Von Neumann–Morgenstern fayda teoremi - Von Neumann–Morgenstern utility theorem

In karar teorisi , von Neumann-Morgenstern ( VNM ) yararlılık kuramı belli altında, gösteriler aksiyomların ait rasyonel davranış , karşı karşıya bir karar verici riskli o maksimize sanki (olasılıksal) farklı seçenekler sonuçlarını davranacaktır beklenen değeri Gelecekte belirli bir noktada potansiyel sonuçlar üzerinden tanımlanan bir fonksiyonun Bu işlev, von Neumann-Morgenstern yardımcı işlevi olarak bilinir. Teorem, beklenen fayda teorisinin temelidir .

1947'de John von Neumann ve Oskar Morgenstern , tercihleri dört aksiyomu karşılayan herhangi bir bireyin bir fayda fonksiyonuna sahip olduğunu kanıtladı ; böyle bir bireyin tercihleri ​​bir aralık ölçeğinde temsil edilebilir ve birey her zaman beklenen faydayı maksimize eden eylemleri tercih edecektir. Yani, bir madde rasyonel (VNM-) olduğu kanıtlanmıştır, olup , ancak ve ancak bir gerçek değerli fonksiyonu vardır u ajanının her tercih beklenen değerini maksimize ile karakterize edilir, öyle ki olası sonuçlar ile tanımlanan u bu bileşik bundan sonra, ajanın VNM-yardımcısı olarak tanımlanmalıdır (bir sabitin eklenmesine ve pozitif bir skaler ile çarpılmasına kadar benzersizdir). Hiçbir iddia ajan üst düzeye çıkarmak için "bilinçli arzusu" olduğunu yapılır u Sadece bu değil, u vardır.

Beklenen fayda hipotezi rasyonalite bir maksimize olarak modellenebilir olan beklenen değer şekilde özetlenebilir teoremi verilen, " ussallığın VNM-rasyonelliktir ". Bununla birlikte, aksiyomların kendileri çeşitli gerekçelerle eleştirildi ve aksiyomlara daha fazla gerekçe verildi.

VNM-yardımcısı, karar tercihlerini tanımlamak için kullanıldığı için bir karar yardımcı programıdır . Bu ilişkili, ancak sözde eşdeğer değildir e-programları (deneyim Araçları), yardımcı kavramları, örneğin olduğu gibi mutluluk ölçmek için tasarlanmıştır Bentham 'in büyük mutluluk Prensibi .

Kurmak

Teoremde, bireysel bir temsilci piyango adı verilen seçeneklerle karşı karşıyadır . Bazı birbirini dışlayan sonuçlar verildiğinde , bir piyango, her sonucun belirli bir olasılıkla gerçekleşeceği ve tüm olasılıkların bire eşit olduğu bir senaryodur . Örneğin, iki sonuç için A ve B ,

${\ Displaystyle L=0.25A+0.75B}$

P ( A ) = %25'in A'nın olma olasılığı ve P ( B ) = %75 (ve tam olarak bunlardan birinin gerçekleşeceği) olduğu bir senaryoyu belirtir . Daha genel olarak, birçok olası sonucu A _i olan bir piyango için şunu yazarız:

${\displaystyle L=\sum p_{i}A_{i},}$

toplamı ile s 1 eşit. ${\displaystyle p_{i}}$

Bir piyangodaki sonuçların kendisi diğer sonuçlar arasındaki piyango olabilir ve genişletilmiş ifade eşdeğer bir piyango olarak kabul edilir: 0,5(0,5 A  + 0,5 B ) + 0,5 C = 0,25 A  + 0,25 B  + 0,50 C .

L piyangosuna M piyangosu tercih edilirse , veya eşdeğeri olarak yazarız . Madde arasında kayıtsız ise L ve  M , biz bilgileri kayıtsızlık ilişki ise M ya fazla tercih edilen veya duyarsızlık göreli ile görüntülenir L , biz yazmak${\görüntüleme stili L\prec M}$${\görüntüleme stili M\succ L}$ ${\ Displaystyle L\sim M.}$${\displaystyle L\preceq M.}$

aksiyomlar

VNM-rasyonelliğinin dört aksiyomu, o zaman tamlık , geçişlilik , süreklilik ve bağımsızlıktır .

Tamlık, bir bireyin iyi tanımlanmış tercihlere sahip olduğunu varsayar:

Aksiyom 1 (Tamlık) Herhangi bir L,M piyangosu için tam olarak aşağıdakilerden biri geçerlidir:

${\görüntüleme stili \,L\prec M}$, , veya${\ Displaystyle \,M\prec L}$${\ Displaystyle \,L\sim M}$

(ya M tercih edilir, L tercih edilir veya birey kayıtsızdır).

