Kosinüslerin küresel yasası - Spherical law of cosines

Gelen küresel trigonometri , cosines kanunu (diğer adıyla iki taraf için kosinüs kuralı ) yanlarını ve açılarına ilişkin bir teoremi olan küresel üçgenler sıradan benzer, cosines hukuk düzlemi gelen trigonometri .

Küresel üçgen kosinüs yasası ile çözüldü.

Bir birim küre verildiğinde, kürenin yüzeyindeki "küresel üçgen", küre üzerindeki $u$ $,$ $v$ ve $w$ üç noktasını birleştiren büyük dairelerle tanımlanır (sağda gösterilmiştir). Bu üç kenarlarının uzunlukları ise $bir$ (dan $u$ için $v$ $),$ $b$ (dan $u$ için $ağırlık$ ) ve $C$ (den $v$ için $ağırlık$ ) ve köşe ters açısı $c$ olan $Cı$ ve sonra (ilk) küresel kosinüs kanunu devletler:

{\ displaystyle \ çünkü c = \ çünkü bir \ çünkü b + \ sin a \ sin b \ çünkü C \,}

Bu bir birim küre olduğu için, $a, b$ ve $c$ uzunlukları , kürenin merkezinden bu tarafların maruz kaldığı açılara ( radyan cinsinden ) basitçe eşittir . (Birim olmayan bir küre için uzunluklar, alt eğimli açılar çarpı yarıçaptır ve formül, $a, b$ ve $c$ altsız açılar olarak yeniden yorumlanırsa $,$ yine de geçerlidir ). Özel bir durum olarak, $C = .mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} π / 2$ , sonra $cos C = 0$ ve biri Pisagor teoreminin küresel analoğunu elde eder :

{\ displaystyle \ çünkü c = \ çünkü a \ çünkü b \,}

Cosines yasası için çözmek için kullanılırsa $c$ , kosinüs büyütür tersini gerekliliğini hatalarını yuvarlama yaparken $c$ küçüktür. Bu durumda, haversines yasasının alternatif formülasyonu tercih edilir.

İkinci küresel kosinüs yasası olan kosinüs yasasının bir varyasyonu ( açılar için kosinüs kuralı olarak da adlandırılır ) şunları belirtir:

{\ displaystyle \ çünkü C = - \ çünkü A \ çünkü B + \ sin A \ sin B \ cos c \,}

burada $A$ ve $B$ , sırasıyla $a$ ve $b$ taraflarının karşısındaki köşelerin açılarıdır . Verilene ikili bir küresel üçgen düşünülerek elde edilebilir .

Kanıtlar

İlk kanıt

Let $u, v$ ve $w$ göstermektedirler birim vektörlerin üçgenin köşelerine için küre merkezinden. Koordinat sistemi döndürülür eğer ki biz koordinat sistemini döndürmek, böylece açıları ve mesafeleri, değişmez olan kuzey kutbu ve üzerinde bir yerdedir meridyen (0 boylam). Bu rotasyon ile küresel koordinatlar için vardır , θ değil ekvatordan kuzey kutbuna ölçülen açıdır ve için küresel koordinatlarda vardır . Kartezyen koordinatları vardır ve Kartezyen koordinatları vardır . Değeri , iki Kartezyen vektörün iç çarpımıdır . ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle (r, \ theta, \ phi) = (1, a, 0)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {w}}$ ${\ displaystyle (r, \ theta, \ phi) = (1, b, C)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle (x, y, z) = (\ sin a, 0, \ çünkü a)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {w}}$ ${\ displaystyle (x, y, z) = (\ sin b \ çünkü C, \ sin b \ sin C, \ çünkü b)}$ ${\ displaystyle \ çünkü c}$ ${\ displaystyle \ sin a \ sin b \ çünkü C + \ çünkü bir \ çünkü b}$

İkinci kanıt

Let $u, v$ ve $w$ göstermektedirler birim vektörlerin üçgenin köşelerine için küre merkezinden. $U \cdot u = 1$ , $v \cdot w = cos c$ , $u \cdot v = cos a$ ve $u \cdot w = cos b'ye$ sahibiz . Vektörleri $u x V$ ve $U x w$ sahip uzunlukları $sin bir$ ve $sin b$ sırasıyla ve aralarındaki açı $Cı$ yüzden,

günah bir günah b cos C = (u \times v) \cdot (u \times w) = (u \cdot u) (v \cdot w) - (u \cdot v) (u \cdot w) = cos c - cos a cos b

,

kullanılarak çapraz ürünlerinin , ürün nokta ve Binet Cauchy kimlik $(s x q) \cdot (r x s) = (p \cdot r) (q, \cdot s (-) s \cdot s) (q, \cdot r)$ .

