Belirsizliğin yayılması - Propagation of uncertainty

Olarak istatistik , belirsizlik yayılımı (ya da hata yayılma ) etkisidir değişkenlerin ' belirsizlikler (veya hataları , daha özel olarak rastgele hatalar bir belirsizlik ile) fonksiyonu onlara göre. Değişkenler deneysel ölçümlerin değerleri olduğunda , fonksiyondaki değişkenlerin kombinasyonu nedeniyle yayılan ölçüm sınırlamaları (örneğin, alet hassasiyeti ) nedeniyle belirsizlikleri vardır .

Belirsizlik u çeşitli şekillerde ifade edilebilir. Mutlak hata Δ x ile tanımlanabilir . Belirsizlikler , genellikle yüzde olarak yazılan göreli hata (Δ x )/ x ile de tanımlanabilir . En yaygın olarak, bir nicelik üzerindeki belirsizlik , varyansın pozitif karekökü olan standart sapma , σ cinsinden ölçülür . Bir niceliğin değeri ve hatası daha sonra x ± u aralığı olarak ifade edilir . Değişkenin istatistiksel olasılık dağılımı biliniyorsa veya tahmin edilebiliyorsa , değişkenin gerçek değerinin bulunabileceği bölgeyi tanımlamak için güven sınırları türetmek mümkündür . Örneğin, normal dağılıma ait tek boyutlu bir değişken için %68 güven sınırları, x merkezi değerinden yaklaşık olarak ± bir standart sapma σ'dır ; bu, x ± σ bölgesinin gerçek değeri kabaca %68'inde kapsadığı anlamına gelir . vakalar.

Belirsizlikler varsa korelasyon sonra kovaryans dikkate alınmalıdır. Korelasyon iki farklı kaynaktan ortaya çıkabilir. İlk olarak, ölçüm hataları ilişkilendirilebilir. İkincisi, temel değerler bir popülasyon genelinde ilişkilendirildiğinde , grup ortalamalarındaki belirsizlikler de ilişkilendirilecektir.

Doğrusal kombinasyonlar

Değişkenlerin kombinasyon katsayılarına sahip doğrusal kombinasyonları olan bir dizi m fonksiyonu olsun : ${\displaystyle \{f_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\}}$${\görüntüleme stili n}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle A_{k1},A_{k2},\dots ,A_{kn},(k=1,\dots ,m)}$

${\displaystyle f_{k}=\sum _{i=1}^{n}A_{ki}x_{i},}$

veya matris notasyonunda,

${\displaystyle \mathbf {f} =\mathbf {Ax} .}$

Ayrıca izin varyans kovaryans matrisi içinde X  = ( x ₁ , ...,  x _{, n} ) ile belirtilir ve ortalama değer ile gösterilen izin : ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}}$${\displaystyle \mathbf {\mu } }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}=E[\mathbf {(x-\mu )} \otimes \mathbf {(x-\mu )} ]={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{2}&\sigma _{12}&\sigma _{13}&\cdots \\\sigma _{21}&\sigma _{2}^{2}&\sigma _{23 }&\cdots \\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{3}^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix }}={\begin{pmatrix}{\Sigma }_{11}^{x}&{\Sigma }_{12}^{x}&{\Sigma }_{13}^{x}&\cdots \\{\Sigma }_{21}^{x}&{\Sigma }_{22}^{x}&{\Sigma }_{23}^{x}&\cdots \\{\Sigma }_ {31}^{x}&{\Sigma }_{32}^{x}&{\Sigma }_{33}^{x}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \ bitiş{pmatrix}}.}$

${\görüntüleme stili \ bazen }$bir dış ürün .

Daha sonra, varyans-kovaryans matrisi arasında f verilir ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}=E[(\mathbf {f} -E[\mathbf {f} ])\otimes (\mathbf {f} -E[\mathbf {f}) ])]=E[\mathbf {A(x-\mu )} \otimes \mathbf {A(x-\mu )} ]=\mathbf {A} E[\mathbf {(x-\mu )} \ otimes \mathbf {(x-\mu )} ]\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {A} ^{ \mathrm {T} }}$

Bileşen gösteriminde, denklem

${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}=\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {A} ^{\mathrm {T}}.}$

okur

${\displaystyle \Sigma _{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}\sum _{l}^{n}A_{ik}{\Sigma }_{kl}^{x} A_{jl}.}$

Bu, hatanın bir değişken kümesinden diğerine yayılmasının en genel ifadesidir. x üzerindeki hatalar korelasyonsuz olduğunda, genel ifade şu şekilde basitleşir:

${\displaystyle \Sigma _{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}A_{ik}\Sigma _{k}^{x}A_{jk},}$

x vektörünün k -inci elemanının varyansı nerede . x üzerindeki hataların korelasyonsuz olmasına rağmen, f üzerindeki hataların genel olarak korelasyonlu olduğuna dikkat edin; başka bir deyişle, köşegen bir matris olsa bile , genel olarak tam bir matristir. ${\displaystyle \Sigma _{k}^{x}=\sigma _{x_{k}}^{2}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}}$

Bir skaler değerli fonksiyon f için genel ifadeler biraz daha basittir (burada a bir satır vektörüdür):

${\displaystyle f=\sum _{i}^{n}a_{i}x_{i}=\mathbf {ax},}$

${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}\sum _{j}^{n}a_{i}\Sigma _{ij}^{x}a_{ j}=\mathbf {a} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }.}$

Her bir kovaryans terimi ile ifade edilebilir korelasyon katsayısı ile , yani varyansı için alternatif bir ifade bu f olduğu ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ ${\displaystyle \rho _{ij}}$${\displaystyle \sigma _{ij}=\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}}$

${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}+\sum _{i}^ {n}\sum _{j(j\neq i)}^{n}a_{i}a_{j}\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}.}$

Değişkenler Bu durumda x daha da bu kolaylık imkanına ilintisiz

${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}.}$

Basit aynı katsayılar ve varyanslar durumunda, buluruz

${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {n}}\,|a|\sigma .}$

Aritmetik ortalama için sonuç, ortalamanın standart hatasıdır : ${\görüntüleme stili a=1/n}$

${\displaystyle \sigma _{f}=\sigma /{\sqrt {n}}.}$

Doğrusal olmayan kombinasyonlar

Tüm ön değişken olmayan bir doğrusal kombinasyonunun bir dizi x , bir aralık yayılma değişkenler için tüm tutarlı değerleri içeren işlem aralıklarla amacıyla gerçekleştirilebilir. Olasılıksal bir yaklaşımda, f fonksiyonu genellikle birinci dereceden Taylor serisi açılımına yaklaşık olarak doğrusallaştırılmalıdır , ancak bazı durumlarda, ürünlerin tam varyansında olduğu gibi genişlemeye bağlı olmayan kesin formüller türetilebilir. . Taylor açılımı şöyle olur:

${\displaystyle f_{k}\yaklaşık f_{k}^{0}+\sum _{i}^{n}{\frac {\partial f_{k}}{\partial {x_{i}}}} x_{i}}$

burada belirtmektedir kısmi türevi ve f _{, k} göre I vektör tüm bileşenlerin ortalama değerde değerlendirildi inci değişken x . Veya matris notasyonunda , ${\displaystyle \partial f_{k}/\partial x_{i}}$

${\displaystyle \mathrm {f} \yaklaşık \mathrm {f} ^{0}+\mathrm {J} \mathrm {x} \,}$

burada J, Jacobian matrisidir . f ⁰ bir sabit olduğundan, f üzerindeki hataya katkıda bulunmaz. Bu nedenle, hatanın yayılması yukarıdaki doğrusal durumu takip eder, ancak doğrusal katsayılar, A _ki ve A _kj , kısmi türevler ile değiştirilir ve . Matris notasyonunda, ${\displaystyle {\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{i}}}}$${\displaystyle {\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{j}}}}$

