Permütasyon testi - Permutation test

Bir permütasyon testi (aynı zamanda yeniden rasgele testi) bir olduğu kesin testi , bir tür istatistiksel anlamlılık testi altında test istatistiğinin dağılımı olan boş hipotezinin bütün olası değerleri hesaplanması ile elde edilir istatistiksel test tüm olası yeniden düzenlemeleri altında gözlemlenen veri noktaları Bu nedenle, permütasyon testi bir yeniden örnekleme şeklidir . Başka bir deyişle, deneysel bir tasarımda deneklere tedavilerin tahsis edildiği yöntem, bu tasarımın analizinde yansıtılır. Boş hipotez altında etiketler değiştirilebilir ise, o zaman ortaya çıkan testler kesin anlamlılık seviyeleri verir; ayrıca bkz . değiştirilebilirlik . Güven aralıkları daha sonra testlerden türetilebilir. Teori, 1930'larda Ronald Fisher ve EJG Pitman'ın çalışmalarından gelişti .

Permütasyon testleri randomize testler ile karıştırılmamalıdır .

Bir permütasyon testi temel fikir göstermek için, rastgele değişkenler toplamak varsayalım ve her iki gruptan birey için ve kimin örnek araçlardır ve ve biz olmadığını bilmek istiyorum ve aynı dağıtım gelmektedir. Let ve her gruptan toplanan örnek boyutta olması. Permütasyon test numunesi araçları arasında gözlenen farkın bir anlamlılık düzeyinde, reddetme yeterince büyük olup olmadığını belirlemek için tasarlanmıştır, boş hipotez Ho verileri alınan bu alınan verilere aynı dağılımdan . ${\displaystyle X_{A}}$${\displaystyle X_{B}}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili B}$${\displaystyle {\bar {x}}_{A}}$${\displaystyle {\bar {x}}_{B}}$${\displaystyle X_{A}}$${\displaystyle X_{B}}$${\görüntüleme stili n_{A}}$${\görüntüleme stili n_{B}}$${\görüntüleme stili _{0}}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili B}$

Test aşağıdaki gibi ilerler. İlk olarak, iki numune arasındaki ortalama farkı hesaplanır: bu, test istatistiğinin gözlenen değeridir, . ${\displaystyle T_{\metin{obs}}}$

Daha sonra, grupların gözlemleri toplanır ve birleştirilir ve örnek ortalamalarındaki fark, havuzlanan değerleri iki boyut grubuna ve (yani, A ve B grup etiketlerinin her permütasyonu için) bölmenin her olası yolu için hesaplanır ve kaydedilir . Hesaplanan bu farklar kümesi, grup etiketlerinin değiştirilebilir olduğu (yani rastgele atandığı) boş hipotezi altında olası farkların (bu örnek için) tam dağılımıdır. ${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili n_{A}}$${\görüntüleme stili n_{B}}$

Testin tek taraflı p değeri, ortalamalar arasındaki farkın 'den büyük olduğu örneklenmiş permütasyonların oranı olarak hesaplanır . Testin iki taraflı p değeri, mutlak farkın ' den büyük olduğu örneklenmiş permütasyonların oranı olarak hesaplanır . ${\displaystyle T_{\metin{obs}}}$${\displaystyle |T_{\text{obs}}|}$

Alternatif olarak, testin tek amacı boş hipotezi reddetmek veya reddetmemekse, kaydedilen farklılıklar sıralanabilir ve daha sonra bazı anlamlılık seviyeleri için bunların orta %'lik diliminde yer alıp almadığı gözlemlenebilir . Değilse, anlamlılık düzeyinde özdeş olasılık eğrileri hipotezini reddederiz . ${\displaystyle T_{\metin{obs}}}$${\ Displaystyle (1-\alpha )\time 100}$${\görüntüleme stili \alfa }$${\displaystyle \alpha \times 100\%}$

Parametrik testlerle ilişkisi

Permütasyon testleri, parametrik olmayan istatistiklerin bir alt kümesidir . Deneysel verilerimizin iki tedavi grubundan ölçülen verilerden geldiğini varsayarsak, yöntem basitçe, iki grubun ölçülen değişken açısından farklı olmadığı varsayımı altında ortalama farkların dağılımını oluşturur. Bundan sonra, bu istatistiğin ne ölçüde özel olduğunu, yani tedavi etiketleri tedaviden sonra rastgele seçilmiş olsaydı, böyle bir değerin (veya daha büyük) büyüklüğünü gözlemleme olasılığını görmek için gözlemlenen istatistik ( yukarıda) kullanılır. ${\displaystyle T_{\metin{obs}}}$

Permütasyon testlerinin aksine, bir çok popüler dağıtımları "klasik" istatistiksel gibi testler, t -testi , F -testi , z -testi ve χ ² testi , teorik olasılık dağılımları elde edilir. Fisher'in kesin testi , iki ikili değişken arasındaki ilişkiyi değerlendirmek için yaygın olarak kullanılan bir permütasyon testinin bir örneğidir. Örnek boyutları çok büyük olduğunda Pearson'ın ki-kare testi doğru sonuçlar verecektir. Küçük örnekler için, ki-kare referans dağılımının, test istatistiğinin olasılık dağılımının doğru bir tanımını verdiği varsayılamaz ve bu durumda Fisher'in kesin testinin kullanılması daha uygun hale gelir.

Parametrik testlerin olmadığı birçok durumda permütasyon testleri mevcuttur (örneğin, kayıpların karesinden ziyade bir hatanın boyutuyla orantılı olduğu durumlarda optimal bir test türetirken). Tüm basit ve nispeten karmaşık parametrik testlerin tümü, parametrik testle aynı test istatistiği kullanılarak tanımlanan karşılık gelen bir permütasyon testi versiyonuna sahiptir, ancak p-değerini teorik değil, o istatistiğin örneğe özgü permütasyon dağılımından alır. parametrik varsayımdan türetilen dağılım. Örneğin, bir permütasyon oluşturmak için bu şekilde mümkündür t -testi , bir permütasyon ki-kare ² testi dernek, varyansları karşılaştırılması ve böylece için Aly testinin bir permütasyon sürümü.

Permütasyon testlerinin en büyük dezavantajı,

• Hesaplama açısından yoğun olabilir ve hesaplanması zor istatistikler için "özel" kod gerektirebilir. Bu her durum için yeniden yazılmalıdır.
• Öncelikle bir p değeri sağlamak için kullanılır. Güven bölgeleri/aralıkları elde etmek için testin tersine çevrilmesi daha da fazla hesaplama gerektirir.

Avantajlar

Dağılımının bilinip bilinmediğine bakılmaksızın, herhangi bir test istatistiği için permütasyon testleri mevcuttur. Bu nedenle, hipotez ve alternatif arasında en iyi ayrımı yapan ve kayıpları en aza indiren istatistiği seçmekte her zaman özgürdür.

Permütasyon testleri, dengesiz tasarımları analiz etmek ve kategorik, sıralı ve metrik verilerin karışımları üzerindeki bağımlı testleri birleştirmek için kullanılabilir (Pesarin, 2001). Ayrıca nicelleştirilmiş (yani sayılara dönüştürülmüş) nitel verileri analiz etmek için de kullanılabilirler. Permütasyon testleri, geleneksel parametrik testlerin (örneğin, t-testleri, ANOVA) altında yatan istatistiksel varsayımları karşılamayan nicelleştirilmiş verileri analiz etmek için ideal olabilir.

1980'lerden önce, küçük örneklem boyutlarına sahip veri setleri dışında, referans dağılımı oluşturmanın yükü çok fazlaydı.

1980'lerden bu yana, nispeten ucuz hızlı bilgisayarların birleşmesi ve özel durumlarda uygulanabilir yeni karmaşık yol algoritmalarının geliştirilmesi, çok çeşitli problemler için permütasyon test yöntemlerinin uygulanmasını pratik hale getirdi. Ayrıca, ana istatistiksel yazılım paketlerinde kesin test seçeneklerinin eklenmesini ve çok çeşitli tek ve çok değişkenli kesin testler ve hesaplama testi tabanlı "kesin" güven aralıkları gerçekleştirmek için özel yazılımların görünümünü başlattı.

sınırlamalar

Bir permütasyon testinin arkasındaki önemli bir varsayım, gözlemlerin sıfır hipotezi altında değiştirilebilir olmasıdır. Bu varsayımın önemli bir sonucu, konumdaki farklılık testlerinin (bir permütasyon t-testi gibi) normallik varsayımı altında eşit varyans gerektirmesidir. Bu açıdan, permütasyon t-testi, klasik Student t-testi ( Behrens-Fisher problemi ) ile aynı zayıflığı paylaşır . Bu durumda üçüncü bir alternatif, önyükleme tabanlı bir test kullanmaktır. Good (2005), permütasyon testleri ile önyükleme testleri arasındaki farkı şu şekilde açıklar: "Permütasyonlar, dağılımlarla ilgili hipotezleri test eder; önyüklemeler, parametrelerle ilgili hipotezleri test eder. Sonuç olarak, önyükleme daha az katı varsayımlar gerektirir." Önyükleme testleri kesin değildir. Bazı durumlarda, uygun şekilde öğrencileştirilmiş bir istatistiğe dayalı bir permütasyon testi, değiştirilebilirlik varsayımı ihlal edildiğinde bile asimptotik olarak kesin olabilir.

Monte Carlo testi

Asimptotik olarak eşdeğer bir permütasyon testi, uygun bir şekilde tam numaralandırmaya izin vermek için verilerin çok fazla olası sıralaması olduğunda oluşturulabilir. Bu, olası kopyaların küçük bir (toplam permütasyon sayısına göre) rastgele örneğini alan Monte Carlo örneklemesi ile referans dağılımı üretilerek yapılır . Bunun herhangi bir veri setindeki herhangi bir permütasyon testine uygulanabileceğinin anlaşılması, uygulamalı istatistik alanında önemli bir atılımdı. Bu yaklaşıma bilinen en eski referanslar Eden ve Yates (1933) ve Dwass'tır (1957). Bu tip permütasyon testi çeşitli isimler altında bilinir: yaklaşık permütasyon testi , Monte Carlo permütasyon testleri veya rastgele permütasyon testleri .

Rastgele permütasyonlardan sonra , Binom dağılımına dayalı p değeri için bir güven aralığı elde etmek mümkündür. Örneğin, rastgele permütasyonlardan sonra p-değeri olarak tahmin edilirse, true (olası tüm permütasyonların denenmesi sonucunda ortaya çıkacak olan) için %99'luk bir güven aralığı olur . ${\görüntüleme stili N}$${\görüntüleme stili N=1000}$${\displaystyle {\widehat {p}}=0.05}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili [0.045,0.055]}$

Öte yandan, p-değerini tahmin etmenin amacı, çoğunlukla , sıfır hipotezinin (tipik olarak ) reddedileceği eşiğin nerede olduğuna karar vermektir . Yukarıdaki örnekte, güven aralığı bize yalnızca p-değerinin 0,05'ten küçük olma olasılığının kabaca %50 olduğunu söyler, yani sıfır hipotezinin bir düzeyde reddedilip reddedilmeyeceği tamamen belirsizdir . ${\displaystyle p\leq \alpha }$${\ Displaystyle \ scriptstyle \ \ alfa }$${\görüntüleme stili \alfa =0.05}$${\görüntüleme stili \alfa =0.05}$

Yalnızca belirli bir veri için olup olmadığını bilmek önemliyse , çok düşük bir hata olasılığıyla ifadenin doğru veya yanlış olduğu belirlenene kadar simülasyona devam etmek mantıklıdır . Kabul edilebilir hata olasılığına ( aslında veya tam tersi olduğunda bunu bulma olasılığı) bir sınır verildiğinde , kaç tane permütasyon üretileceği sorusu, sonuçlara dayalı olarak permütasyon üretmenin ne zaman durdurulacağı sorusu olarak görülebilir. Sonucun (ya da olan ) en az . ( tipik olarak son derece küçük olacak şekilde seçilecektir, örneğin 1/1000.) Bunu başarmak için minimum ek hesaplama maliyeti ile birleştirilebilen durdurma kuralları geliştirilmiştir. Aslında, gerçek temel p-değerine bağlı olarak, sanal kesinlikle bir karara varılmadan önce, gereken simülasyon sayısının oldukça küçük olduğu (örneğin, 5 kadar düşük ve genellikle 100'den büyük değil) sıklıkla bulunacaktır. ${\displaystyle p\leq \alpha }$${\görüntüleme stili \alfa }$${\displaystyle p\leq \alpha }$${\görüntüleme stili \epsilon }$${\displaystyle {\widehat {p}}>\alpha }$${\displaystyle p\leq \alpha }$${\displaystyle p\leq \alpha }$${\displaystyle p>\alfa }$${\displaystyle 1-\epsilon }$${\görüntüleme stili \epsilon }$

