sqrt {\ rho}} {\ sqrt {\ sigma}} |,}$${\ displaystyle U}$

$${\ displaystyle {\ sqrt {F (\ rho, \ sigma)}} = \ operatöradı {tr} ({\ sqrt {\ rho}} {\ sqrt {\ sigma}} U).}$$

Bunun herhangi bir POVM için geçerli olduğunu hatırlayarak , sonra yazabiliriz ${\ displaystyle \ toplamı _ {k} E_ {k} = I}$

$${\ displaystyle {\ sqrt {F (\ rho, \ sigma)}} = \ operatöradı {tr} ({\ sqrt {\ rho}} {\ sqrt {\ sigma}} U) = \ toplam _ {k} \ operatöradı {tr} ({\ sqrt {\ rho}} E_ {k} {\ sqrt {\ sigma}} U) = \ toplam _ {k} \ operatöradı {tr} ({\ sqrt {\ rho}} {\ sqrt {E_ {k}}} {\ sqrt {E_ {k}}} {\ sqrt {\ sigma}} U) \ leq \ sum _ {k} {\ sqrt {\ operatöradı {tr} (E_ {k} \ rho) \ operatöradı {tr} (E_ {k} \ sigma)}},}$$

son adımda Cauchy-Schwarz eşitsizliğini olduğu gibi kullandık . ${\ displaystyle | \ operatöradı {tr} (A ^ {\ hançer} B) | ^ {2} \ leq \ operatöradı {tr} (A ^ {\ hançer} A) \ operatöradı {tr} (B ^ {\ hançer } B)}$

Kuantum operasyonları altında davranış

Durumlara seçici olmayan bir kuantum işlemi uygulandığında iki durum arasındaki aslın asla azalmadığı gösterilebilir : ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$

$${\ displaystyle F ({\ mathcal {E}} (\ rho), {\ mathcal {E}} (\ sigma)) \ geq F (\ rho, \ sigma)}$$

herhangi bir iz koruyucu tamamen pozitif harita için . ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$

Mesafeyi izleme ilişkisi

İz normuna göre A ve B matrisi arasındaki iz mesafesini şu şekilde tanımlayabiliriz :

${\ displaystyle D (A, B) = {\ frac {1} {2}} \ | AB \ | _ {\ rm {tr}} \ ,.}$

A ve B'nin her ikisi de yoğunluk operatörü olduğunda, bu istatistiksel mesafenin kuantum genellemesidir . Bu önemlidir çünkü izleme mesafesi, Fuchs-van de Graaf eşitsizlikleri ile ölçülen aslına uygunluğun üst ve alt sınırlarını sağlar ,

${\ displaystyle 1 - {\ sqrt {F (\ rho, \ sigma)}} \ leq D (\ rho, \ sigma) \ leq {\ sqrt {1-F (\ rho, \ sigma)}} \ ,. }$

Genellikle izleme mesafesinin hesaplanması veya sınırlandırılması aslına uygunluktan daha kolaydır, bu nedenle bu ilişkiler oldukça kullanışlıdır. Durumlardan en az birinin saf hal Ψ olması

durumunda , alt sınır sıkıştırılabilir.

${\ displaystyle 1-F (\ psi, \ rho) \ leq D (\ psi, \ rho) \ ,.}$

Referanslar

1. ^ CA Fuchs, CM Mağaraları: "Kuantum Mekaniğinde Erişilebilir Bilgiler için Topluluk Bağımlı Sınırlar" , Physical Review Letters 73, 3047 (1994)
2. ^ ^{a b} R. Jozsa, Karma Kuantum Durumları için Fidelity , J. Mod. Opt. 41 , 2315-2323 (1994). DOI: http://doi.org/10.1080/09500349414552171
3. ^ M. Hübner, Yoğunluk Matrisleri İçin Bures Mesafesinin Açık Hesaplanması , Phys. Lett. A 163 , 239-242 (1992). DOI: https://doi.org/10.1016/0375-9601%2892%2991004-B
4. ^ ^{a b} Nielsen, Michael A .; Chuang, Isaac L. (2000). Kuantum Hesaplama ve Kuantum Bilgileri . Cambridge University Press. doi : 10.1017 / CBO9780511976667 . ISBN   978-0521635035 .
5. ^ Bengtsson, Ingemar (2017). Kuantum Durumlarının Geometrisi: Kuantum Dolanıklığına Giriş . Cambridge, Birleşik Krallık New York, NY: Cambridge University Press. ISBN   978-1-107-02625-4 .
6. ^ Duvarlar, DF; Milburn, GJ (2008). Kuantum Optiği . Berlin: Springer. ISBN   978-3-540-28573-1 .
7. ^ Jaeger, Gregg (2007). Kuantum Bilgisi: Genel Bakış . New York Londra: Springer. ISBN   978-0-387-35725-6 .
8. ^ Uhlmann, A. (1976). "Bir ∗-cebirin durum uzayındaki" geçiş olasılığı " (PDF) . Matematiksel Fizik Raporları . 9 (2): 273–279. Bibcode : 1976RpMP .... 9..273U . doi : 10.1016 / 0034-4877 (76) 90060-4 . ISSN   0034-4877 .
9. ^ K. Życzkowski, I. Bengtsson, Geometry of Quantum States , Cambridge University Press, 2008, 131
10. ^ Nielsen, MA (1996-06-13). "Dolaşıklık doğruluğu ve kuantum hatası düzeltmesi". arXiv : quant-ph / 9606012 . Bibcode : 1996quant.ph..6012N . Alıntı dergisi gerektirir |journal= ( yardım )
11. ^ CA Fuchs ve J. van de Graaf, "Kuantum Mekanik Durumlar için Kriptografik Ayırt Edilebilirlik Ölçüleri", IEEE Trans. Inf. Teori 45, 1216 (1999). arXiv: quant-ph / 9712042

• Quantiki: Sadakat