Toroidal koordinatlar - Toroidal coordinates

İki boyutlu bir iki kutuplu koordinat sisteminin iki odağını ayıran eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilen toroidal koordinatların gösterimi . Odaklar , dikey z ekseninden 1 uzaklıkta bulunur . Kırmızı kürenin $ xy $ düzleminin üzerinde kalan kısmı σ = 30 ° eş yüzey, mavi simit τ = 0.5 eş yüzey ve sarı yarı düzlem φ = 60 ° eş yüzeydir. Yeşil yarı düzlem, φ'nin ölçüldüğü x - z düzlemini gösterir. Siyah nokta, kabaca Kartezyen koordinatlarında (0.996, −1.725, 1.911) kırmızı, mavi ve sarı eş yüzeylerin kesişme noktasında yer almaktadır.

Toroidal koordinatlar , iki boyutlu iki kutuplu koordinat sisteminin iki odağını ayıran eksen etrafında döndürülmesinden kaynaklanan üç boyutlu bir dikey koordinat sistemidir . Bu durumda, iki odak ve de iki kutuplu koordinatları yarıçaplı bir halka haline içinde koordinat simit şekilli sistemin düzlemi; -Axis dönme eksenini oluşturmaktadır. Odak halkası aynı zamanda referans çemberi olarak da bilinir. ${\ displaystyle F_ {1}}$${\ displaystyle F_ {2}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle xy}$${\ displaystyle z}$

Tanım

Toroidal koordinatların en yaygın tanımı şudur: ${\ displaystyle (\ sigma, \ tau, \ phi)}$

${\ displaystyle x = a \ {\ frac {\ sinh \ tau} {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}} \ cos \ phi}$

${\ displaystyle y = a \ {\ frac {\ sinh \ tau} {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}} \ sin \ phi}$

${\ displaystyle z = a \ {\ frac {\ sin \ sigma} {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}}}$

birlikte ). Bir noktanın koordinat açısına eşittir ve koordinat eşittir doğal logaritma mesafelerin oranı ve fokal halkanın zıt taraflarına ${\ displaystyle \ mathrm {işaret} (\ sigma) = \ mathrm {işaret} (z}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle F_ {1} PF_ {2}}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle d_ {1}}$${\ displaystyle d_ {2}}$

${\ displaystyle \ tau = \ ln {\ frac {d_ {1}} {d_ {2}}}.}$

Koordinat aralıkları ve ve ${\ displaystyle - \ pi <\ sigma \ leq \ pi}$${\ displaystyle \ tau \ geq 0}$${\ displaystyle 0 \ leq \ phi <2 \ pi.}$

Koordinat yüzeyleri

Bu iki boyutlu iki kutuplu koordinat sistemini dikey eksen etrafında döndürmek, yukarıdaki üç boyutlu toroidal koordinat sistemini oluşturur. Dikey eksendeki daire kırmızı küre , yatay eksendeki daire ise mavi simit olur .

Sabit yüzeyler, farklı yarıçaplı kürelere karşılık gelir ${\ displaystyle \ sigma}$

${\ displaystyle \ sol (x ^ {2} + y ^ {2} \ sağ) + \ sol (za \ karyola \ sigma \ sağ) ^ {2} = {\ frac {a ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ sigma}}}$

hepsi odak halkasından geçer ancak eşmerkezli değildir. Sabit yüzeyler , farklı yarıçaplarda kesişmeyen tori şeklindedir. ${\ displaystyle \ tau}$

${\ displaystyle z ^ {2} + \ sol ({\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} - a \ coth \ tau \ sağ) ^ {2} = {\ frac {a ^ { 2}} {\ sinh ^ {2} \ tau}}}$

odak halkasını çevreleyen. Sabit kürelerin merkezleri eksen boyunca uzanırken, sabit küreler düzlemde merkezlenmiştir . ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle xy}$

Ters dönüşüm

Koordinatları Kartezyen koordinatlarında (hesaplanabilir x , y , z ), aşağıdaki gibi. Azimut açısı formülle verilir ${\ displaystyle (\ sigma, \ tau, \ phi)}$${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle \ tan \ phi = {\ frac {y} {x}}}$

