Süper seçim - Superselection

Gelen kuantum mekaniği , superselection kavramını genişleten seçim kuralları .

Süper seçim kuralları , belirli gözlenebilirlerin öz durumları arasında tutarlılık sergileyen kuantum durumlarının hazırlanmasını yasaklayan varsayılan kurallardır . Başlangıçta Wick, Wightman ve Wigner tarafından, kuantum teorisine seçim kurallarının ötesinde ek sınırlamalar getirmek için tanıtıldı .

Matematiksel olarak konuşursak, iki kuantum durumu ve verilen Hamiltonian için bir seçim kuralıyla ayrılırken , tüm fiziksel gözlemlenebilirler içinse bir süper seçim kuralıyla ayrılırlar . Gözlenebilir bağlanır için ve bir kuantum süperpozisyonu içine konamaz ve / veya bir kuantum üst üste iki durumdan bir klasik karışımından ayırt edilemez. Aynı zamanda, iki durum arasında farklılık gösteren, klasik olarak korunan bir miktar olduğunu ima eder. ${\ displaystyle \ psi _ {1}}$${\ displaystyle \ psi _ {2}}$${\ displaystyle \ langle \ psi _ {1} | H | \ psi _ {2} \ rangle = 0}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ langle \ psi _ {1} | A | \ psi _ {2} \ rangle = 0}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ langle \ psi _ {1} |}$${\ displaystyle | \ psi _ {2} \ rangle}$${\ displaystyle \ alpha | \ psi _ {1} \ rangle + \ beta | \ psi _ {2} \ rangle}$

Bir superselection sektörü kullanılan bir kavramdır kuantum mekaniği bir zaman gösterimi a * cebiri olarak ayrıştırılır indirgenemez bileşenleri . O değil tüm fikir formalizes kendine eş operatörler vardır gözlenebilirlerin farklı indirgenemez bileşenlerden sıfırdan farklı hallerinin superpozisyonlari nispi fazı (gözlemlenebilir olmadığı için beklenti değerleri gözlenebilirlerin bunları ayırt edemez).

Formülasyon

A'nın bir unital * -algebra olduğunu ve O'nun bir unital * - alt cebir olduğunu ve kendi kendine eşlenik öğeleri gözlemlenebilirlere karşılık geldiğini varsayalım . Bir üniter temsili bir O doğrudan toplamı olarak dekompoze olabilir indirgenemez üniter temsilleri O . Bu ayrışmadaki her izotipik bileşene bir süper seçim sektörü denir . Gözlemlenebilirler, süper seçim sektörlerini korur.

Simetri ile ilişki

Simetriler genellikle süper seçim sektörlerine yol açar (ancak bu, meydana gelmelerinin tek yolu değildir). Bir grup varsayalım G üzerinde etkili A , ve bu 'H üniter bir temsilidir hem A ve G, bir equivariant tüm bu anlamda g olarak G , bir de A ve ψ olarak H ,

${\ displaystyle g (a \ cdot \ psi) = (ga) \ cdot (g \ psi)}$

Varsayalım ki O , bir olduğu değişmez altcebirine A altında G (bütün gözlenebilirler altında değişmeyen G , fakat altında olmayan her özeslenik'tir değişmez G mutlaka gözlemlenebilir). H , her biri O temsiliyle indirgenemez bir G temsilinin tensör çarpımı olan süper seçim sektörlerine ayrışır .

Bu varsayılarak genelleştirilebilir H bir uzantısı veya kapak yalnızca temsilidir K arasında G . (Örneğin, G Lorentz grubu olabilir ve K karşılık gelen spin çift ​​örtüsü olabilir .) Alternatif olarak, G yerine bir Lie cebiri , Lie süper cebiri veya bir Hopf cebiri kullanılabilir .

Örnekler

Kapalı bir döngü (yani periyodik bir L periyodu çizgisi ) ile sınırlı bir kuantum mekanik parçacığı düşünün . Süper seçim sektörleri, 0 ile 2θ arasında bir angle açısı ile etiketlenir. Tek bir süper seçim sektöründeki tüm dalga fonksiyonları tatmin eder

${\ displaystyle \ psi (x + L) = e ^ {i \ theta} \ psi (x).}$

Süper seçim sektörleri

Sonsuz sayıda serbestlik derecesine sahip büyük bir fiziksel sistem, yeterli enerjiye sahip olsa bile her zaman olası her durumu ziyaret etmez. Bir mıknatıs belirli bir yönde mıknatıslanırsa, her dönüş herhangi bir sıcaklıkta dalgalanacaktır ancak net mıknatıslanma asla değişmeyecektir. Bunun nedeni, her farklı pozisyondaki sonsuz sayıda dönüşün hepsinin aynı şekilde dalgalanmasının sonsuz derecede olası olmamasıdır.