${\displaystyle \mathrm {\Sigma } ^{\mathrm {f} }=\mathrm {J} \mathrm {\Sigma } ^{\mathrm {x} }\mathrm {J} ^{\top }.}$

Yani, fonksiyonun Jacobian'ı, argümanın varyans-kovaryans matrisinin satırlarını ve sütunlarını dönüştürmek için kullanılır. Bunun, ile doğrusal durum için matris ifadesine eşdeğer olduğuna dikkat edin . ${\görüntüleme stili \mathrm {J=A} }$

sadeleştirme

Korelasyonları ihmal etmek veya bağımsız değişkenleri varsaymak, mühendisler ve deneysel bilim adamları arasında hata yayılımını hesaplamak için ortak bir formül, varyans formülü verir:

${\displaystyle s_{f}={\sqrt {\sol({\frac {\partial f}{\partial x}}\sağ)^{2}s_{x}^{2}+\left({\ frac {\partial f}{\partial y}}\sağ)^{2}s_{y}^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\sağ)^{ 2}s_{z}^{2}+\cdots }}}$

burada işlev standart sapmasını temsil eder , standart sapmasını temsil eder , standart sapmasını temsil eder ve benzerini. ${\displaystyle s_{f}}$${\görüntüleme stili f}$${\displaystyle s_{x}}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili s_{y}}$${\görüntüleme stili y}$

Bu formülün gradyanının doğrusal özelliklerine dayandığını ve bu nedenle yeterince küçük olduğu sürece standart sapma için iyi bir tahmin olduğunu belirtmek önemlidir . Spesifik olarak, 'nin doğrusal yaklaşımı , yarıçaplı bir mahallenin içine yakın olmalıdır . ${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili f}$${\displaystyle s_{x},s_{y},s_{z},\ldots }$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili f}$${\displaystyle s_{x},s_{y},s_{z},\ldots }$

Örnek

İki değişkenli herhangi bir doğrusal olmayan türevlenebilir fonksiyon , ve , şu şekilde genişletilebilir: ${\görüntüleme stili f(a,b)}$${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili b}$

${\displaystyle f\yaklaşık f^{0}+{\frac {\kısmi f}{\kısmi a}}a+{\frac {\kısmi f}{\kısmi b}}b}$

buradan:

${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\yaklaşık \left|{\frac {\partial f}{\partial a}}\right|^{2}\sigma _{a}^{2}+ \left|{\frac {\partial f}{\partial b}}\right|^{2}\sigma _{b}^{2}+2{\frac {\partial f}{\partial a}} {\frac {\kısmi f}{\kısmi b}}\sigma _{ab}}$

burada işlev standart sapmasıdır , standart sapma , standart sapma ve arasındaki kovaryans olan ve . ${\displaystyle \sigma _{f}}$${\görüntüleme stili f}$${\displaystyle \sigma _{a}}$${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili \sigma _{b}}$${\görüntüleme stili b}$${\displaystyle \sigma _{ab}=\sigma _{a}\sigma _{b}\rho _{ab}}$${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili b}$

Bu özel durumda , . Sonra ${\görüntüleme stili f=ab}$${\displaystyle {\frac {\kısmi f}{\kısmi a}}=b,{\frac {\kısmi f}{\kısmi b}}=a}$

${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\yaklaşık b^{2}\sigma _{a}^{2}+a^{2}\sigma _{b}^{2}+2ab\, \sigma _{ab}}$

veya

${\displaystyle \sol({\frac {\sigma _{f}}{f}}\sağ)^{2}\yaklaşık \sol({\frac {\sigma _{a}}{a}}\sağ )^{2}+\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\sağ)^{2}+2\left({\frac {\sigma _{a}}{a} }\sağ)\sol({\frac {\sigma _{b}}{b}}\sağ)\rho _{ab}}$

ve arasındaki korelasyon nerede . ${\görüntüleme stili \rho _{ab}}$${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili b}$

