Weierstrass işlevi - Weierstrass function
In matematik , Weierstrass fonksiyonu gerçek değerli bir örnektir fonksiyonu olan sürekli her yerde ama türevlenebilir hiçbir yerde. Fraktal eğriye bir örnektir . Adını kaşifi Karl Weierstrass'tan almıştır .
Weierstrass işlevi, tarihsel olarak patolojik bir işlevin rolüne hizmet etmiştir , özellikle bir dizi yalıtılmış nokta dışında her sürekli işlevin türevlenebilir olduğu fikrine meydan okumak için hazırlanmış ilk yayınlanmış örnek (1872) olmuştur. Weierstrass'ın sürekliliğin neredeyse her yerde türevlenebilirlik anlamına gelmediğini göstermesi, matematiği alt üst etti, geometrik sezgiye ve pürüzsüzlüğün belirsiz tanımlarına dayanan birkaç ispatı altüst etti . Bu tür işlevler çağdaşları tarafından kınandı: Henri Poincaré onları ünlü olarak "canavarlar" olarak nitelendirdi ve Weierstrass'ın çalışmalarını "sağduyuya karşı bir öfke" olarak nitelendirdi, Charles Hermite ise bunların "acı bir bela" olduğunu yazdı. Fonksiyonları gelecek yüzyılda bilgisayarların gelişine kadar görselleştirmek imkansızdı ve sonuçlar, Brownian hareket modelleri gibi pratik uygulamalar sonsuz pürüzlü fonksiyonları (günümüzde fraktal eğriler olarak bilinir) gerektirene kadar geniş çapta kabul görmedi .
Yapı
Weierstrass'ın orijinal makalesinde, fonksiyon bir Fourier serisi olarak tanımlandı :
nerede , pozitif bir tek tam sayıdır ve
Bu kısıtlamaların karşılandığı şekilde mevcut olan minimum değer ' dir . Bu yapı, fonksiyonun herhangi bir aralıkta türevlenebilir olmadığının kanıtıyla birlikte, ilk olarak Weierstrass tarafından 18 Temmuz 1872'de Königliche Akademie der Wissenschaften'e sunulan bir bildiride sunuldu .
Hiçbir zaman türevlenebilir olmamasına rağmen, fonksiyon süreklidir: Onu tanımlayan sonsuz serinin terimleri ± a n ile sınırlandırıldığından ve bunun 0 < a < 1 için sonlu toplamı olduğundan , Weierstrass tarafından terimlerin toplamının yakınsaması tekdüzedir . M n = a n ile M testi . Her bir kısmi toplam sürekli olduğundan, tarafından düzgün limit teoremi , aşağıdaki f süreklidir. Ek olarak, her kısmi toplam düzgün sürekli olduğundan , f'nin de düzgün sürekli olduğu sonucu çıkar.
Sürekli bir fonksiyonun bir türevinin olması veya türevlenebilir olmadığı noktalar kümesinin sayılabilir sonsuz veya sonlu olması beklenebilir. Weierstrass'ın makalesine göre, Gauss dahil daha önceki matematikçiler bunun doğru olduğunu varsaymışlardı. Bunun nedeni, türevlenemeyen noktaları kümesi sayılabilir bir nokta kümesinden farklı olan sürekli bir işlevi çizmenin veya görselleştirmenin zor olması olabilir. Daha iyi davranan sürekli fonksiyon sınıfları için benzer sonuçlar mevcuttur, örneğin, türevlenemezlik noktalarının bir Lebesgue boş kümesi olması gereken Lipschitz fonksiyonları ( Rademacher teoremi ). Genel bir sürekli fonksiyon çizmeye çalıştığımızda, genellikle Lipschitz olan veya başka bir şekilde iyi davranmış bir fonksiyonun grafiğini çizeriz.
Weierstrass işlevi, incelenen ilk fraktallardan biriydi , ancak bu terim çok sonrasına kadar kullanılmadı. İşlevin her düzeyde ayrıntısı vardır, bu nedenle eğrinin bir parçasına yakınlaşmak, onun giderek düz bir çizgiye yaklaştığını göstermez. Herhangi iki nokta arasında, ne kadar yakın olursa olsun, fonksiyon monoton olmayacaktır.
Klasik Weierstrass fonksiyonunun grafiğinin Hausdorff D boyutunun hesaplanması 2018 yılına kadar açık bir problemdi: oysa genellikle D' nin olduğuna inanılıyordu . Bu, D 2 koşulları izler az sıkı olan ve yukarıdan. Ancak 30 yıldan fazla bir süre sonra bu kesin olarak kanıtlandı.