Geçişlilik , tercihlerin herhangi üç seçenek arasında tutarlı olduğunu varsayar:

Aksiyom 2 (Geçişlilik) If ve , then , ve benzer şekilde .${\görüntüleme stili \,L\prec M}$${\ Displaystyle \,M\prec N}$${\görüntüleme stili \,L\prec N}$${\görüntüleme stili\sim }$

Süreklilik, belirli bir orta seçenekten daha iyi ve daha kötü olmak arasında bir "devrilme noktası" olduğunu varsayar :

Aksiyom 3 (Süreklilik): Eğer , öyle bir olasılık vardır ki ${\displaystyle \,L\preceq M\preceq N}$${\displaystyle \,p\in [0,1]}$

${\displaystyle \,pL+(1-p)N\,\sim \,M}$

burada sol taraftaki notasyon, L' nin p olasılıkla ve N'nin (1- p ) olasılıkla alındığı bir duruma atıfta bulunur .

Süreklilik yerine, Arşimet özelliği adı verilen kesin bir eşitlik içermeyen alternatif bir aksiyom varsayılabilir . Tercihteki herhangi bir ayrımın, olasılıklarda yeterince küçük bir sapma altında korunabileceğini söylüyor:

Aksiyom 3′ (Arşimet özelliği): Eğer , öyle bir olasılık vardır ki${\displaystyle \,L\prec M\prec N}$${\displaystyle \,\varepsilon \in (0,1)}$

${\displaystyle \,(1-\varepsilon )L+\varepsilon N\,\prec \,M\,\prec \,\varepsilon L+(1-\varepsilon )N.}$

(3) veya (3')'den sadece birinin varsayılması gerekir ve diğeri teorem tarafından ima edilecektir.

Alakasız alternatiflerin bağımsızlığı, bir tercihin başka bir sonucun olasılığından bağımsız olarak geçerli olduğunu varsayar:

Aksiyom 4 (Bağımsızlık): Herhangi ve için , ${\görüntüleme stili \,N}$${\displaystyle \,p\in (0,1]}$

${\displaystyle \,L\preceq M\qquad {\text{iff}}\qquad pL+(1-p)N\preceq pM+(1-p)N.}$

Bağımsızlık aksiyomu, bileşik piyangoların azaltılmasına ilişkin aksiyomu ima eder:

Aksiyom 4′ (Bileşik piyangoların azaltılması): Herhangi bir piyango ve herhangi bir piyango için ,${\görüntüleme stili L,L',N,N'}$${\displaystyle p,q\in [0,1]}$

${\displaystyle {\text{if}}\qquad L\sim qL'+(1-q)N',}$

${\displaystyle {\text{sonra}}\quad pL+(1-p)N\sim pqL'+p(1-q)N'+(1-p)N.}$

Aksiyom 4'ün Aksiyom 4' anlamına geldiğini görmek için, Aksiyom 4'teki ifadeyi ayarlayın ve genişletin. ${\ Displaystyle M=qL'+(1-q)N'}$

teorem

Herhangi bir VNM-rasyonel etmen için (yani, 1-4 aksiyomlarını karşılayan), her A sonucuna gerçek bir sayı u(A) atayan bir u işlevi vardır, öyle ki herhangi iki piyango için,

${\displaystyle L\prec M\qquad \mathrm {if\,and\,only\,if} \qquad E(u(L))<E(u(M)),}$

burada E(u(L)) veya daha kısaca Eu ( L ) ile verilir

${\displaystyle Eu(p_{1}A_{1}+\cdots +p_{n}A_{n})=p_{1}u(A_{1})+\cdots +p_{n}u(A_{ n}).}$

Bu nedenle, u benzersiz arasındaki tercihleri (kadar sabit ilave edilmesi ve pozitif bir skaler ile çarpılması ile) tayin edilebilir basit piyango formun bu anlamı pA  + - (1  s ) B sadece iki çıktıları olan. Tersine, bir u fonksiyonunun beklentisini maksimize etmek için hareket eden herhangi bir ajan, 1-4 aksiyomlarına uyacaktır. Böyle bir fonksiyona ajanın von Neumann-Morgenstern (VNM) yardımcı programı denir .