Değişkenler ve korelasyonsuz olduğunda, . Sonra ${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili b}$${\displaystyle \rho _{ab}=0}$

${\displaystyle \sol({\frac {\sigma _{f}}{f}}\sağ)^{2}\yaklaşık \sol({\frac {\sigma _{a}}{a}}\sağ )^{2}+\sol({\frac {\sigma _{b}}{b}}\sağ)^{2}.}$

Uyarılar ve uyarılar

Doğrusal olmayan işlevler için hata tahminleri, kesilmiş bir seri genişletme kullanılması nedeniyle saptırılır . Bu önyargının kapsamı, işlevin doğasına bağlıdır. Örneğin, log(1+ x ) için hesaplanan hatanın sapması, x arttıkça artar, çünkü x'e genişleme yalnızca x sıfıra yakın olduğunda iyi bir yaklaşımdır .

Oldukça doğrusal olmayan fonksiyonlar için, belirsizlik yayılımı için beş olasılıklı yaklaşım kategorisi vardır; ayrıntılar için Belirsizlik Niceleme § İleri belirsizliğin yayılmasına ilişkin Metodolojilere bakın.

Karşılıklı ve kaydırılmış karşılıklı

Ters veya karşılıklı özel durumda , aşağıda belirtildiği gibi , standart normal dağılım , elde edilen dağılım karşılıklı standart normal dağılım ve hiçbir tanımlanabilir varyans yoktur. ${\görüntüleme stili 1/B}$${\görüntüleme stili B=N(0,1)}$

Bununla birlikte, hafif Daha genel bir durumda karşılıklı fonksiyon kaydırılmış için genel bir normal dağılım ardından daha sonra ortalama ve varyans istatistikleri do mevcut temel değer kutup arasındaki fark ise, duyu ve ortalama gerçek değerli bir. ${\ Displaystyle 1/(pB)}$${\displaystyle B=N(\mu ,\sigma )}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili \mu }$

oranlar

Oranlar da sorunludur; Normal yaklaşımlar belirli koşullar altında mevcuttur.

Örnek formüller

Bu tablo, standart sapma kovaryans ve korelasyon ile gerçek değişkenlerin basit fonksiyonlarının varyanslarını ve standart sapmalarını gösterir . Gerçek değerli katsayılar a ve b'nin tam olarak bilindiği (deterministik), yani . ${\görüntüleme stili A,B\!}$${\displaystyle \sigma _{A},\sigma _{B},\,}$ ${\displaystyle \sigma _{AB}=\rho _{AB}\sigma _{A}\sigma _{B}\,}$${\görüntüleme stili \rho _{AB}}$${\displaystyle \sigma _{a}=\sigma _{b}=0}$

"Varyans" ve "Standart Sapma" sütunlarında, A ve B , beklenti değerleri (yani belirsizliği tahmin ettiğimiz değerler) olarak anlaşılmalı ve beklenen değerde hesaplanan fonksiyonun değeri olarak anlaşılmalıdır. . ${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili A,B\!}$

İşlev	Varyans	Standart sapma
${\görüntüleme stili f=aA\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}=|a|\sigma _{A}}$
${\görüntüleme stili f=aA+bB\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}+2ab\,\ sigma _{AB}}$	${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}+2ab\,\ sigma _{AB}}}}$
${\görüntüleme stili f=aA-bB\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}-2ab\,\ sigma _{AB}}$	${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}-2ab\,\ sigma _{AB}}}}$
${\görüntüleme stili f=AB,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}-2\sigma _{AB}}$	${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}-2\sigma _{AB}}}}$
${\görüntüleme stili f=aA-aA,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=2a^{2}\sigma _{A}^{2}(1-\rho _{A})}$	${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {2}}\left|a\sağ|\sigma _{A}(1-\rho _{A})^{1/2}}$
${\görüntüleme stili f=AB\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\yaklaşık f^{2}\left[\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\sağ)^{2}+\ sol({\frac {\sigma _{B}}{B}}\sağ)^{2}+2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}\sağ]}$	${\displaystyle \sigma _{f}\yaklaşık \sol|f\sağ|{\sqrt {\sol({\frac {\sigma _{A}}{A}}\sağ)^{2}+\sol ({\frac {\sigma _{B}}{B}}\sağ)^{2}+2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}}}}$
${\displaystyle f={\frac {A}{B}}\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\yaklaşık f^{2}\left[\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\sağ)^{2}+\ sol({\frac {\sigma _{B}}{B}}\sağ)^{2}-2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}\sağ]}$	${\displaystyle \sigma _{f}\yaklaşık \sol|f\sağ|{\sqrt {\sol({\frac {\sigma _{A}}{A}}\sağ)^{2}+\sol ({\frac {\sigma _{B}}{B}}\sağ)^{2}-2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}}}}$
${\görüntüleme stili f=aA^{b}\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\yaklaşık \left({a}{b}{A}^{b-1}{\sigma _{A}}\sağ)^{2}=\ sol({\frac {{f}{b}{\sigma _{A}}}{A}}\sağ)^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\yaklaşık \sol|{a}{b}{A}^{b-1}{\sigma _{A}}\sağ|=\sol|{\frac {{f }{b}{\sigma _{A}}}{A}}\sağ|}$
${\görüntüleme stili f=a\ln(bA)\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\yaklaşık \sol(a{\frac {\sigma _{A}}{A}}\sağ)^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\yaklaşık \sol|a{\frac {\sigma _{A}}{A}}\sağ|}$
${\displaystyle f=a\log _{10}(bA)\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\yaklaşık \left(a{\frac {\sigma _{A}}{A\ln(10)}}\sağ)^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\yaklaşık \sol|a{\frac {\sigma _{A}}{A\ln(10)}}\sağ|}$
${\görüntüleme stili f=ae^{bA}\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\yaklaşık f^{2}\sol(b\sigma _{A}\sağ)^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\yaklaşık \sol|f\sağ|\sol|\sol(b\sigma _{A}\sağ)\sağ|}$
${\görüntüleme stili f=a^{bA}\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\yaklaşık f^{2}(b\ln(a)\sigma _{A})^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\yaklaşık \sol|f\sağ|\sol|(b\ln(a)\sigma _{A})\sağ|}$
${\displaystyle f=a\sin(bA)\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\yaklaşık \sol[ab\cos(bA)\sigma _{A}\sağ]^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\yaklaşık \sol|ab\cos(bA)\sigma _{A}\sağ|}$
${\displaystyle f=a\cos \sol(bA\sağ)\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\yaklaşık \sol[ab\sin(bA)\sigma _{A}\sağ]^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\yaklaşık \sol|ab\sin(bA)\sigma _{A}\sağ|}$
${\displaystyle f=a\tan \sol(bA\sağ)\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\yaklaşık \sol[ab\sec ^{2}(bA)\sigma _{A}\sağ]^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\yaklaşık \sol|ab\sec ^{2}(bA)\sigma _{A}\sağ|}$
${\görüntüleme stili f=A^{B}\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\yaklaşık f^{2}\left[\left({\frac {B}{A}}\sigma _{A}\sağ)^{2}+ \left(\ln(A)\sigma _{B}\sağ)^{2}+2{\frac {B\ln(A)}{A}}\sigma _{AB}\sağ]}$	${\displaystyle \sigma _{f}\yaklaşık \sol|f\sağ|{\sqrt {\sol({\frac {B}{A}}\sigma _{A}\sağ)^{2}+\ sol(\ln(A)\sigma _{B}\sağ)^{2}+2{\frac {B\ln(A)}{A}}\sigma _{AB}}}}$
${\displaystyle f={\sqrt {aA^{2}\pm bB^{2}}}\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\yaklaşık \left({\frac {A}{f}}\sağ)^{2}a^{2}\sigma _{A}^{2} +\left({\frac {B}{f}}\sağ)^{2}b^{2}\sigma _{B}^{2}\pm 2ab{\frac {AB}{f^{2 }}}\,\sigma _{AB}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\yaklaşık {\sqrt {\sol({\frac {A}{f}}\sağ)^{2}a^{2}\sigma _{A}^{2} +\left({\frac {B}{f}}\sağ)^{2}b^{2}\sigma _{B}^{2}\pm 2ab{\frac {AB}{f^{2 }}}\,\sigma _{AB}}}}$

