Dairesel yay - Circular arc

Bir dairesel sektör yeşil gölgeli. L uzunluğunun kavisli sınırı dairesel bir yaydır.

Bir dairesel yay olan yay a daire ayrı nokta çifti arasında. İki nokta birbirine tam karşısında değildir, bu yayların biri, küçük yay , edecek kavuşmaktadır az olan dairenin merkezine bir açı $π$ radyan (180 derece) ve diğer yay, ana kavsi , $π$ radyan'dan daha büyük bir açı olacaktır .

Uzunluk

Uzunluğu (daha kesin olarak, ark uzunluğu yarıçapı olan bir dairenin bir yayı) r ve bir açısı İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin daire merkezi (radyan cinsinden) - yani, merkezi açısı - olduğu

{\ displaystyle L = \ theta r.}

Bunun nedeni ise

{\ displaystyle {\ frac {L} {\ mathrm {çevre}}} = {\ frac {\ theta} {2 \ pi}}.}

Çevrede ikame

{\ displaystyle {\ frac {L} {2 \ pi r}} = {\ frac {\ theta} {2 \ pi}},}

ve α derece cinsinden ölçülen aynı açıdır, çünkü θ = α / 180 $π$ , yay uzunluğu eşittir

{\ displaystyle L = {\ frac {\ alpha \ pi r} {180}}.}

Bir daire içindeki bir yayın uzunluğunu belirlemenin pratik bir yolu, yayın uç noktalarından dairenin merkezine kadar iki çizgi çizmek, iki çizginin merkezle buluştuğu açıyı ölçmek ve sonra ifadeyi çapraz çarparak L'yi bulmaktır. :

derece / 360 ° = L / çevre cinsinden açı ölçüsü .

Örneğin, açı ölçüsü 60 derece ve çevre 24 inç ise, o zaman

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {60} {360}} & = {\ frac {L} {24}} \\ [6pt] 360L & = 1440 \\ [6pt] L & = 4. \ end {hizalı}}}

Bunun nedeni, her zaman 360 olan bir çemberin çevresi ve bir çemberin derecelerinin doğru orantılı olmasıdır.

Bir dairenin üst yarısı şu şekilde parametrelendirilebilir:

{\ displaystyle y = {\ sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}}.}

Daha sonra gelen yay uzunluğu için olduğu ${\ displaystyle x = a}$ ${\ displaystyle x = b}$

{\ displaystyle L = r {\ Büyük [} \ arcsin \ sol ({\ frac {x} {r}} \ sağ) {\ Büyük]} _ {a} ^ {b}.}

Sektör alanı

Bir yay tarafından oluşturulan sektörün alanı ve bir dairenin merkezi (yay ve uç noktalarına çizilen iki yarıçapla sınırlanmıştır)

{\ displaystyle A = {\ frac {r ^ {2} \ theta} {2}}.}

Alan A aynı orana sahip yuvarlak alan açısı İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin tam bir daire için:

{\ displaystyle {\ frac {A} {\ pi r ^ {2}}} = {\ frac {\ theta} {2 \ pi}}.}

Biz iptal edebilirsiniz $π$ her iki tarafta:

{\ displaystyle {\ frac {A} {r ^ {2}}} = {\ frac {\ theta} {2}}.}

Her iki tarafı da r ^{2 ile} çarparak nihai sonucu elde ederiz:

{\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} r ^ {2} \ theta.}

Yukarıda açıklanan dönüşümü kullanarak, derece cinsinden ölçülen merkezi bir açı için sektörün alanının şu olduğunu bulduk:

{\ displaystyle A = {\ frac {\ alpha} {360}} \ pi r ^ {2}.}

Segment alanı

Yay ile sınırlanan şeklin alanı ve iki uç noktası arasındaki düz çizgi,

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} r ^ {2} (\ theta - \ sin \ theta).}

Alanını elde etmek için yay kesimi , biz alanından, çemberin merkezi ve yayın iki uç noktaları ile belirlenen üçgenin alanını, çıkarmamız lazım . Ayrıntılar için Dairesel bölüme bakın. ${\ displaystyle A}$

Yarıçap

Ürün bir hat segmentleri PB AP ve çizgi parçası CP ve PD ürününü eşittir. Yayın AB genişliğine ve CP yüksekliğine sahipse, dairenin çapı

{\ displaystyle CD = {\ frac {AP \ cdot PB} {CP}} + CP}

Kesişen akor teoremini kullanarak (bir noktanın gücü veya sekant tanjant teoremi olarak da bilinir ) , bir yayın yüksekliği H ve genişliği W verildiğinde bir dairenin yarıçapını r hesaplamak mümkündür :

Akoru yay ile aynı uç noktalara sahip düşünün . Dik açıortay, dairenin çapı olan başka bir akordur. İlk akorun uzunluğu W'dir ve bisektör tarafından her biri uzunluğa sahip iki eşit yarıya bölünmüştür. W / 2 . Çapın toplam uzunluğu 2 r'dir ve birinci kirişle iki kısma ayrılır. Bir kısmın uzunluğu yayın sagittası H'dir ve diğer kısım çapın geri kalanıdır , uzunluğu 2 r - H'dir . Kesişen akor teoremini bu iki akora uygulamak,