Kanıt kroki

Kanıt yapıcıdır: istenen işlevin nasıl oluşturulabileceğini gösterir . Burada, kesin sonuçların sayısının sonlu olduğu durum için inşa sürecini özetliyoruz. ${\görüntüleme stili u}$

Diyelim ki n tane kesin sonuç var, . Her kesin sonucun bir piyango olarak görülebileceğini unutmayın: sonucun 1 olasılıkla seçildiği dejenere bir piyangodur. Bu nedenle, Tamlık ve Geçiş aksiyomları ile sonuçları en kötüden en iyiye sıralamak mümkündür: ${\displaystyle A_{1}\dots A_{n}}$

${\displaystyle A_{1}\preceq A_{2}\preceq \cdots \preceq A_{n}}$

Eşitsizliklerden en az birinin katı olduğunu varsayıyoruz (aksi takdirde fayda fonksiyonu önemsizdir - bir sabit). Yani . Bu iki uç sonucu (en kötü ve en iyi) fayda fonksiyonumuzun ölçeklendirme birimi olarak kullanırız ve şunları tanımlarız: ${\displaystyle A_{1}\prec A_{n}}$

${\displaystyle u(A_{1})=0}$ ve ${\ Displaystyle u(A_{n})=1}$

Her olasılık için , olasılıkla en iyi sonucu, aksi takdirde en kötü sonucu seçen bir piyango tanımlayın : ${\displaystyle p\in [0,1]}$${\görüntüleme stili p}$

${\displaystyle L(p)=p\cdot A_{n}+(1-p)\cdot A_{1}}$

Bunu not edin ve . ${\displaystyle L(0)\sim A_{1}}$${\displaystyle L(1)\sim A_{n}}$

Süreklilik aksiyomuna göre, her kesin sonuç için şöyle bir olasılık vardır: ${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle q_{i}}$

${\displaystyle L(q_{i})\sim A_{i}}$

ve

${\displaystyle 0=q_{1}\leq q_{2}\leq \cdots \leq q_{n}=1}$

Her biri için , sonuç için fayda fonksiyonu şu şekilde tanımlanır: ${\görüntüleme stili ben}$${\displaystyle A_{i}}$

${\displaystyle u(A_{i})=q_{i}}$

yani her piyangonun faydası u'nun beklentisidir : ${\displaystyle M=\sum _{i}p_{i}A_{i}}$

${\displaystyle u(M)=u\left(\sum _{i}p_{i}A_{i}\sağ)=\sum _{i}p_{i}u(A_{i})=\sum _{i}p_{i}q_{i}}$

Bu fayda fonksiyonunun neden anlamlı olduğunu anlamak için , sonucu olasılık ile seçen bir piyango düşünün . Ancak, varsayımımıza göre, karar verici kesin sonuç ile piyango arasında kayıtsızdır . Bu nedenle, İndirgeme aksiyomuna göre, piyango ile aşağıdaki piyango arasında kayıtsızdır : ${\displaystyle M=\sum _{i}p_{i}A_{i}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle q_{i}\cdot A_{n}+(1-q_{i})\cdot A_{1}}$${\görüntüleme stili M}$

${\displaystyle M'=\sum _{i}p_{i}[q_{i}\cdot A_{n}+(1-q_{i})\cdot A_{1}]}$

${\displaystyle M'=\left(\sum _{i}p_{i}q_{i}\sağ)\cdot A_{n}+\left(\sum _{i}p_{i}(1-q_ {i})\sağ)\cdot A_{1}}$

${\displaystyle M'=u(M)\cdot A_{n}+(1-u(M))\cdot A_{1}}$

Piyango , aslında, bir piyango hangi iyi sonuç olasılığı kazanılır olduğu en kötü sonuç başka türlü, vb. ${\görüntüleme stili M'}$${\görüntüleme stili u(M)}$

Dolayısıyla, eğer , piyango tercih ediyorum rasyonel karar verici piyango üzerinde bu ona iyi sonucu kazanmak için daha geniş bir şans verir, çünkü. ${\ Displaystyle u(M)>u(L)}$${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili L}$

Buradan:

${\ Displaystyle L\prec M\;}$ ancak ve ancak ${\görüntüleme stili E(u(L))<E(u(M))).}$

Reaksiyon

Von Neumann ve Morgenstern, vardıkları sonuçların gücü karşısında sürpriz beklediler. Ancak onlara göre, fayda işlevlerinin işe yaramasının nedeni, tam olarak beklentisi maksimize edilen bir şeyin rolünü doldurmak için inşa edilmiş olmasıdır:

"Pek çok iktisatçı çok fazla varsaydığımızı hissedecek ... Çok fazla göstermedik mi? ... Gördüğümüz kadarıyla, varsayımlarımız makul ... Sayısal faydayı pratik olarak şu şekilde tanımladık: matematiksel beklentiler hesabının meşru olduğu şey." – VNM 1953, § 3.1.1 s.16 ve § 3.7.1 s. 28

Böylece, teoremin içeriği, u'nun inşasının mümkün olduğu ve doğası hakkında çok az şey iddia ettikleridir.