İlişkili olmayan değişkenler için ( , ) daha karmaşık işlevler için ifadeler, daha basit işlevlerin birleştirilmesiyle türetilebilir. Örneğin, korelasyon olmadığı varsayılarak tekrarlanan çarpma, ${\displaystyle \rho _{AB}=0}$${\displaystyle \sigma _{AB}=0}$

${\displaystyle f=ABC;\qquad \sol({\frac {\sigma _{f}}{f}}\sağ)^{2}\yaklaşık \left({\frac {\sigma _{A}} {A}}\sağ)^{2}+\sol({\frac {\sigma _{B}}{B}}\sağ)^{2}+\sol({\frac {\sigma _{C) }}{C}}\sağ)^{2}.}$

Durum için, tam varyans için Goodman'ın ifadesi de var: ilişkisiz durum için ${\görüntüleme stili f=AB}$

${\displaystyle V(XY)=E(X)^{2}V(Y)+E(Y)^{2}V(X)+E((XE(X))^{2}(YE(Y) ))^{2})}$

ve bu nedenle elimizde:

${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=A^{2}\sigma _{B}^{2}+B^{2}\sigma _{A}^{2}+\sigma _{ A}^{2}\sigma _{B}^{2}}$

Korelasyonun farklılıklar üzerindeki etkisi

Eğer A ve B ilintisiz, kendi fark AB bunlardan birini daha varyansı sahip olacaktır. Artan bir pozitif korelasyon ( ), farkın varyansını azaltacak ve aynı varyansa sahip mükemmel korelasyonlu değişkenler için sıfır varyansa yakınsayacaktır . Öte yandan, negatif bir korelasyon ( ) ile korelasyonsuz duruma göre farkın varyansı daha da artar. ${\displaystyle \rho _{AB}\to 1}$${\displaystyle \rho _{AB}\to -1}$

Örneğin, kendi kendini çıkarma f=AA , yalnızca değişken mükemmel bir şekilde otokorelasyona sahipse ( ) sıfır varyansa sahiptir . Eğer bir ilintisiz olacak, daha sonra çıkış varyans iki kez girdi varyans vardır . Ve eğer bir mükemmel anticorrelated edilir, daha sonra giriş varyans, çıktıda dört katına edilir (haber için f = aA - AA tablosunun yukarısındaki olarak). ${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=0}$${\displaystyle \rho _{A}=1}$${\displaystyle \rho _{A}=0}$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=2\sigma _{A}^{2}}$${\displaystyle \rho _{A}=-1}$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=4\sigma _{A}^{2}}$${\displaystyle 1-\rho _{A}=2}$

Örnek hesaplamalar

Ters teğet fonksiyonu

Hatayı yaymak için kısmi türevleri kullanma örneği olarak ters tanjant fonksiyonu için belirsizlik yayılımını hesaplayabiliriz.

Tanımlamak

${\görüntüleme stili f(x)=\arctan(x),}$

x ölçümümüzdeki mutlak belirsizlik nerede . Türevi f ( x ) göre x olan ${\displaystyle \Delta _{x}}$

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {1}{1+x^{2}}}.}$

Bu nedenle, yayılan belirsizliğimiz

${\displaystyle \Delta _{f}\yaklaşık {\frac {\Delta _{x}}{1+x^{2}}},}$

mutlak yayılan belirsizlik nerede . ${\displaystyle \Delta _{f}}$

Direnç ölçümü

Pratik bir uygulama, Ohm yasasını , R = V / I kullanarak direnci , R'yi belirlemek için bir direnç üzerindeki akımı , I ve voltajı , V ölçtüğü bir deneydir .