Büyük bir sistemin genellikle süper seçim sektörleri vardır . Katı, kafes simetrileri olmayan farklı dönüşler ve ötelemeler, süper seçim sektörlerini tanımlar. Genel olarak, bir üst seçim kuralı , yerel dalgalanmalarla asla değişemeyen bir miktardır. Bir mıknatısın mıknatıslanması gibi sipariş parametrelerinin yanı sıra , sargı numarası gibi topolojik büyüklükler de vardır. Bir ip dairesel bir telin etrafına sarılırsa, etrafına toplam sarma sayısı yerel dalgalanmalar altında asla değişmez. Bu sıradan bir koruma yasasıdır. Tel sonsuz bir çizgi ise, vakumun sistem boyunca tutarlı olan sargı sayısı dalgalanmalarına sahip olmadığı koşullar altında, koruma yasası bir süper seçim kuralıdır - sargının çözülme olasılığı sıfırdır.

Kuantum dalgalanmaları, bir faz tipi yol integralinin farklı konfigürasyonlarından kaynaklanan üst üste binmeler ve Boltzmann tipi yol integralinden istatistiksel dalgalanmalar vardır. Bu yol integrallerinin her ikisi de, etkili bir sonsuz sistemdeki büyük değişikliklerin dalgalanmalar arasında olası olmayan bir komplo gerektirmesi özelliğine sahiptir. Yani hem istatistiksel mekanik hem de kuantum mekaniksel süper seçim kuralları vardır.

Boşluğun bir simetri altında değişmez olduğu bir teoride, korunan yük, yükün korunması durumunda süper seçim sektörlerine yol açar. Evrenimizde elektrik yükü korunur, bu nedenle ilk bakışta önemsiz bir örnek gibi görünür. Ancak bir süperiletken alanı doldurduğunda veya eşdeğer olarak bir Higgs fazında, elektrik yükü hala küresel olarak korunur, ancak artık süper seçim sektörlerini tanımlamaz. Süper iletkenin çalkalanması, çok düşük maliyetle herhangi bir hacme yük getirebilir. Bu durumda, vakumun süper seçim sektörleri Higgs alanının yönü ile etiketlenir. Farklı Higgs yönleri tam bir simetri ile ilişkili olduğundan, hepsi tam olarak eşdeğerdir. Bu, simetri kırılma yönleri ile korunan yükler arasında derin bir ilişki olduğunu gösterir.

Ayrık simetri

2D Ising modelinde , düşük sıcaklıklarda , biri ortalama spin yukarı, diğeri ortalama spin aşağı dönük olan iki farklı saf durum vardır. Bu, sıralı aşamadır. Yüksek sıcaklıklarda, ortalama dönüşü sıfır olan yalnızca bir saf durum vardır. Bu düzensiz aşamadır. En faz geçişi ikisi arasında, spin yukarı ve spin aşağı arasındaki simetri kırılır.

Faz geçiş sıcaklığının altında, sonsuz bir çalışma modeli ya çoğunlukla artı ya da çoğunlukla eksi konfigürasyonda olabilir. Çoğunlukla artı fazında başlarsa, tüm dönüşleri çevirmek aynı enerjiyi verse bile, asla çoğunlukla eksi olana ulaşmaz. Sıcaklığı değiştirerek, sistem yeni bir süper seçim kuralı - ortalama spin elde etti. İki üst seçim sektörü vardır - çoğunlukla eksi ve çoğunlukla artı.

Başka üst seçim sektörleri de vardır; örneğin, düzlemin sol yarısının çoğunlukla artı ve uçağın sağ yarısının çoğunlukla eksi olduğunu belirtir.

Yeni bir üst seçim kuralı ortaya çıktığında, sistem kendiliğinden sipariş vermiştir . Kritik sıcaklığın üzerinde, ising modeli düzensiz. Prensip olarak her eyaleti ziyaret edebilirdi. Geçişin altında, sistem iki olasılıktan birini rastgele seçer ve asla fikrini değiştirmez.

Herhangi bir sonlu sistem için süper seçim kusurludur. Sonlu bir kafes üzerindeki bir Ising modeli, en sonunda sıfır olmayan herhangi bir sıcaklıkta çoğunlukla artıdan çoğunlukla eksiye dalgalanacaktır, ancak çok uzun zaman alır. Korelasyon uzunluklarında ölçülen sistem boyutunda zaman miktarı katlanarak küçüktür , bu nedenle tüm pratik amaçlar için, korelasyon uzunluğundan yalnızca birkaç kat daha büyük sistemlerde bile terslik asla gerçekleşmez.

Sürekli simetriler

Bir istatistiksel veya kuantum alan üç gerçek değerli skaler alana sahipse ve enerji veya eylem yalnızca bu bileşenlerin birbirine dönüşleri altında simetrik olan kombinasyonlara bağlıysa, en düşük boyuta sahip katkılar ( toplama kuralı ): ${\ displaystyle \ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ phi _ {3}}$

${\ displaystyle | \ nabla \ phi _ {i} | ^ {2} + t \ phi _ {i} ^ {2} + \ lambda (\ phi _ {i} ^ {2}) ^ {2} \, }$

ve eylemi bir kuantum alan bağlamında veya istatistiksel bağlamda serbest enerjide tanımlayın. İki aşama var. T büyük olduğunda, potansiyel ortalamayı sıfıra taşıma eğilimindedir . T Büyük ve negatif için, ikinci dereceden potansiyel dışarı iter , ancak kuartik potansiyel onun sonsuz olmasını engeller. Bu bir kuantum yolu integralinde yapılırsa, bu bir kuantum faz geçişidir , klasik bir bölme fonksiyonunda, klasik bir faz geçişidir . ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ phi}$

Her iki bağlamda da t daha negatif değerlere doğru ilerlediğinden, alanın işaret edecek bir yön seçmesi gerekir. Bunu yaptıktan sonra fikrini değiştiremez. Sistem sipariş verdi . Sıralı aşamada, kırılma ekseni etrafında hala biraz simetri - dönüşler vardır. Alan, uzayda bir birim küre üzerindeki tüm noktalar tarafından etiketlenen herhangi bir yönü işaret edebilir ; bu, tam simetri grubu SO (3) içindeki kırılmamış SO (2) alt grubunun koset uzayıdır. ${\ displaystyle \ phi}$

Düzensiz aşamada, üst seçim sektörleri, altında belirli bir konfigürasyonun küresel olarak dönüştüğü SO (3) 'ün temsili ile tanımlanır. SO (3) kesintisiz olduğundan, farklı temsiller birbiriyle karışmayacaktır. Hiçbir yerel dalgalanma, sonsuzluktan önemsiz SO (3) konfigürasyonları getirmeyecektir. Yerel bir konfigürasyon tamamen temsiliyle tanımlanır.

Önemsiz SO (3) dönüşümleri ile konfigürasyonları rotasyonel olarak değişmeyen vakumdan ayıran bir kütle boşluğu veya bir korelasyon uzunluğu vardır. Bu, kütle boşluğunun kaybolduğu ve korelasyon uzunluğunun sonsuz olduğu kritik noktaya kadar doğrudur. Kaybolan boşluk, SO (3) alanındaki dalgalanmaların yoğunlaşmak üzere olduğunun bir işaretidir.

Sıralı bölgede topolojik yük taşıyabilen saha konfigürasyonları mevcuttur. Bunlar, ikinci homotopi grubunun unsurları tarafından etiketlenir . Bunların her biri, orijinden büyük mesafelerde bir sargı konfigürasyonu olan farklı bir alan konfigürasyonunu tarif etmektedir. Bu tür izole edilmiş konfigürasyonların her biri sonsuz enerjiye sahip olmasına rağmen, iki durum arasındaki enerji farkının sonlu olduğu süper seçim sektörlerini etiketler. Ek olarak, geçişe aşağıdan yaklaşıldıkça zıt topolojik yüke sahip sargı konfigürasyonları çiftleri bol miktarda üretilebilir. ${\ displaystyle \ scriptstyle \ pi _ {2} (SO (3) / SO (2)) = \ mathbb {Z}}$

Sargı numarası sıfır olduğunda, her yerdeki alan aynı yönü gösterecek şekilde, her biri kırılmamış SO (2) yükünün farklı bir değeriyle etiketlenmiş ek bir sonsuzluk süper seçim sektörü vardır.

Sıralı durumda, sıfırdan farklı bir tamsayı ile etiketlenen süper seçim sektörleri için bir kütle boşluğu vardır , çünkü topolojik solitonlar çok büyüktür, hatta sonsuz büyüklüktedir. Ancak sıfır ile etiketlenen tüm süper seçim sektörleri için bir kütle boşluğu yoktur, çünkü yoğuşma yönündeki dalgalanmaları tanımlayan kütlesiz Goldstone bozonları vardır .