Sonuçlar

Riskten kaçınmanın otomatik olarak değerlendirilmesi

Gerçek dünyada parayla oynanan kumarlarla karşı karşıya kalan bir kişinin, dolar varlıklarının beklenen değerini maksimize etmek için hareket etmemesi sık görülen bir durumdur . Örneğin, yalnızca 1000$'lık birikimi olan bir kişi, %20'lik bir ihtimalle 10.000$ kazanma şansı için hepsini riske atmakta isteksiz olabilir.

${\displaystyle 20\%(\$10\,000)+80\%(\$0)=\$2000>100\%(\$1000)}$

Ancak, eğer kişi VNM-rasyonel olduğunu, bu tür gerçekler otomatik olarak fayda fonksiyonuna muhasebeleştirilir u . Bu örnekte şu sonuca varabiliriz:

${\displaystyle 20\%u(\$10\.000)+80\%u(\$0)<u(\$1000)}$

buradaki dolar miktarlarının gerçekten sonuçları temsil ettiği yerlerde (cf. " değer "), bireyin karşılaşabileceği üç olası durum. Özel olarak, u gibi özellikler sergileyebilir u + (1 $) u (1 $) ≠ u hiç VNM-rasyonelliği çelişmeksizin (2 $). Bu, parasal riskten kaçınmanın nicel bir teorisine yol açar .

Beklenen fayda hipotezi için çıkarımlar

1738'de Daniel Bernoulli , rasyonel davranışın, özellikle parasal değeri olması gerekmeyen bir u fonksiyonunun beklentisini maksimize etmek olarak tanımlanabileceğini ve böylece riskten kaçınmayı hesaba kattığını öne sürdüğü bir inceleme yayınladı . Bu, beklenen fayda hipotezidir . Belirtildiği gibi, hipotez cesur bir iddia gibi görünebilir. Beklenen fayda teoreminin amacı, doğrudan ve sezgisel olarak değerlendirilebilen, beklenen fayda hipotezinin ne zaman geçerli olduğunu açıklayan "mütevazı koşullar" (yani aksiyomlar) sağlamaktır:

Aksiyomlar çok sayıda olmamalı, sistemleri olabildiğince basit ve şeffaf olmalıdır ve her aksiyomun uygunluğunun doğrudan değerlendirilebileceği doğrudan sezgisel bir anlamı olmalıdır. Bizimki gibi bir durumda bu son gereklilik özellikle hayatidir. , belirsizliğine rağmen: matematiksel tedaviye uygun sezgisel bir kavram yapmak ve bunun hangi hipotezleri gerektirdiğini olabildiğince açık bir şekilde görmek istiyoruz." – VNM 1953 § 3.5.2, s. 25

Bu nedenle, beklenen fayda hipotezinin rasyonaliteyi karakterize etmediği iddiaları, VNM aksiyomlarından birini reddetmelidir. Çoğu bağımsızlık aksiyomunu düşüren veya gevşeten çeşitli genelleştirilmiş beklenen fayda teorileri ortaya çıkmıştır.

Etik ve ahlak felsefesi için çıkarımlar

Teorem, kumarların olası sonuçlarının doğası hakkında hiçbir şey varsaymadığı için, örneğin başkalarının yaşamı, ölümü, hastalığı veya sağlığı gibi ahlaki açıdan önemli olaylar olabilir. Bir von Neumann-Morgenstern rasyonel ajanı, bu tür olaylar için büyük bir endişe ile hareket etme, kişisel servet veya refahın çoğunu feda etme yeteneğine sahiptir ve bu eylemlerin tümü, ajanın VNM-fayda fonksiyonunun inşasını/tanımını etkileyecektir. Başka bir deyişle, hem doğal olarak "kişisel kazanç" olarak algılanan hem de doğal olarak "özgecilik" olarak algılanan şey, VNM-rasyonel bir bireyin VNM-fayda işlevinde örtük olarak dengelenir. Bu nedenle, çeşitli VNM-yardımcı işlevlerle , etmen odaklı ve etmen-nötr davranışların tamamı mümkündür .