P noktasının silindirik yarıçapı şu şekilde verilir: ${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle \ rho ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} = \ sol (a {\ frac {\ sinh \ tau} {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}} \ sağ) ^ {2}}$

ve ile tanımlanan düzlemdeki odaklara olan mesafeleri şu şekilde verilir: ${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle d_ {1} ^ {2} = (\ rho + a) ^ {2} + z ^ {2}}$

${\ displaystyle d_ {2} ^ {2} = (\ rho -a) ^ {2} + z ^ {2}}$

Bir P noktasının σ ve τ koordinatlarının geometrik yorumu . Sabit azimut açı düzleminde gözlenen toroidal koordinatlar, iki kutuplu koordinatlara eşdeğerdir . Açısı bu düzlemde ve bu iki odak oluşturduğu P ise, odakları mesafelerin göre logaritmasıdır. Sabit ve karşılık gelen daireler sırasıyla kırmızı ve mavi olarak gösterilir ve dik açılarda buluşur (macenta kutu); onlar ortogonaldir. ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ tau}$

Koordinat , odak mesafelerinin doğal logaritmasına eşittir ${\ displaystyle \ tau}$

${\ displaystyle \ tau = \ ln {\ frac {d_ {1}} {d_ {2}}}}$

oysa kosinüs yasasından belirlenebilen ışınlar ile odak arasındaki açıya eşittir ${\ displaystyle | \ sigma |}$

${\ displaystyle \ cos \ sigma = {\ frac {d_ {1} ^ {2} + d_ {2} ^ {2} -4a ^ {2}} {2d_ {1} d_ {2}}}.}$

Veya açıkça işaret dahil olmak üzere,

${\ displaystyle \ sigma = \ mathrm {işaret} (z) \ arccos {\ frac {r ^ {2} -a ^ {2}} {\ sqrt {(r ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} + 4a ^ {2} z ^ {2}}}}}$

nerede . ${\ displaystyle r = {\ sqrt {\ rho ^ {2} + z ^ {2}}}}$

Silindirik ve toroidal koordinatlar arasındaki dönüşümler, karmaşık gösterimde şu şekilde ifade edilebilir:

${\ displaystyle z + i \ rho \ = ia \ coth {\ frac {\ tau + i \ sigma} {2}},}$

${\ displaystyle \ tau + i \ sigma \ = \ ln {\ frac {z + i (\ rho + a)} {zi (\ rho -a)}}.}$

Ölçek faktörleri

Toroidal koordinatlar için ölçek faktörleri ve eşittir ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ tau}$

${\ displaystyle h _ {\ sigma} = h _ {\ tau} = {\ frac {a} {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}}}$

oysa azimut ölçek faktörü eşittir

${\ displaystyle h _ {\ phi} = {\ frac {a \ sinh \ tau} {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}}}$

Böylece, sonsuz küçük hacim elemanı eşittir

${\ displaystyle dV = {\ frac {bir ^ {3} \ sinh \ tau} {\ sol (\ cosh \ tau - \ cos \ sigma \ sağ) ^ {3}}} \, d \ sigma \, d \ tau \, d \ phi}$

Diferansiyel Operatörler

Laplacian tarafından verilir

${\ displaystyle {\ başlar {hizalı} \ nabla ^ {2} \ Phi = {\ frac {\ sol (\ cosh \ tau - \ cos \ sigma \ sağ) ^ {3}} {a ^ {2} \ sinh \ tau}} & \ sol [\ sinh \ tau {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi \ sigma}} \ sol ({\ frac {1} {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}} {\ frac {\ kısmi \ Phi} {\ kısmi \ sigma}} \ sağ) \ sağ. \\ [8pt] & {} \ quad + \ left. {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi \ tau}} \ sol ( {\ frac {\ sinh \ tau} {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}} {\ frac {\ partic \ Phi} {\ partici \ tau}} \ right) + {\ frac {1} {\ sinh \ tau \ left (\ cosh \ tau - \ cos \ sigma \ right)}} {\ frac {\ kısmi ^ {2} \ Phi} {\ kısmi \ phi ^ {2}}} \ sağ] \ end {hizalı }}}$