Alan değerlerinin altında tanımlanmış ise Z, ₂ (tüm işaret çevirme karşılık gelen yansıtma alanları), superselection alanları negatif olmayan bir tamsayı (topolojik şarj mutlak değeri) ile etiketlenir. ${\ displaystyle \ phi}$

O (3) ücretleri, sıralı aşamada değil, yalnızca düzensiz aşamada anlamlıdır. Bunun nedeni, simetri bozulduğunda , simetri grubu altında değişmeyen yüklü olan bir kondensat olmasıdır. Tersine, topolojik yük , düzensiz aşamada değil, yalnızca sıralı aşamada anlamlıdır, çünkü bazı el sallama yöntemlerinde, alanı noktadan noktaya rasgele hale getiren düzensiz aşamada "topolojik yoğunlaşma" vardır. Randomizasyon, birçok yoğunlaştırılmış topolojik sargı sınırını geçmek olarak düşünülebilir.

Hangi suçlamaların anlamlı olduğu sorusu büyük ölçüde aşamaya bağlıdır. Düzensiz taraftan faz geçişine yaklaşırken, yük parçacıklarının kütlesi sıfıra yaklaşır. Ona sıralı taraftan yaklaşırken, topolojik solitonların dalgalanmalarıyla ilişkili kütle boşluğu sıfıra yaklaşır.

Parçacık fiziğinde örnekler

Higgs mekanizması

Olarak standart model parçacık fiziği, elektro sektöründe, düşük enerji modeli Higgs dublet ile U (1) kırık SU (2) ve U (1) 'dir. Yapılandırmayı belirleyen tek üst seçim kuralı, toplam elektrik yüküdür. Tekel varsa, o zaman tekel ücreti dahil edilmelidir.

Higgs t parametresi, bir vakum beklentisi değeri elde etmemesi için değiştirilirse, evren artık kesintisiz SU (2) ve U (1) gösterge grubu altında simetriktir. SU (2) sonsuz derecede zayıf bağlara sahipse, böylece sadece çok büyük mesafelerde sınırlanırsa, SU (2) grubunun ve U (1) yükünün temsili, her ikisi de süper seçim kurallarıdır. Ancak SU (2) sıfır olmayan bir bağlaşıma sahipse, süper seçim sektörleri sonsuz kütle ile ayrılır çünkü önemsiz bir temsildeki herhangi bir durumun kütlesi sonsuzdur.

Higgs dalgalanmaları, sıcaklığı değiştirerek, sonlu bir sıcaklıkta beklenti değerini sıfırlayabilir. Bu sıcaklığın üzerindeki SU (2) ve U (1) kuantum sayıları, süper seçim sektörlerini tanımlar. Faz geçişinin altında, yalnızca elektrik yükü süper seçim sektörünü tanımlar.

Kiral kuark yoğunlaşması

Kuarkların kütlelerinin sıfır olduğu kiral sınırda QCD'nin global lezzet simetrisini düşünün . Bu tam olarak içinde yaşadığımız, yukarı ve aşağı kuarkların küçük fakat sıfır olmayan bir kütleye sahip olduğu evren değildir, ancak izospinin korunduğu ölçüde çok iyi bir yaklaşımdır.

Simetri restorasyon sıcaklığı olan belirli bir sıcaklığın altında faz sıralanır. Kiral kondensat formları ve küçük kütleli piyonlar üretilir. SU (N _f ) yükleri, Isospin ve Hypercharge ve SU (3) mantıklı. QCD sıcaklığının üzerinde SU ( _Nf ) × SU ( _Nf ) ve renkli SU (3) yüklerinin anlamlı olduğu düzensiz bir faz bulunur .

QCD'nin dekonfinans sıcaklığının aynı zamanda kiral kondensatın eridiği sıcaklık olup olmadığı açık bir sorudur.

Notlar

Referanslar

• Khoruzhiĭ, Sergeĭ Sergeevich; Horuzhy, SS (1990), Cebirsel Kuantum Alan Teorisine Giriş , Springer, ISBN   978-90-277-2722-0 .
• Moretti, Valter (2018), Spektral Teori ve Kuantum Mekaniği: Kuantum Teorilerinin Matematiksel Temelleri, Simetriler ve Cebirsel Formülasyona Giriş. , Springer, ISBN   978-3-319-70705-1 .
• Moretti, Valter (2019), Kuantum Teorisinin Temel Matematiksel Yapıları: Spektral Teori, Temel Sorunlar, Simetriler, Cebirsel Formülasyon. , Springer, ISBN   978-3-030-18345-5 .
• https://arxiv.org/abs/math-ph/0602036