Belirsizlikleri olan ölçülen değişkenler I ± σ _I ve V ± σ _V verildiğinde ve bunların olası korelasyonları ihmal edildiğinde, hesaplanan miktardaki belirsizlik, σ _R , şudur:

${\displaystyle \sigma _{R}\yaklaşık {\sqrt {\sigma _{V}^{2}\left({\frac {1}{I}}\sağ)^{2}+\sigma _{ I}^{2}\left({\frac {-V}{I^{2}}}\sağ)^{2}}}=R{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{) V}}{V}}\sağ)^{2}+\sol({\frac {\sigma _{I}}{I}}\sağ)^{2}}}.}$

Ayrıca bakınız

• Doğruluk ve hassasiyet
• Otomatik farklılaşma
• Delta yöntemi
• Hassasiyet seyreltme (navigasyon)
• İstatistiklerdeki hatalar ve artıklar
• Deneysel belirsizlik analizi
• Aralık sonlu eleman
• Kesin ölçümü olmayan
• Olasılık sınırları analizi
• anlam aritmetiği
• belirsizlik ölçümü
• Rastgele bulanık değişken

Referanslar

daha fazla okuma

• Bevington, Philip R.; Robinson, D. Keith (2002), Fiziksel Bilimler için Veri Azaltma ve Hata Analizi (3. baskı), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-119926-1
• Fornasini, Paolo (2008), Fiziksel ölçümlerdeki belirsizlik: fizik laboratuvarında veri analizine giriş , Springer, s. 161, ISBN'si 978-0-387-78649-0
• Meyer, Stuart L. (1975), Bilim Adamları ve Mühendisler için Veri Analizi , Wiley, ISBN 978-0-471-59995-1
• Peralta, M. (2012), Hataların Yayılması: Ölçüm Hatalarını Matematiksel Olarak Tahmin Etme , CreateSpace
• Rouaud, M. (2013), Olasılık, İstatistik ve Tahmin: Deneysel Ölçümde Belirsizliklerin Yayılması (PDF) (kısa ed.)
• Taylor, JR (1997), Hata Analizine Giriş: Fiziksel Ölçümlerdeki Belirsizliklerin Çalışması (2. baskı), Üniversite Bilim Kitapları
• Wang, CM; Iyer, Hari K (2005-09-07). "Belirsizlikleri yaymak için üst düzey düzeltmeler hakkında". Metroloji . 42 (5): 406–410. doi : 10.1088/0026-1394/42/5/011 . ISSN  0026-1394 .

Dış bağlantılar

• Basit anlamlılık aritmetiği yerine hata yayılım formülleri ve Monte Carlo simülasyonları kullanmanın faydalarını açıklayan ölçümlerin ve belirsizliğin yayılmasının ayrıntılı bir tartışması
• GUM , Ölçümde Belirsizliğin İfadesi Rehberi
• EPFL Hata Yayılımına Giriş , Türetme, Cy = Fx Cx Fx'in Anlamı ve Örnekleri
• belirsizlikler paketi , belirsizliklerle (ve hata korelasyonlarıyla) şeffaf bir şekilde hesaplamalar yapmak için bir program/kütüphane.
• soerp paketi , belirsizliklerle (ve hata korelasyonlarıyla) *ikinci dereceden* hesaplamaları şeffaf bir şekilde gerçekleştirmek için bir python programı/kütüphanesi.
• Metrolojide Kılavuzlar için Ortak Komite (2011). JCGM 102: Ölçüm Verilerinin Değerlendirilmesi - "Ölçümde Belirsizliğin İfadesi Kılavuzu" Ek 2 - Herhangi Bir Sayıda Çıktı Miktarına Uzatma (PDF) (Teknik rapor). JCGM . 13 Şubat 2013 alındı .
• Belirsizlik Hesaplayıcı Herhangi bir ifade için belirsizliği yayma