Yeniden düzenlemeler

Birinci ve ikinci kosinüs kanunları, kenarları ( $a, b, c$ ) ve açıları ( $A, B, C$ ) denklemlerin zıt taraflarına yerleştirmek için yeniden düzenlenebilir:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ cos C & = {\ frac {\ cos c- \ cos a \ cos b} {\ sin a \ sin b}} \\\\\ cos c & = {\ frac {\ cos C + \ cos A \ cos B} {\ sin A \ sin B}} \\\ uç {hizalı}}}

Düzlemsel sınır: küçük açılar

İçin küçük için küçük küresel üçgen, örneğin $bir, b$ ve $c$ , kav sinüsler küresel yasası, yaklaşık cosines olağan düzlemsel hakları ile aynıdır

{\ displaystyle c ^ {2} \ yaklaşık a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos C \ ,.}

Bunu kanıtlamak için, kosinüs ve sinüs fonksiyonları için Maclaurin serisinden elde edilen küçük açı yaklaşımını kullanacağız :

{\ displaystyle \ cos a = 1 - {\ frac {a ^ {2}} {2}} + O \ sol (a ^ {4} \ sağ), \, \ sin a = a + O \ sol (a ^ {3} \ sağ)}

Bu ifadeleri kosinüs ağlarının küresel yasasına dönüştürmek:

{\ displaystyle 1 - {\ frac {c ^ {2}} {2}} + O \ sol (c ^ {4} \ sağ) = 1 - {\ frac {a ^ {2}} {2}} - {\ frac {b ^ {2}} {2}} + {\ frac {a ^ {2} b ^ {2}} {4}} + O \ left (a ^ {4} \ right) + O \ left (b ^ {4} \ right) + \ cos (C) \ left (ab + O \ left (a ^ {3} b \ right) + O \ left (ab ^ {3} \ sağ) + O \ sol (a ^ {3} b ^ {3} \ sağ) \ sağ)}

veya basitleştirdikten sonra:

{\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos C + O \ sol (c ^ {4} \ sağ) + O \ sol (a ^ {4} \ sağ ) + O \ left (b ^ {4} \ sağ) + O \ left (a ^ {2} b ^ {2} \ sağ) + O \ left (a ^ {3} b \ sağ) + O \ sol (ab ^ {3} \ sağ) + O \ sol (a ^ {3} b ^ {3} \ sağ).}

Büyük Ç için terimler $bir$ ve $b$ hakim olduğu $O (bir 4 +) O (b 4)$ olarak $bir$ ve $b$ biz bu son ifadeyi yazabilirsiniz, böylece küçük olsun:

{\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos C + O \ sol (a ^ {4} \ sağ) + O \ sol (b ^ {4} \ sağ ) + O \ left (c ^ {4} \ sağ).}

Ayrıca bakınız

Notlar

^ ^a ^b ^c W. Gellert, S. Gottwald, M. Hellwich, H. Kästner ve H. Küstner, The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics , 2nd ed., ch. 12 (Van Nostrand Reinhold: New York, 1989).
^ Romuald Ireneus 'Scibor-Marchocki, Küresel trigonometri , Temel Geometri Trigonometri web sayfası (1997).
^ RW Sinnott, "Haversine'in Erdemleri", Gökyüzü ve Teleskop 68 (2), 159 (1984).
^ Reiman, István (1999). Geometria és határterületei . Szalay Könyvkiadó és Kereskedőház Kft. s. 83.

[VNR-1] W. Gellert, S. Gottwald, M. Hellwich, H. Kästner ve H. Küstner, The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics , 2nd ed., ch. 12 (Van Nostrand Reinhold: New York, 1989).

[Ireneus-2] Romuald Ireneus 'Scibor-Marchocki, Küresel trigonometri , Temel Geometri Trigonometri web sayfası (1997).

[3] RW Sinnott, "Haversine'in Erdemleri", Gökyüzü ve Teleskop 68 (2), 159 (1984).

[4] Reiman, István (1999). Geometria és határterületei . Szalay Könyvkiadó és Kereskedőház Kft. s. 83.

Languages

In other projects