Örnekleme dağılımı - Sampling distribution

Olarak istatistik , bir örnek dağılımı veya sonlu numune dağıtımı olan olasılık dağılımı , belirli bir bölgesinin rasgele numune merkezli istatistik . Her biri birden fazla gözlem (veri noktaları) içeren, keyfi olarak çok sayıda numune, her numune için bir istatistik değerini (örneğin, numune ortalaması veya numune varyansı gibi ) hesaplamak için ayrı ayrı kullanılmışsa , numune dağılım, istatistiğin aldığı değerlerin olasılık dağılımıdır. Birçok bağlamda, yalnızca bir örnek gözlemlenir, ancak örnekleme dağılımı teorik olarak bulunabilir.

Örnekleme dağılımları istatistikte önemlidir çünkü istatistiksel çıkarsamaya giden yolda büyük bir basitleştirme sağlarlar . Daha spesifik olarak, analitik değerlendirmelerin , tüm bireysel örnek değerlerinin ortak olasılık dağılımından ziyade bir istatistiğin olasılık dağılımına dayanmasına izin verirler .

Giriş

Örnekleme dağılımı bir istatistik ait dağıtım bir kabul bu istatistik, rastgele değişkenin bir türetilmiş rastgele seçilen büyüklüğü . Belirli bir örneklem büyüklüğündeki aynı popülasyondan olası tüm örnekler için istatistiğin dağılımı olarak düşünülebilir . Örnekleme dağılımı , popülasyonun temel dağılımına , dikkate alınan istatistiğe, kullanılan örnekleme prosedürüne ve kullanılan örnek boyutuna bağlıdır. Örnekleme dağılımının, ya sonsuz bir popülasyondan alınan ve dağılımı üretmek için kullanılan sonlu büyüklükteki rastgele örneklerin sayısı sonsuzluğa eğilim gösterdiği için sınırlayıcı duruma tekabül eden bir asimptotik dağılım tarafından yaklaşık olarak tahmin edilip edilemeyeceğine genellikle büyük ilgi vardır. veya aynı popülasyondan yalnızca bir eşit sonsuz boyutlu "örnek" alındığında. ${\görüntüleme stili n}$

Örneğin, ortalama ve varyansa sahip normal bir popülasyon düşünün . Bu popülasyondan tekrar tekrar belirli bir büyüklükte örnekler aldığımızı ve her örnek için aritmetik ortalamayı hesapladığımızı varsayalım - bu istatistiğe örnek ortalaması denir . Bu araçların veya ortalamaların dağılımına "örnek ortalamasının örnekleme dağılımı" denir. Bu dağılım normaldir (n örneklem büyüklüğüdür), çünkü temel popülasyon normaldir, ancak örnekleme dağılımları popülasyon dağılımı olmadığında bile genellikle normale yakın olabilir (bkz. merkezi limit teoremi ). Numune ortalamasına bir alternatif, numune medyanıdır . Aynı popülasyondan hesaplandığında, ortalamadan farklı bir örnekleme dağılımına sahiptir ve genellikle normal değildir (ancak büyük örneklem büyüklükleri için yakın olabilir). ${\görüntüleme stili \mu }$${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\bar {x}}}$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}(\mu ,\,\sigma ^{2}/n)}$

Normal dağılıma sahip bir popülasyondan alınan örneğin ortalaması, en basit istatistiksel popülasyonlardan birinden alınan basit bir istatistik örneğidir . Diğer istatistikler ve diğer popülasyonlar için formüller daha karmaşıktır ve genellikle kapalı formda bulunmazlar . Bu gibi durumlarda, örnekleme dağılımları Monte-Carlo simülasyonları ^{[p. 2]} , önyükleme yöntemleri veya asimptotik dağıtım teorisi.

