Ulam spirali - Ulam spiral

200×200 boyutunda Ulam spirali. Siyah noktalar asal sayıları temsil eder. Yüksek yoğunluklu asal sayılara sahip çapraz, dikey ve yatay çizgiler açıkça görülebilir.

Karşılaştırma için, siyah renkli rastgele tek sayılara sahip bir spiral (200x200 spiralde aynı asal yoğunlukta).

Ulam spiral veya asal sarmal kümesi grafiksel anlatımıdır asal sayılar , matematikçi tarafından geliştirilen Stanisław Ulam 1963 yılında ve giderek yaygınlaşan Martin Gardner'in Matematik Oyunları sütun Scientific American kısa süre sonra. Pozitif tam sayıların bir kare sarmal içine yazılması ve asal sayıların özel olarak işaretlenmesiyle oluşturulmuştur.

Ulam ve Gardner, çok sayıda asal sayı içeren belirgin çapraz, yatay ve dikey çizgilerin sarmalındaki çarpıcı görünümü vurguladılar. Ulam Gardner Hem bu önemli hatların varlığı beklenmedik olmadığını belirtmek için, spiral tekabül çizgiler olarak ikinci dereceden polinom gibi, ve bu gibi belirli polinom, Euler 'in ana üreten polinom x ²  -  x  + 41, inanılmaktadır yüksek yoğunlukta asal sayılar üretir. Bununla birlikte, Ulam sarmalı, Landau'nun problemleri gibi sayı teorisindeki çözülmemiş büyük problemlerle bağlantılıdır . Özellikle, asimptotik yoğunluğun ne olması gerektiğine dair iyi desteklenen bir varsayım olmasına rağmen, hiçbir ikinci dereceden polinomun sonsuz sayıda asimptotik yoğunluğa sahip olması çok daha az, sonsuz sayıda asal ürettiği kanıtlanmamıştır .

1932'de, Ulam'ın keşfinden otuz yıldan fazla bir süre önce, herpetolog Laurence Klauber , benzer bir asal sayı konsantrasyonu sergileyen dikey ve çapraz çizgiler içeren üçgen, spiral olmayan bir dizi oluşturdu. Ulam gibi, Klauber de Euler'inki gibi asal üreten polinomlarla bağlantıya dikkat çekti.

Yapı

Ulam spirali, pozitif tam sayıların bir kare kafes üzerine spiral bir düzende yazılmasıyla oluşturulur :

ve sonra asal sayıları işaretlemek:

Şekilde, asal sayıların belirli çapraz çizgiler boyunca yoğunlaştığı görülmektedir. Yukarıda gösterilen 200×200 Ulam spiralinde, diyagonal çizgiler açıkça görülebilmekte ve örüntünün devam ettiğini teyit etmektedir. Asal sayıların yüksek olduğu yatay ve dikey çizgiler de daha az belirgindir. Çoğu zaman, sayı sarmalı merkezde 1 sayısı ile başlar, ancak herhangi bir sayı ile başlamak mümkündür ve diyagonal, yatay ve dikey çizgiler boyunca aynı asal konsantrasyonu gözlemlenir. Merkezde 41 ile başlayan, 40 asallık bir diziyi içeren bir köşegen verir (orijin 1523 güneybatısından başlayarak, orijinde 41'e düşer ve orijin 1601 kuzeydoğusuna yükselir), türünün en uzun örneğidir.

Tarih

Gardner'a göre, Ulam spirali 1963'te bir bilimsel toplantıda "uzun ve çok sıkıcı bir makalenin" sunumu sırasında karalamalar yaparken keşfetti. Bu el hesaplamaları "birkaç yüz puan" olarak gerçekleşti. Kısa bir süre sonra, Ulam, Myron Stein ve Mark Wells ile birlikte , Los Alamos Bilimsel Laboratuvarı'nda MANIAC II'yi kullanarak hesaplamayı yaklaşık 100.000 puana çıkardı. Grup ayrıca asal-zengin çizgilerin bazılarında ve bazı asal-fakir çizgilerinde 10.000.000'a kadar olan sayılar arasındaki asal sayıların yoğunluğunu da hesapladı. Spiralin 65.000 noktaya kadar olan görüntüleri "makineye bağlı bir dürbün" üzerinde gösterildi ve ardından fotoğraflandı. Ulam sarmalı, Martin Gardner'ın Scientific American dergisindeki Mart 1964 Matematik Oyunları sütununda anlatılmış ve bu sayının ön kapağında yer almıştır. Stein, Ulam ve Wells'in bazı fotoğrafları sütunda çoğaltılmıştır.

