porizma - Porism

Bir porism , matematiksel bir önerme veya sonuçtur . Bir sonucun bir teoremin doğrudan sonucuna nasıl atıfta bulunduğuna benzer şekilde, bir ispatın doğrudan bir sonucuna atıfta bulunmak için kullanılmıştır . Modern kullanımda, sonsuz bir değer aralığı için geçerli olan, ancak yalnızca Steiner'in porizmi gibi belirli bir koşul varsayıldığında geçerli olan bir ilişkidir . Terim, kaybolan üç Öklid kitabından kaynaklanmaktadır. Bir önerme kanıtlanmamış olabilir, dolayısıyla bir porism bir teorem veya doğru olmayabilir.

kökenler

Porisms bahsediyor ilki olduğunu kitabın Öklid 'in Porisms . Bununla ilgili bilinenler, Pappus of Alexandria 's Collection'da , diğer geometrik risalelerle birlikte bahseden ve onu anlamak için gerekli birkaç lemma veren Pappus'tur . Pappus şunları söylüyor:

Tüm sınıfların porizmleri ne teorem ne de problemdir, ancak ikisi arasında bir konum işgal eder, böylece onların ifadeleri ya teoremler ya da problemler olarak ifade edilebilir ve sonuç olarak bazı geometriciler onların teorem olduklarını, diğerleri ise problem olduklarını düşünürler. yalnızca ifade biçimi tarafından yönlendirilir. Ancak eski geometricilerin üç sınıf arasındaki farkı daha iyi anladıkları tanımlardan açıkça görülüyor. Daha eski geometriciler, bir teoremi önerileni kanıtlamaya yönelik olarak, bir problemi önerilen şeyi oluşturmaya yönelik olarak ve son olarak da önerileni bulmaya yönelik bir porizmi ( εἰς πορισμὸν αὐτοῦ τοῦ προτεινομένου ) kabul ettiler .

Pappus, son tanımın daha sonraki bazı geometriciler tarafından değiştirildiğini ve bir porizmi tesadüfi bir özellik olarak τὸ λεῖπον ὑποθέσει τοπικοῦ θεωρήματος ( leîpon hypothései topikoû theōrḗmatos olarak ) tanımladığını söyledi . ) hipotez. Proclus, porizm kelimesinin iki anlamda kullanıldığına dikkat çekti : bir anlamı "sonuç" anlamına gelir, sonuç olarak aranmaz, ancak bir teoremden çıktığı görülür. Diğer anlamda, "eski geometriler" tanımına bir dairenin merkezinin bulunmasının ve en büyük ortak ölçünün bulunmasının porizm olduğunu söylemek dışında hiçbir şey eklemedi.

Öklid'in porizmi üzerinde Pappus

Pappus, Öklid'in porizm tanımını reddetti . Modern dilde ifade edilen bir porism, verilen dört düz çizginin, bu çizgilerin kesişme noktalarından ikisinin her biri sabit bir düz çizgi üzerinde uzanıyorsa, üçünün dördüncüyle buluştuğu noktalar etrafında döndüğünü ileri sürer. kavşak ayrıca başka bir düz çizgi üzerinde uzanacaktır. Genel tanımı herhangi bir sayı için de geçerlidir, N olan düz çizgiler, ve, n, pek çok nokta (sabit olarak etrafında dönebilen , n  + 1) inci. Bu N düz çizgiler halinde iki ve iki kesim 1 / 2 , n ( n-  1 -) puan, 1 / 2 , n ( n  - 1) tarafı üçgen sayı olmak N  - bunlar etrafında dönen yapılmış ise 1. n sabit 1 ⁄ 2 n ( n  − 1) kesişim noktalarından herhangi bir n  − 1'i, belirli bir sınırlamaya tabi olarak, n  − 1 verilen sabit düz çizgiler üzerinde uzanacak , sonra kalan kesişme noktalarının her biri, 1 ⁄  Sayı olarak 2 n ( n  − 1)( n − 2), düz bir çizgiyi tanımlar.

Yukarıdakiler şu şekilde ifade edilebilir: Eğer yaklaşık iki sabit nokta, P ve Q ise, biri iki düz çizgiyi belirli bir düz çizgide (L) buluşturuyorsa ve bunlardan biri sabit bir düz çizgiden bir AM segmentini kesiyorsa , AX, konumunda verilen başka bir sabit BY düz çizgisi ve bunun üzerine sabitlenmiş bir B noktası belirlenebilir, öyle ki, B'den ölçülen bu ikinci sabit çizgi üzerinde ikinci hareketli çizgi tarafından yapılan BM' parçasının belirli bir X oranına sahip olması AM'ye. Pappus'un porizmlerle ilgili olarak verdiği lemmalar şunlardır:

  1. Bir noktada buluşan dört düz çizgiden oluşan bir kalemin çapraz veya harmonik olmayan oranının tüm enineler için sabit olduğu temel teoremi;
  2. tam bir dörtgenin harmonik özelliklerinin kanıtı;
  3. teorem, bir altıgenin altı köşesi iki düz çizgi üzerinde üç ve üç yer alıyorsa, karşıt kenarların birleşiminin üç noktası düz bir çizgi üzerindedir.