Standart hata

Standart sapma , bir örnekleme dağılımının istatistik olarak adlandırılır standart hata bu miktar. İstatistiğin örneklem ortalaması olduğu ve örneklerin ilişkisiz olduğu durumda standart hata şu şekildedir:

${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}$

nerede bu miktarın nüfus dağılımının standart sapması ve örneklem büyüklüğü (örnekteki madde sayısı). ${\görüntüleme stili \sigma }$${\görüntüleme stili n}$

Bu formülün önemli bir anlamı, ölçüm hatasının yarısını (1/2) elde etmek için numune boyutunun dört katına çıkarılması (4 ile çarpılması) gerektiğidir. Maliyetin bir faktör olduğu istatistiksel çalışmalar tasarlarken, bunun maliyet-fayda ödünleşimlerini anlamada bir rolü olabilir.

İstatistiğin örnek toplamı olduğu ve örneklerin ilişkisiz olduğu durumda standart hata şu şekildedir:

${\displaystyle \sigma _{\Sigma x}=\sigma {\sqrt {n}}}$

burada yine bu miktarın nüfus dağılımının standart sapması ve örneklem büyüklüğü (örnekteki madde sayısı). ${\görüntüleme stili \sigma }$${\görüntüleme stili n}$

Örnekler

nüfus	istatistik	Örnekleme dağılımı
Normal :${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$	n boyutundaki numunelerden numune ortalaması${\görüntüleme stili {\bar {X}}}$	${\displaystyle {\bar {X}}\sim {\mathcal {N}}{\Big (}\mu ,\,{\frac {\sigma ^{2}}{n}}{\Big )}}$. Standart sapma ise bilinmemektedir, şekillerde de düşünülebilir aşağıdaki hangi Student t-dağılımını ile serbestlik derecesine. İşte örnek varyansıdır ve bir olan kilit miktar olan dağıtım bağlı değildir, .${\görüntüleme stili \sigma }$${\displaystyle T=\sol({\bar {X}}-\mu \sağ){\frac {\sqrt {n}}{S}}}$${\görüntüleme stili \nu =n-1}$${\görüntüleme stili S^{2}}$${\görüntüleme stili T}$${\görüntüleme stili \sigma }$
Bernoulli :${\ Displaystyle \ operatör adı {Bernoulli} (p)}$	"Başarılı denemelerin" örnek oranı ${\görüntüleme stili {\bar {X}}}$	${\displaystyle n{\bar {X}}\sim \operatöradı {Binomial} (n,p)}$
İki bağımsız normal popülasyon: ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu _{1},\sigma _{1}^{2})}$  ve  ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu _{2},\sigma _{2}^{2})}$	Örnek ortalamalar arasındaki fark, ${\displaystyle {\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}}$	${\displaystyle {\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}\sim {\mathcal {N}}\!\left(\mu _{1}-\mu _ {2},\,{\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}} }\sağ)}$
Yoğunluğu ƒ olan herhangi bir mutlak sürekli dağılım F	n = 2 k − 1 büyüklüğündeki bir numuneden medyan , burada numunenin sipariş edilmesi${\displaystyle X_{(k)}}$${\displaystyle X_{(1)}}$${\displaystyle X_{(n)}}$	${\displaystyle f_{X_{(k)}}(x)={\frac {(2k-1)!}{(k-1)!^{2}}}f(x){\Big (}F (x)(1-F(x)){\Büyük )}^{k-1}}$
F dağıtım fonksiyonuna sahip herhangi bir dağıtım	n boyutunda rastgele bir örnekten maksimum${\displaystyle M=\max \ X_{k}}$	${\displaystyle F_{M}(x)=P(M\leq x)=\prod P(X_{k}\leq x)=\sol(F(x)\sağ)^{n}}$

Referanslar

• Merberg, A. ve SJ Miller (2008). "Medyanın Örnek Dağılımı". Math 162 için Ders Notları: Matematik İstatistikleri , web'de http://web.williams.edu/Mathematics/sjmiller/public_html/BrownClasses/162/Handouts/MedianThm04.pdf , sayfa 1–9.

Dış bağlantılar

• Excel'de örnekleme dağılımları oluşturun
• Normal bir popülasyon için çeşitli istatistiklerin (örn. Σ x ²) örnekleme dağılımını gösteren Mathematica gösterimi