Scientific American sütununa bir ekte Gardner, Klauber'in önceki makalesinden bahsetti. Klauber, yapısını şu şekilde açıklar: "Tamsayılar, tepe noktasında 1, ikinci satır 2'den 4'e, üçüncüsü 5'ten 9'a vb. olmak üzere üçgen düzende düzenlenmiştir. Asal sayılar belirtildiğinde, bulunur. belirli dikey ve diyagonal çizgilerde konsantrasyonlar olduğunu ve bunların arasında yüksek konsantrasyonlarda asal konsantrasyonlara sahip Euler dizileri keşfedildi."

Açıklama

Sayı sarmalındaki çapraz, yatay ve dikey çizgiler, formun polinomlarına karşılık gelir.

${\displaystyle f(n)=4n^{2}+bn+c}$

burada b ve c tamsayı sabitleridir. Tüm b da olduğu, satır çapraz olan ve ya tüm sayılar tek, ya da her değerine bağlı olarak, daha da vardır c . Bu nedenle, 2 dışındaki tüm asal sayıların Ulam spiralinin alternatif köşegenlerinde yer alması şaşırtıcı değildir. gibi bazı polinomlar, yalnızca tek değerler üretirken, tamsayılar üzerinde çarpanlara ayrılır ve bu nedenle, muhtemelen faktörlerden birinin 1'e eşit olduğu durumlar dışında asla asal değildir. ${\displaystyle 4n^{2}+8n+3}$${\displaystyle (4n^{2}+8n+3=(2n+1)(2n+3))}$

Kalan tek köşegenlerden bazılarının neden diğerlerinden daha yüksek asal sayılara sahip olabileceğine dair fikir edinmek için ve düşünün . n , ardışık 0, 1, 2, ... değerlerini aldığı için 3'e bölündüğünde kalanları hesaplayın . Bu polinomların ilki için kalanların dizisi 1, 2, 2, 1, 2, 2, ... iken ikincisi için 2, 0, 0, 2, 0, 0, .... Bu, ikinci polinom tarafından alınan değerler dizisinde her üçten ikisinin 3'e bölünebildiği ve dolayısıyla kesinlikle bölünemediği anlamına gelir. prime, birinci polinom tarafından alınan değerler dizisinde hiçbiri 3'e bölünemez. Bu nedenle, birinci polinomun, ikincisinden daha yüksek bir asal yoğunluğuna sahip değerler üretmesi makul görünüyor. En azından bu gözlem, karşılık gelen köşegenlerin asal sayılarla eşit yoğunlukta olacağına inanmak için çok az neden verir. Tabii ki, 3 dışındaki asal sayılarla bölünebilirliği de göz önünde bulundurmalısınız. ilk polinom için , 11, 4, 5, 14 ve ikincisi için 5, 0, 3, 14, 3, 0, 5, 3, 9, 8, 0, 0, 8, 9, 3 ile ikinci dizideki 15 değerden sadece üçünün potansiyel olarak asal olduğu (ne 3 ne de 5 ile bölünemez), ilk dizideki 15 değerden 12'sinin potansiyel olarak asal olduğu (çünkü sadece üçü 5 ile bölünebilir ve hiçbiri ile bölünemez). 3). ${\displaystyle 4n^{2}+6n+1}$${\displaystyle 4n^{2}+6n+5}$

İkinci dereceden dizilerdeki asal sayılarla ilgili kesin olarak kanıtlanmış sonuçlar kıt olmakla birlikte, yukarıdaki gibi düşünceler, bir sonraki bölümde açıklanan bu tür dizilerdeki asimptotik asimptotik yoğunluk hakkında makul bir varsayıma yol açar.

Hardy ve Littlewood'un F varsayımı

Onların 1923 yazıda Goldbach Sanısı , Hardy ve Littlewood doğruysa, Ulam spiral çarpıcı özelliklerinden bazıları açıklıyor bunlardan biri, bir zanlar, bir dizi belirtti. Hardy ve Littlewood'un "F Tahmini" olarak adlandırdığı bu varsayım, Bateman-Horn varsayımının özel bir durumudur ve ax ²  +  bx  +  c formunun asal sayısı için asimptotik bir formül ileri sürer . Ulam sarmalının yatay ve düşey ile 45°'lik açı yapan merkez bölgesinden çıkan ışınlar , b çift ile 4 x ²  +  bx  +  c formundaki sayılara karşılık gelir ; yatay ve dikey ışınlar, b tek ile aynı formdaki sayılara karşılık gelir . F varsayımı, bu tür ışınlar boyunca asalların yoğunluğunu tahmin etmek için kullanılabilecek bir formül sağlar. Bu, farklı ışınlar boyunca yoğunlukta önemli bir değişkenlik olacağı anlamına gelir. Özellikle yoğunluk , b ²  − 16 c polinomunun diskriminantına oldukça duyarlıdır .

4 x ²  − 2 x  + 41 formunun x  = 0, 1, 2, ... ile asal sayıları mor renkle vurgulanmıştır. Şeklin alt yarısındaki belirgin paralel çizgi, 4 x ²  + 2 x  + 41'e veya eşdeğer olarak, x'in negatif değerlerine karşılık gelir .

Sanısı F formu, polinom ile ilgilidir ax ²  +  bx  +  c burada bir , b , ve c tamsayılardır ve bir pozitif. Katsayıları 1 den ortak bir faktör daha büyük içeren veya ayırma Δ = eğer  b ²  - 4 AC a, mükemmel bir kare , polinom factorizes ve bu nedenle üreten bileşik numaraları olarak X dışında (değerler 0, 1, 2, ... alır muhtemelen faktörlerden birinin 1'e eşit olduğu bir veya iki x değeri için . Ayrıca, eğer a  +  b ve c'nin her ikisi de çift ise, polinom yalnızca çift değerler üretir ve bu nedenle muhtemelen 2 değeri dışında bileşiktir. Hardy ve Littlewood, bu durumlar dışında, ax ²  +  bx  +  c'nin asal değerler aldığını iddia ederler. x 0, 1, 2, ... değerlerini aldığı için sonsuz sıklıkta ... Bu ifade, Bunyakovsky'nin daha önceki bir varsayımının özel bir durumudur ve açık kalır. Hardy ve Littlewood ayrıca, asimptotik olarak, ax ²  +  bx  +  c biçimindeki ve n'den küçük asal sayıların P ( n ) sayısının şu şekilde verildiğini iddia ederler :

${\displaystyle P(n)\sim A{\frac {1}{\sqrt {a}}}{\frac {\sqrt {n}}{\log n}}}$

burada A , a , b ve c'ye bağlıdır, ancak n'ye bağlı değildir . Tarafından asal sayı teoremi , bu, formül A'nın bir asal asimptotik sayısı daha az eşit olarak ayarlanabilir n şekilde sayılarının grubu ile aynı yoğunluğa sahip olan bir sayı rastgele grubu beklenen ax ²  +  bx  +  c . Ancak A , 1'den büyük veya küçük değerler alabileceğinden, varsayıma göre bazı polinomlar özellikle asal sayılar açısından zengin, diğerleri ise özellikle fakir olacaktır. Alışılmadık derecede zengin bir polinom,  Ulam spiralinde görünür bir çizgi oluşturan 4 x ²  − 2 x + 41'dir. Bu polinom için sabit A yaklaşık 6.6'dır, yani ürettiği sayıların, varsayıma göre, karşılaştırılabilir büyüklükteki rastgele sayılara göre asal olma olasılığının neredeyse yedi katı olduğu anlamına gelir. Bu özel polinom ile ilgilidir Euler ana üreten polinom x ²  -  x  değiştirerek + 41 x 2 x kısıtlayarak, eşdeğer ya da x hatta numaraları. A sabiti , tüm asal sayıların üzerinden geçen bir çarpım tarafından verilir,

${\displaystyle A=\prod \limits _{p}{\frac {p-\omega (p)}{p-1}}~}$,

burada ikinci dereceden polinom modulo p'nin sıfır sayısıdır ve bu nedenle 0, 1 veya 2 değerlerinden birini alır. Hardy ve Littlewood, ürünü şu şekilde üç faktöre ayırır: ${\ Displaystyle \ omega (p)}$

${\displaystyle A=\varepsilon \prod _{p}{\biggl (}{\frac {p}{p-1}}{\biggr )}\,\prod _{\varpi }{\biggl (}1 -{\frac {1}{\varpi -1}}{\Bigl (}{\frac {\Delta }{\varpi }}{\Bigr )}{\biggr )}}$.