Bir vektör alanı için , Vektör Laplacian şu şekilde verilir: ${\ displaystyle {\ vec {n}} (\ tau, \ sigma, \ phi) = n _ {\ tau} (\ tau, \ sigma, \ phi) {\ hat {e}} _ {\ tau} + n_ {\ sigma} (\ tau, \ sigma, \ phi) {\ hat {e}} _ {\ sigma} + n _ {\ phi} (\ tau, \ sigma, \ phi) {\ hat {e}} _ {\ phi}}$

${\ displaystyle \ Delta {\ vec {n}} (\ tau, \ sigma, \ phi) = \ nabla (\ nabla \ cdot {\ vec {n}}) - \ nabla \ times (\ nabla \ times {\ vec {n}})}$

${\ displaystyle = {\ frac {1} {a ^ {2}}} {\ vec {e}} _ {\ tau} \ sol \ {n _ {\ tau} \ sol (- {\ frac {\ sinh ^ {4} \ tau + (\ cosh \ tau - \ cos \ sigma) ^ {2}} {\ sinh ^ {2} \ tau}} \ sağ) + n _ {\ sigma} (- \ sinh \ tau \ sin \ sigma) + {\ frac {\ kısmi n _ {\ tau}} {\ kısmi \ tau}} \ left ({\ frac {(\ cosh \ tau - \ cos \ sigma) (1- \ cosh \ tau \ cos \ sigma)} {\ sinh \ tau}} \ sağ) + \ ldots \ doğru.}$

${\ displaystyle \ sol. + {\ frac {\ kısmi n _ {\ tau}} {\ kısmi \ sigma}} (- (\ cosh \ tau - \ cos \ sigma) \ sin \ sigma) + {\ frac {\ kısmi n _ {\ sigma}} {\ kısmi \ sigma}} (2 (\ cosh \ tau - \ cos \ sigma) \ sinh \ tau) + {\ frac {\ kısmi n _ {\ sigma}} {\ kısmi \ tau }} (- 2 (\ cosh \ tau - \ cos \ sigma) \ sin \ sigma) + \ ldots \ sağ.}$

${\ displaystyle \ sol. + {\ frac {\ kısmi n _ {\ phi}} {\ kısmi \ phi}} \ sol ({\ frac {-2 (\ cosh \ tau - \ cos \ sigma) (1- \ cosh \ tau \ cos \ sigma)} {\ sinh ^ {2} \ tau}} \ right) + {\ frac {\ kısmi ^ {2} n _ {\ tau}} {{\ kısmi \ tau} ^ {2 }}} (\ cosh \ tau - \ cos \ sigma) ^ {2} + {\ frac {\ kısmi ^ {2} n _ {\ tau}} {{\ kısmi \ sigma} ^ {2}}} (- (\ cosh \ tau - \ cos \ sigma) ^ {2}) + \ ldots \ sağ.}$

${\ displaystyle \ sol. + {\ frac {\ kısmi ^ {2} n _ {\ tau}} {{\ kısmi \ phi} ^ {2}}} {\ frac {(\ cosh \ tau - \ cos \ sigma ) ^ {2}} {\ sinh ^ {2} \ tau}} \ sağ \}}$

${\ displaystyle + {\ frac {1} {a ^ {2}}} {\ vec {e}} _ {\ sigma} \ sol \ {n _ {\ tau} \ sol (- {\ frac {(\ cosh ^ {2} \ tau + 1-2 \ cosh \ tau \ cos \ sigma) \ sin \ sigma} {\ sinh \ tau}} \ sağ) + n _ {\ sigma} \ sol (- \ sinh ^ {2} \ tau -2 \ sin ^ {2} \ sigma \ sağ) + \ ldots \ doğru.}$