is'in faydası ise , bir von Neumann-Morgenstern rasyonel ajanı ve arasında kayıtsız olmalıdır . Bu nedenle, etmen odaklı von Neumann-Morgenstern rasyonel bir etmen, kendi gelecekteki olası benlikleri arasında daha eşit veya "adil" fayda dağılımını tercih edemez. ${\görüntüleme stili N}$${\görüntüleme stili PM}$${\görüntüleme stili 1N}$${\displaystyle pM+(1-p)0}$

Faydanın diğer kavramlarından farklılığı

Bazı faydacı ahlak teorileri , kolektiflerin “toplam faydası” ve “ortalama faydası” olarak adlandırılan niceliklerle ilgilenir ve ahlakı, kişinin kendi yararını göz ardı ederek başkalarının faydasını veya mutluluğunu lehinde tutması açısından karakterize eder. Bu kavramlar, VNM-yardımcısı ile ilişkili olabilir, ancak bunlardan farklıdır:

• 1) VNM-faydası bir karar faydasıdır : kişinin neye göre karar verdiğidir ve bu nedenle tanımı gereği göz ardı edilen bir şey olamaz.
• 2) VNM-yardımcısı, birden fazla birey arasında kanonik olarak toplamsal değildir (bkz. Kısıtlamalar), bu nedenle "toplam VNM-yardımcısı" ve "ortalama VNM-yardımcısı" hemen anlamlı değildir (bir tür normalleştirme varsayımı gereklidir).

Terimi E-yarar "deneyim fayda" için olduğu gibi "hazcı" fayda türleri başvurmak için icat edilmiştir Bentham 'ın en büyük mutluluk prensibi . Ahlak, kararları etkilediği için, VNM-rasyonel bir ajanın ahlakı, kendi fayda fonksiyonunun tanımını etkileyecektir (yukarıya bakınız). Böylece, bir VNM-rasyonel ajanın ahlak ile karakterize edilebilir korelasyon VNM-fayda, e-fayda veya başkalarının "mutluluk" ile ajanın VNM-yarar, başka yollarla arasında değil tarafından ihmal ajanı kendi için VNM-yardımcısı, terimler açısından bir çelişki.

sınırlamalar

iç içe kumar

Eğer bu yana L ve M piyango, o zaman uL  + (1 -  p ) M basitçe "dışarı genişletilmiş" ve bir piyango kendisi, "iç içe kumar" olarak yaşanabilecek neler VNM biçimciliği yoksaydıklarınız kabul edilir. Bu, insanların risklerle ilgili risk algısından kaçınmayı tercih ettiği Ellsberg sorunuyla ilgilidir . Von Neumann ve Morgenstern bu sınırlamayı kabul ettiler:

"... kumarın özel bir faydası gibi kavramlar bu düzeyde çelişkisiz formüle edilemez. Bu paradoksal bir iddia gibi görünebilir. Ancak bu anlaşılması zor kavramı ciddi bir şekilde aksiyomlaştırmaya çalışan herhangi biri muhtemelen onunla aynı fikirde olacaktır." – VNM 1953 § 3.7.1, s. 28 .

Ajanlar arasında karşılaştırılamazlık

Herhangi iki VNM-agent X ve Y için , onların VNM-fayda fonksiyonları u _X ve u _Y yalnızca toplamsal sabitlere ve çarpımsal pozitif skalere kadar belirlendiğinden, teorem ikisini karşılaştırmak için herhangi bir kanonik yol sağlamaz. Dolayısıyla u _X ( L ) + u _Y ( L ) ve u _X ( L ) −  u _Y ( L ) gibi ifadeler kurallı olarak tanımlanmamıştır ve u _X ( L ) <  u _Y ( L ) gibi karşılaştırmalar da kurallı olarak doğru veya yanlış değildir. . Özellikle, bir popülasyonun yukarıda bahsedilen "toplam VNM-faydası" ve "ortalama VNM-faydası", normalleştirme varsayımları olmadan kanonik olarak anlamlı değildir.

Ekonomiye uygulanabilirlik

Beklenen fayda hipotezi gibi laboratuar bazlı ampirik deneyler, bir dizi prediktif doğruluk derecesi sınırlıdır gösterilmiştir Allais paradoks . Bu da bazı insanların bunu kanıt olarak yorumlamasına neden oluyor.

• insanlar her zaman rasyonel değildir veya
• VNM-rasyonelliği, rasyonalitenin uygun bir karakterizasyonu değildir veya
• her ikisinin bir kombinasyonu veya
• insanlar do VNM-rasyonel davranırlar ama objektif değerlendirme u ve inşaatı u olan inatçı problemleri.

Referanslar ve daha fazla okuma