Varsa burada faktör ε, asal 2'ye karşılık gelen 1 olan bir  +  b ise garip ve 2 a  +  b bile olduğunu. İlk ürün endeks p hem bölünen sonlu-birçok tuhaf asal üzerinden çalışır a ve b . Bu asal için çünkü p sonra bölemiyorsunuz c . İkinci ürün dizini , bir . Bu asal sayılar için , diskriminantın 0, sıfırdan farklı bir kare veya kare olmayan bir modulo p olmasına bağlı olarak 1, 2 veya 0'a eşittir . Bu kullanımı lara aittir Legendre sembolü , . Bir asal zaman p bölen bir değil b bir kök modülo var s . Sonuç olarak, bu tür asallar ürüne katkıda bulunmaz. ${\displaystyle \omega (p)=0}$${\görüntüleme stili \varpi }$${\ Displaystyle \ omega (p)}$${\displaystyle \sol({\frac {\Delta }{\varpi }}\sağ)}$

Şu anda bilinen en yüksek değer olan A ≈ 11.3 olan ikinci dereceden bir polinom Jacobson ve Williams tarafından keşfedilmiştir.

Varyantlar

Klauber'in 1932 tarihli makalesi, n satırının ( n   − 1) ²  + 1 ile n ² arasındaki sayıları içerdiği bir üçgeni tanımlar . Ulam sarmalında olduğu gibi, ikinci dereceden polinomlar düz çizgilerde uzanan sayılar üretir. Dikey çizgiler, k ²  -  k  +  M biçimindeki sayılara karşılık gelir . Şekilde asal sayıların yoğunluğunun yüksek olduğu dikey ve çapraz çizgiler belirgindir.

Robert Sacks, 1994 yılında Ulam spiralinin bir varyantını tasarladı. Sacks spiralinde, negatif olmayan tamsayılar, Ulam tarafından kullanılan kare spiral yerine Arşimet spirali üzerinde çizilir ve her tam dönüşte bir tam kare oluşacak şekilde aralıklıdır. . (Ulam spiralinde, her dönüşte iki kare oluşur.) Euler'in asal üreten polinomu, x ²  −  x  + 41, x 0, 1, 2, ... değerlerini aldığı için şimdi tek bir eğri olarak görünür . Bu eğri asimptotik olarak şeklin sol yarısında yatay bir çizgiye yaklaşır. (Ulam spiralinde, Euler'in polinomu, biri şeklin üst yarısında , dizideki x'in çift ​​değerlerine karşılık gelen , diğeri şeklin alt yarısında , dizideki tek x değerlerine karşılık gelen iki çapraz çizgi oluşturur. .)

Bileşik sayılar da Ulam sarmalına dahil edildiğinde ek yapı görülebilir . 1 sayısının sadece tek bir çarpanı vardır; her asal sayının kendisi ve 1 olmak üzere iki çarpanı vardır; Bileşik sayılar en az üç farklı faktöre bölünebilir. Faktörlerin sayısını belirtmek için bir tamsayıyı temsil eden noktanın boyutunu kullanmak ve asal sayıları kırmızı ve bileşik sayıları mavi renklendirmek gösterilen şekli üretir.

Düzlemin diğer döşemelerini izleyen spiraller de, örneğin altıgen spiraller gibi, asal sayılar açısından zengin çizgiler oluşturur.

• 

  Euler'in x ²   −   x   + 41 polinomu tarafından oluşturulan asal sayıların vurgulandığı Klauber üçgeni .

• 

  Çuval sarmal.

• 

  Hem asal hem de bileşik sayıları gösteren 150×150 boyutunda Ulam spirali.

• 

  Yeşil renkte asal sayılar ve daha koyu mavi tonlarında daha yüksek oranda bileşik sayılar içeren altıgen sayı sarmalı.

• 

  Normal üçgende görünen 7503 asal sayı spirali.

Ayrıca bakınız

• Desen tanıma
• Prime k-tuple

Referanslar

bibliyografya

Dış bağlantılar