Weierstrass fonksiyonu terimi, gerçek analizde , Weierstrass'ın orijinal örneğine benzer özelliklere ve yapıya sahip herhangi bir fonksiyona atıfta bulunmak için sıklıkla kullanılır . Örneğin, sonsuz seride kosinüs fonksiyonu parçalı doğrusal bir "zikzak" fonksiyonu ile değiştirilebilir . GH Hardy , yukarıdaki yapının fonksiyonunun 0 < a < 1, ab ≥ 1 varsayımlarıyla hiçbir yerde türevlenebilir olmadığını gösterdi .
Hölder sürekliliği
Weierstrass işlevini eşdeğer olarak şu şekilde yazmak uygundur:
için . O halde W α ( x ), α üssünün Hölder süreklisidir , yani öyle bir C sabiti vardır ki
tüm x ve y için . Ayrıca, B 1 tüm siparişler sürekli sahibidir α <1 değil Sürekli Lipschitz .
Hiçbir yerde türevlenemeyen fonksiyonların yoğunluğu
Weierstrass fonksiyonunun izole bir örnek olmaktan çok uzak olduğu ortaya çıktı: "patolojik" olmasına rağmen, aynı zamanda sürekli fonksiyonların "tipik"idir:
- Bir de topolojik anlamda: [0, 1] hiçbir türevlenebilir gerçek değerli fonksiyonların dizi comeager olarak vektör uzayı C ([0, 1]; R ) tüm sürekli gerçek değerli fonksiyonların ile [0, 1] düzgün yakınsama topolojisi ile .
- Bir de ölçüm-Teorik anlamda: zaman alan C ([0, 1]; R ) ile donatılmış klasik Wiener ölçü y , [0, 1] sahip hatta tek bir noktada türevlenebilir fonksiyonların toplama γ - ölçü sıfır . Aynısı, C'nin ([0, 1]; R ) sonlu boyutlu "dilimleri" alınsa bile geçerlidir , şu anlamda hiçbir yerde türevlenemez fonksiyonlar C'nin ([0, 1]; R ) yaygın bir alt kümesini oluşturur . .
Ayrıca bakınız
Notlar
Referanslar
- David, Claire (2018), "Dinamik sistemleri atlamak : Weierstrass fonksiyonunun grafiğinin kutu sayma boyutunu elde etmenin basit bir yolu", Proceedings of the International Geometry Center , Academy of Sciences of Ukraine, 11 (2): 53 –68, doi : 10.15673/tmgc.v11i2.1028
- Falconer, K. (1984), Fraktal Kümelerin Geometrisi, Matematikte Cambridge Yolları, Kitap 85, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33705-2
- Gelbaum, B Bernard R.; Olmstead, John MH (2003) [1964], Analizde Karşı Örnekler , Dover Books on Mathematics, Dover Publications, ISBN 978-0-486-42875-8
- Hardy, GH (1916), "Weierstrass'ın türevlenemez fonksiyonu" (PDF) , İşlemler Amerikan Matematik Derneği , Amerikan Matematik Derneği, 17 (3): 301–325, doi : 10.2307/1989005 , JSTOR 1989005
-
Weierstrass, Karl (18 Temmuz 1872), Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen , Königlich Preussische Akademie der Wissenschaften
- Weierstrass, Karl (1895), "Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen" , Mathematische Werke von Karl Weierstrass , 2 , Berlin, Almanya: Mayer & Müller, 71–74 s.
- İngilizce çeviri: Edgar, Gerald A. (1993), "Argümanlarının herhangi bir değeri için iyi tanımlanmış bir türevine sahip olmayan gerçek bir argümanın sürekli fonksiyonları üzerine", Classics on Fractals , Studies in Nonlinearity, Addison-Wesley Publishing Company , s. 3–9, ISBN 978-0-201-58701-2
Dış bağlantılar
- Weisstein, Eric W. "Weierstrass işlevi" . Matematik Dünyası . (aynı zamanda sürekli olan ve hiçbir yerde türevlenemeyen farklı bir Weierstrass Fonksiyonu)
- Banach'ın büzülme ilkesini kullanarak hiçbir yerde türevlenemez sürekli fonksiyon varlığının kanıtı .
- Baire kategori teoremini kullanarak hiçbir yerde monotonik sürekli fonksiyon varlığının kanıtı .
- Johan Thim. "Sürekli Hiçbir Yerde Türevlenemez Fonksiyonlar" . Yüksek Lisans Tezi Lulea Teknoloji Üniv 2003 . Erişim tarihi: 28 Temmuz 2006 .
- Karmaşık düzlemde Weierstrass fonksiyonu Güzel fraktal.
- SpringerLink - Fourier Analizi ve Uygulamaları Dergisi, Cilt 16, Sayı 1 Weierstrass'ın İşlevi ve Yavaş Büyüme Vakaları için Hiçbir Yerde Farklılaştırılamazlığın Basit Kanıtları
- Weierstrass fonksiyonları: sürekli ama hiçbir yerde türevlenemez