Aronszajn ağacı - Aronszajn tree
Gelen set teorisi , bir Aronszajn ağaç bir sayılamayan olan ağaç yok sayılamayan dalları ve hiçbir sayılamayan seviyeleri ile. Örneğin, her Suslin ağacı bir Aronszajn ağacıdır. Daha genel olarak, bir ana için K , bir κ -Aronszajn ağaç ağacıdır önem düzeyi k bütün seviyeler daha az boyuta sahip olduğu k ve dalları az yüksekliğe sahip K (Aronszajn ağaç ile aynı olacak şekilde -Aronszajn ağaçlar). Onlar için adlandırılır Nachman Aronszajn 1934 yılında bir Aronszajn ağacı inşa; Yapısı Kurepa (1935) tarafından tanımlanmıştır .
Bir kardinal κ hiçbir hangi κ -Aronszajn ağaçlar söylenir mevcut olması ağaç özelliği (bazen bu koşul κ düzenli ve sayılamayan olduğu dahildir).
κ-Aronszajn ağaçlarının varlığı
Kőnig'in lemması , -Aronszajn ağaçlarının olmadığını belirtir .
Aronszajn ağaçların (varlığı -Aronszajn ağaçlar) tarafından kanıtlanmış oldu Nachman Aronszajn ve analog ima König lemmasının sayılamayan ağaçlar için tutmaz.
-Aronszajn ağaçlarının varlığına karar verilemez (belirli bir büyük ana aksiyom varsayarak): daha kesin olarak, süreklilik hipotezi bir -Aronszajn ağacının varlığını ima eder ve Mitchell ve Silver bunun tutarlı olduğunu gösterdi ( zayıf bir kompaktın varlığına göre). cardinal ) -Aronszajn ağacı yok.
Jensen, V = L'nin her sonsuz ardıl κ için bir κ -Aronszajn ağacı (aslında bir κ - Suslin ağacı ) olduğunu ima ettiğini kanıtladı .
Cummings & Foreman (1998) , (büyük bir ana aksiyom kullanarak) 1 dışında herhangi bir sonlu n için -Aronszajn ağacının bulunmadığının tutarlı olduğunu gösterdi .
Eğer κ zayıf kompakt sonra hiçbir κ -Aronszajn ağaçlar mevcuttur. Tersine, κ erişilemezse ve κ -Aronszajn ağacı yoksa κ zayıf kompakttır.
Özel Aronszajn ağaçları
Bir Aronszajn ağacına özel denir, eğer ağaçtan rasyonellere bir f fonksiyonu varsa, böylece x < y olduğunda f ( x )< f ( y ) olur . Martin aksiyomu MA( ), tüm Aronszajn ağaçlarının özel olduğunu ima eder. Daha güçlü uygun zorlama aksiyomu , herhangi iki Aronszajn ağacı için, ağaçların bu seviyeler grubuna kısıtlamaları izomorfik olacak şekilde bir kulüp seviye seti olduğu yönündeki daha güçlü ifadeyi ima eder, bu da bir anlamda herhangi iki Aronszajn ağacının esasen izomorf olduğunu söyler. ( Abraham & Shelah 1985 ). Öte yandan, özel olmayan Aronszajn ağaçlarının var olduğu tutarlıdır ve bu aynı zamanda genelleştirilmiş süreklilik hipotezi ve Suslin'in hipotezi ile de tutarlıdır ( Schlindwein 1994 ).
Özel bir Aronszajn ağacının inşaatı
Özel bir Aronszajn ağacı aşağıdaki gibi oluşturulabilir.
Ağacın öğeleri, rasyonel veya −∞ olan üstünlüğü olan, iyi sıralanmış belirli rasyonel sayılar kümeleridir. Eğer x ve y bu kümelerden ikisiyse, x ≤ y'yi (ağaç sırasına göre) x'in sıralı y kümesinin bir başlangıç parçası olduğu anlamına gelecek şekilde tanımlarız . Her sayılabilir sıra α için, α seviyesindeki ağacın elemanları için U α yazarız , böylece U α'nın elemanları α sıra tipine sahip belirli rasyonel kümeler olur. Özel Aronszajn ağacı T , tüm sayılabilir α için U α kümelerinin birleşimidir .
U 0 olarak boş kümeden başlayarak aşağıdaki gibi α üzerinde transfinit tümevarımla sayılabilir U α seviyelerini inşa ederiz :
- Eğer α + 1 ise, bir halefi , U , a + 1 , bir dizi, tüm uzantılar oluşur x olarak U a sup daha rasyonel daha fazlası olan X . U α + 1 içeri sayılabilir birçok elementlerin her birinin sayılabilir çok uzantı oluşur gibi sayılabilir olan U a .
- Eğer α bir sınırı vardır sonra izin T a az düzeyde tüm noktalarının ağaç olmak a . Her biri için , x in T α ve her bir rasyonel sayı için q sup göre daha fazla x , bir seviye tercih α dalı T α ihtiva eden x sup ile q . O halde U α bu dallardan oluşur. U α bunun içinde sayılabilir çok elementin her biri için sayılabilir çok dallı oluşur gibi sayılabilir olan T a .
Fonksiyonu f ( x ) = sup X -∞ rasyonel veya, ve bu takdirde özelliği X < y sonra f ( x ) < f ( y ). T'deki herhangi bir dal sayılabilir, çünkü f dalları dolaylı olarak −∞ ve rasyonellere eşler. İlk sayılamayan sırayı oluşturan her sayılabilir sıra α için boş olmayan bir U α düzeyine sahip olduğu için T sayılamaz . Bu, T'nin özel bir Aronszajn ağacı olduğunu kanıtlar .
Bu yapı inşa etmek için kullanılabilecek κ zaman -Aronszajn ağaçları κ düzenli kardinal bir halefi ve genelleştirilmiş süreklilik hipotezi olan daha genel tarafından rasyonel sayıları değiştirerek, tutan η seti .
Ayrıca bakınız
Referanslar
- İbrahim, Uri; Shelah, Saharon (1985), "Aronszajn ağaçlarının izomorfizm türleri", İsrail Matematik Dergisi , 50 : 75–113, doi : 10.1007/BF02761119
- Cummings, James; Foreman, Matthew (1998), "Ağaç özelliği", Matematikte Gelişmeler , 133 (1): 1-32, doi : 10.1006/aima.1997.1680 , MR 1492784
- Kunen, Kenneth (2011), Küme teorisi , Studies in Logic, 34 , London: College Publications, ISBN 978-1-84890-050-9, Zbl 1262.03001
- Kurepa, G. (1935), "Ensembles ordonnés et ramifiés" , Yayın. matematik. Üniv. Belgrad , 4 : 1–138, JFM 61.0980.01 , Zbl 0014.39401
- Schlindwein, Chaz (1994), "Suslin Hipotezinin Tutarlılığı, Özel Olmayan Bir Aronszajn Ağacı ve GCH", Journal of Symbolic Logic , The Journal of Symbolic Logic, Cilt. 59, No. 1, 59 (1): 1-29, doi : 10.2307/2275246 , JSTOR 2275246
- Schlindwein, Ch. (2001) [1994], "Aronszajn ağacı" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press
- Todorčević, S. (1984), "Ağaçlar ve doğrusal sıralı kümeler", Küme-teorik topoloji El Kitabı , Amsterdam: North-Holland, s. 235–293, MR 0776625