Ayrıca bakınız

• Vekil veri testi

Edebiyat

Orijinal referanslar:

• Fisher, RA (1935) Deneylerin Tasarımı , New York: Hafner
• Pitman, EJG (1937) "Herhangi bir popülasyondan alınan numunelere uygulanabilen önem testleri", Royal Statistical Society Supplement , 4:119-130 ve 225-32 (kısım I ve II). JSTOR  2984124 JSTOR  2983647
• Pitman, EJG (1938). "Herhangi bir popülasyondan numunelere uygulanabilecek önem testleri. Bölüm III. Varyans testinin analizi". Biyometrik . 29 (3–4): 322–335. doi : 10.1093/biomet/29.3-4.322 .

Modern referanslar:

• Collingridge, DS (2013). "Niceliklendirilmiş Veri Analizi ve Permütasyon Testi Üzerine Bir Astar". Karma Yöntem Araştırmaları Dergisi . 7 (1): 79–95. doi : 10.1177/1558689812454457 . S2CID  124618343 .
• Edgington. ES (1995) Randomizasyon testleri , 3. baskı. New York: Marcel-Dekker
• Good, Phillip I. (2005) Hipotezlerin Permütasyon, Parametrik ve Önyükleme Testleri , 3. baskı, Springer ISBN  0-387-98898-X
• İyi, P (2002). "Değişebilirlik kavramının uzantıları ve uygulamaları" . Modern Uygulamalı İstatistiksel Yöntemler Dergisi . 1 (2): 243–247. doi : 10.22237/jmasm/1036110240 .
• Lunneborg, Cliff. (1999) Yeniden Örnekleme ile Veri Analizi , Duxbury Press. ISBN  0-534-22110-6 .
• Pesarin, F. (2001). Çok Değişkenli Permütasyon Testleri: Biyoistatistikteki Uygulamalarla , John Wiley & Sons . ISBN  978-0471496700
• Welch, WJ (1990). "Permütasyon testlerinin yapımı". Amerikan İstatistik Derneği Dergisi . 85 (411): 693-698. doi : 10.1080/01621459.1990.10474929 .

Hesaplamalı yöntemler:

• Mehta, CR; Patel, NR (1983). "Fisher'ın kesin testini rxc beklenmedik durum tablolarında gerçekleştirmek için bir ağ algoritması". Amerikan İstatistik Derneği Dergisi . 78 (382): 427-434. doi : 10.1080/01621459.1983.10477989 .
• Mehta, CR; Patel, NR; Senchaudhuri, P. (1988). "Permütasyon çıkarımlarında kesin olasılıkları tahmin etmek için önem örneklemesi". Amerikan İstatistik Derneği Dergisi . 83 (404): 999–1005. doi : 10.1080/01621459.1988.10478691 .
• Gill, PMW (2007). "Doğrusal istatistik permütasyon anlamlılık testlerinde p değerlerinin verimli hesaplanması" (PDF) . İstatistiksel Hesaplama ve Simülasyon Dergisi . 77 (1): 55-61. CiteSeerX  10.1.1.708.1957 . doi : 10.1080/10629360500108053 . S2CID  1813706 .

Permütasyon testleri üzerine güncel araştırmalar

• Good, PI (2012) Yeniden Örnekleme Yöntemleri için Uygulayıcı Kılavuzu.
• Good, PI (2005) Hipotezlerin Permütasyon, Parametrik ve Önyükleme Testleri
• Bootstrap Örnekleme öğreticisi
• Hesterberg, TC, DS Moore, S. Monaghan, A. Clipson ve R. Epstein (2005): Önyükleme Yöntemleri ve Permütasyon Testleri , yazılım .
• Moore, DS, G. McCabe, W. Duckworth ve S. Sclove (2003): Önyükleme Yöntemleri ve Permütasyon Testleri
• Simon, JL (1997): Yeniden Örnekleme: Yeni İstatistikler .
• Yu, Chong Ho (2003): Yeniden örnekleme yöntemleri: kavramlar, uygulamalar ve gerekçe. Pratik Değerlendirme, Araştırma ve Değerlendirme, 8(19) . (istatistiksel önyükleme)
• Yeniden Örnekleme: Bilgisayarlar ve İstatistiklerin Evliliği (ERIC Digests)

Referanslar