${\ displaystyle \ sol. + {\ frac {\ kısmi n _ {\ tau}} {\ kısmi \ tau}} (2 \ sin \ sigma (\ cosh \ tau - \ cos \ sigma)) + {\ frac {\ kısmi n _ {\ tau}} {\ kısmi \ sigma}} \ left (-2 \ sinh \ tau (\ cosh \ tau - \ cos \ sigma) \ sağ) + \ ldots \ sağ.}$

${\ displaystyle \ sol. + {\ frac {\ kısmi n _ {\ sigma}} {\ kısmi \ tau}} \ sol ({\ frac {(\ cosh \ tau - \ cos \ sigma) (1- \ cosh \ tau \ cos \ sigma)} {\ sinh \ tau}} \ right) + {\ frac {\ kısmi n _ {\ sigma}} {\ kısmi \ sigma}} (- (\ cosh \ tau - \ cos \ sigma) \ sin \ sigma) + \ ldots \ doğru.}$

${\ displaystyle \ sol. + {\ frac {\ kısmi n _ {\ phi}} {\ kısmi \ phi}} \ sol (2 {\ frac {(\ cosh \ tau - \ cos \ sigma) \ sin \ sigma} {\ sinh \ tau}} \ sağ) + {\ frac {\ kısmi ^ {2} n _ {\ sigma}} {{\ kısmi \ tau} ^ {2}}} (\ cosh \ tau - \ cos \ sigma ) ^ {2} + {\ frac {\ kısmi ^ {2} n _ {\ sigma}} {{\ kısmi \ sigma} ^ {2}}} (\ cosh \ tau - \ cos \ sigma) ^ {2} + \ ldots \ right.}$

${\ displaystyle \ sol. + {\ frac {\ kısmi ^ {2} n _ {\ sigma}} {{\ kısmi \ phi} ^ {2}}} \ sol ({\ frac {(\ cosh \ tau - \ cos \ sigma) ^ {2}} {\ sinh ^ {2} \ tau}} \ sağ) \ sağ \}}$

${\ displaystyle + {\ frac {1} {a ^ {2}}} {\ vec {e}} _ {\ phi} \ sol \ {n _ {\ phi} \ sol (- {\ frac {(\ cosh \ tau - \ cos \ sigma) ^ {2}} {\ sinh ^ {2} \ tau}} \ sağ) + {\ frac {\ kısmi n _ {\ tau}} {\ kısmi \ phi}} \ sol ( {\ frac {2 (\ cosh \ tau - \ cos \ sigma) (1- \ cosh \ tau \ cos \ sigma)} {\ sinh ^ {2} \ tau}} \ sağ) + \ ldots \ sağ.}$

${\ displaystyle \ sol. + {\ frac {\ kısmi n _ {\ sigma}} {\ kısmi \ phi}} \ sol (- {\ frac {2 (\ cosh \ tau - \ cos \ sigma) \ sin \ sigma } {\ sinh \ tau}} \ sağ) + {\ frac {\ kısmi n _ {\ phi}} {\ kısmi \ tau}} \ sol ({\ frac {(\ cosh \ tau - \ cos \ sigma) ( 1- \ cosh \ tau \ cos \ sigma)} {\ sinh \ tau}} \ sağ) + \ ldots \ sağ.}$

${\ displaystyle \ sol. + {\ frac {\ kısmi n _ {\ phi}} {\ kısmi \ sigma}} (- (\ cosh \ tau - \ cos \ sigma) \ sin \ sigma) + {\ frac {\ kısmi ^ {2} n _ {\ phi}} {{\ kısmi \ tau} ^ {2}}} (\ cosh \ tau - \ cos \ sigma) ^ {2} + \ ldots \ sağ.}$

${\ displaystyle \ sol. + {\ frac {\ kısmi ^ {2} n _ {\ phi}} {{\ kısmi \ sigma} ^ {2}}} (\ cosh \ tau - \ cos \ sigma) ^ {2 } + {\ frac {\ kısmi ^ {2} n _ {\ phi}} {{\ kısmi \ phi} ^ {2}}} \ left ({\ frac {(\ cosh \ tau - \ cos \ sigma) ^ {2}} {\ sinh ^ {2} \ tau}} \ sağ) \ doğru \}}$

Gibi diğer diferansiyel operatörler ve koordinatlar ifade edilebilir bulunan genel formüller içine ölçek faktörlerini değiştirilmesi ile ortogonal koordinat . ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F}}$${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {F}}$${\ displaystyle (\ sigma, \ tau, \ phi)}$

Toroidal harmonikler

Standart ayırma

3 değişkenli Laplace denklemi

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi = 0}$

Toroidal koordinatlarda değişkenlerin ayrılması yoluyla çözümü kabul eder. İkame yapmak

${\ displaystyle \ Phi = U {\ sqrt {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}}}$

Ayrılabilir bir denklem elde edilir. Değişkenlerin ayrılmasıyla elde edilen belirli bir çözüm şudur:

${\ displaystyle \ Phi = {\ sqrt {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}} \, \, S _ {\ nu} (\ sigma) T _ {\ mu \ nu} (\ tau) V _ {\ mu} (\ phi)}$

burada her işlev aşağıdakilerin doğrusal bir kombinasyonudur:

${\ displaystyle S _ {\ nu} (\ sigma) = e ^ {i \ nu \ sigma} \, \, \, \, \ mathrm {ve} \, \, \, \, e ^ {- ben \ nu \ sigma}}$

${\ displaystyle T _ {\ mu \ nu} (\ tau) = P _ {\ nu -1/2} ^ {\ mu} (\ cosh \ tau) \, \, \, \, \ mathrm {ve} \, \, \, \, Q _ {\ nu -1/2} ^ {\ mu} (\ cosh \ tau)}$

${\ displaystyle V _ {\ mu} (\ phi) = e ^ {i \ mu \ phi} \, \, \, \, \ mathrm {ve} \, \, \, \, e ^ {- ben \ mu \ phi}}$

P ve Q'nun , birinci ve ikinci türdeki Legendre işlevleri ile ilişkili olduğu yerlerde . Bu Legendre fonksiyonları genellikle toroidal harmonikler olarak adlandırılır.

Toroidal harmoniklerin birçok ilginç özelliği vardır. Değişken bir ikame yaparsanız , örneğin, kaybolan sırayla (kongre, kaybolduğunda emri yazmamaktır) ve ${\ displaystyle z = \ cosh \ tau> 1}$${\ displaystyle \ mu = 0}$${\ displaystyle \ nu = 0}$

${\ displaystyle Q _ {- {\ frac {1} {2}}} (z) = {\ sqrt {\ frac {2} {1 + z}}} K \ sol ({\ sqrt {\ frac {2} {1 + z}}} \ sağ)}$

ve

${\ displaystyle P _ {- {\ frac {1} {2}}} (z) = {\ frac {2} {\ pi}} {\ sqrt {\ frac {2} {1 + z}}} K \ sol ({\ sqrt {\ frac {z-1} {z + 1}}} \ sağ)}$

burada ve eksiksiz eliptik integral bir birinci ve ikinci tür, sırasıyla. Toroidal harmoniklerin geri kalanı, örneğin, ilişkili Legendre fonksiyonları için yineleme ilişkileri kullanılarak, tam eliptik integraller cinsinden elde edilebilir. ${\ displaystyle \, \! K}$${\ displaystyle \, \! E}$

Toroidal koordinatların klasik uygulamaları, kısmi diferansiyel denklemlerin çözülmesidir , örneğin, toroidal koordinatların değişkenlerin ayrılmasına izin verdiği Laplace denklemi veya toroidal koordinatların değişkenlerin ayrılmasına izin vermediği Helmholtz denklemi . Tipik örnekler, iletken bir simidin elektrik potansiyeli ve elektrik alanı veya dejenere durumda bir elektrik akımı halkası olabilir (Hulme 1982).

Alternatif bir ayrım

Alternatif olarak, farklı bir ikame yapılabilir (Andrews 2006)

${\ displaystyle \ Phi = {\ frac {U} {\ sqrt {\ rho}}}}$

nerede

${\ displaystyle \ rho = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} = {\ frac {a \ sinh \ tau} {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}}.}$

Yine ayrılabilir bir denklem elde edilir. Değişkenlerin ayrılmasıyla elde edilen belirli bir çözüm şu şekildedir:

${\ displaystyle \ Phi = {\ frac {a} {\ sqrt {\ rho}}} \, \, S _ {\ nu} (\ sigma) T _ {\ mu \ nu} (\ tau) V _ {\ mu} (\ phi)}$

burada her işlev aşağıdakilerin doğrusal bir kombinasyonudur:

${\ displaystyle S _ {\ nu} (\ sigma) = e ^ {i \ nu \ sigma} \, \, \, \, \ mathrm {ve} \, \, \, \, e ^ {- ben \ nu \ sigma}}$

${\ displaystyle T _ {\ mu \ nu} (\ tau) = P _ {\ mu -1/2} ^ {\ nu} (\ coth \ tau) \, \, \, \, \ mathrm {ve} \, \, \, \, Q _ {\ mu -1/2} ^ {\ nu} (\ coth \ tau)}$

${\ displaystyle V _ {\ mu} (\ phi) = e ^ {i \ mu \ phi} \, \, \, \, \ mathrm {ve} \, \, \, \, e ^ {- ben \ mu \ phi}.}$

Not toroidal harmonikler için yeniden kullanılır, ancak bu , T   fonksiyonu, argüman yerine ve ve endeksleri değiş tokuş edilir. Bu yöntem, yüklü halka, sonsuz yarım düzlem veya iki paralel düzlem gibi sınır koşullarının küresel açıdan bağımsız olduğu durumlarda kullanışlıdır . Hiperbolik kosinüs argümanı ile toroidal harmonikleri hiperbolik kotanjant argümanınınkilerle ilişkilendiren kimlikler için Whipple formüllerine bakınız . ${\ displaystyle \ coth \ tau}$${\ displaystyle \ cosh \ tau}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle \ theta}$

Referanslar

• Byerly, W E. (1893) Fourier'in serileri ve küresel, silindirik ve elipsoidal harmonikleri üzerine temel bir inceleme, matematiksel fizikteki problemlere uygulamalarla Ginn & co. s. 264–266
• Arfken G (1970). Fizikçiler için Matematiksel Yöntemler (2. baskı). Orlando, FL: Academic Press. s. 112–115.
• Andrews, Mark (2006). "Laplace denkleminin toroidal koordinatlarda alternatif ayrımı ve elektrostatiğe uygulanması". Elektrostatik Dergisi . 64 (10): 664–672. CiteSeerX   10.1.1.205.5658 . doi : 10.1016 / j.elstat.2005.11.005 .
• Hulme, A. (1982). "Bir elektrik akımı halkasının manyetik skaler potansiyeli hakkında bir not". Cambridge Philosophical Society'nin Matematiksel İşlemleri . 92 (1): 183-191. doi : 10.1017 / S0305004100059831 .

Kaynakça

• Mors Başbakanı, Feshbach H (1953). Teorik Fizik, Bölüm Yöntemleri I . New York: McGraw – Hill. s. 666.
• Korn GA, Korn TM (1961). Bilim Adamları ve Mühendisler için Matematiksel El Kitabı . New York: McGraw-Hill. s. 182. LCCN   59014456 .
• Margenau H, Murphy GM (1956). Fizik ve Kimya Matematiği . New York: D. van Nostrand. s.  190 –192. LCCN   55010911 .
• Ay PH, Spencer DE (1988). "Toroidal Koordinatlar ( η , θ , ψ )". Koordinat Sistemleri, Diferansiyel Denklemler ve Çözümlerini İçeren Alan Teorisi El Kitabı (2. baskı, 3. gözden geçirilmiş baskı baskısı). New York: Springer Verlag. s. 112–115 (Bölüm IV, E4Ry). ISBN   978-0-387-02732-6 .

Dış bağlantılar

• Toroidal koordinatların MathWorld açıklaması