Daha sonra analiz

Robert Simson , Pappus'un 1723'te Philosophical Transactions'ta yayınlanan ve eksiksiz olarak işaret ettiği üç önermeyi açıkladı. Daha sonra, De porismatibus traclatus adlı eserinde porizmler konusunu genel olarak araştırdı; quo doctrinam porisrnatum satis explicatam, et in posterum ab oblivion tutam fore sperat auctor , ve ölümünden sonra bir ciltte yayınlandı, Roberti Simson opera quaedam reliqua (Glasgow, 1776).

Simson'ın incelemesi De porismatibus , teorem, problem, veri, porism ve lokus tanımlarıyla başlar. Simon, Pappus'un tanımının çok genel olduğunu ve onun yerine şu şekilde koyduğunu yazdı:

Önem arz eden temel teklifler, tekrar aliquam, vel plures datas esse, cui, vel quibus, ut ve cuilibet ex rebus innumeris, non quidem data, sed quae ad ea quae veri sunt quae ad ea quae veri sunt eandem habent rationem, convenirem convenirem betimleme. Enuntiari forma problematis enuntiari potest, si nimirum ex quibus veri gösterimi, invenienda proponantur'da yer alan konular.

Simson, lokusun bir porizm türü olduğunu söyledi. Ardından Pappus'un porizmler ve risalenin büyük kısmını oluşturan önermeler hakkındaki notunun Latince çevirisi gelir.

John Playfair'in anıları ( Çev. Roy. Soc. Edin. , 1794, cilt iii.), Simson'ın incelemesinin bir tür devamı niteliğinde, porizmaların muhtemel kökenini veya antik geometricileri onları keşfetmeye götüren adımları araştırdı. Playfair, bir önermenin olası tüm özel durumlarının dikkatli bir şekilde araştırılmasının şunu göstereceğini belirtti:

  1. belirli koşullar altında bir sorun imkansız hale gelir;
  2. belirli diğer koşullar altında, belirsiz veya sonsuz sayıda çözüme sahip.

Bu durumlar ayrı ayrı tanımlanabilir, bir bakıma teoremler ve problemler arasında orta düzeyde yer alır ve "porizmler" olarak adlandırılırdı. Playfair, bir porizmi "belirli bir sorunu belirsiz kılacak veya sayısız çözüme sahip olacak koşulları bulma olasılığını doğrulayan önerme" olarak tanımladı.

Playfair'in bir porizm tanımı İngiltere'de en çok tercih edilen gibi görünse de, Simson'ın görüşü en çok yurtdışında kabul görmüş ve Michel Chasles'in desteğini almıştır . Ancak, içinde Liouville 'nın Journal de Mathématiques pures et Appliquees (Vol. Xx., 1855 Temmuz), P. Breton yayınlanan Recherches nouvelles sur les porismes d'Öklid , o Pappus metnin yeni bir çeviri verdi ettiği ve Pappus'un tanımına daha yakın olan bir porizmin doğasına ilişkin bir görüşü temellendirmeye çalıştı. Bunu, aynı dergide ve La Science'da , Pappus'un metninin ilki tarafından verilen yoruma itiraz eden ve Frans van Schooten'in Mathematicae'sinde öne sürülen fikrinin lehinde olduğunu beyan eden Breton ve AJH Vincent arasındaki bir tartışma izledi. egzersizler (1657). Schooten'e göre, bir şekildeki düz çizgiler arasındaki çeşitli ilişkiler denklemler veya oranlar şeklinde yazılırsa, bu denklemlerin olası tüm yollarla ve bunlardan türetilen yeni denklemlerin birleşimi sayısız denklemin keşfedilmesine yol açar. figürün yeni özellikleri.

C. Housel'un katıldığı Breton ve Vincent arasındaki tartışmalar, Chasles'e bırakılan Euclid'in Porisms'ini restore etme işini ileriye taşımadı . Çalışması ( Les Trois livres de porismes d'Euclide , Paris, 1860) Pappus'ta bulunan tüm materyali tam olarak kullanır.

Porizmler hakkında ilginç bir hipotez HG Zeuthen tarafından ortaya atılmıştır ( Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum , 1886, ch. viii.). Zeuthen gözlemledi, örneğin, iki sabit nokta bir konik üzerindeki noktalarsa ve bunların içinden çizilen düz çizgiler sabit bir düz çizgi yerine konik üzerinde kesişiyorsa, kesişme-porizm hala doğrudur. Porizmaların, tam gelişmiş bir projektif konik geometrinin yan ürünü olduğunu tahmin etti.

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

Atıf: