Çan üçgeni - Bell triangle

Bell üçgeninin yapımı

Matematikte, Bell üçgeni , değerleri verilen bir elemanın en büyük tekil olduğu bir kümenin bölümlerini sayan Pascal üçgenine benzer bir sayı üçgenidir . Üçgenin her iki tarafında bulunabilen ve sırayla Eric Temple Bell'in adını taşıyan Bell numaralarıyla yakın bağlantısı nedeniyle bu isim verilmiştir . Bell üçgeni, Charles Sanders Peirce  ( 1880 ) ile başlayan ve ayrıca Alexander Aitken  ( 1933 ) ve Cohn ve diğerleri dahil olmak üzere birçok yazar tarafından bağımsız olarak keşfedilmiştir . (1962) ve bu nedenle Aitken dizisi veya Peirce üçgeni olarak da adlandırılmıştır .

değerler

Farklı kaynaklar aynı üçgeni farklı yönlerde verir, bazıları birbirinden terstir. Pascal üçgenine benzer bir biçimde ve Çevrimiçi Tamsayı Dizileri Ansiklopedisi'nde listelenen sırayla , ilk birkaç satırı: 

                    1
                 1     2
              2     3     5
           5     7    10    15
       15    20    27    37    52
    52    67    87   114   151   203
203   255   322   409   523   674   877

İnşaat

Bell üçgeni, ilk konumuna 1 rakamı yerleştirilerek oluşturulabilir. Bu yerleştirmeden sonra üçgenin her satırındaki en soldaki değer, bir önceki satırdaki en sağdaki değer kopyalanarak doldurulur. Her satırda kalan konumlar, Pascal üçgenindekine çok benzer bir kuralla doldurulur : bunlar konumun solundaki ve sol üstündeki iki değerin toplamıdır.

Böylece en üst sıradaki 1 sayısı ilk yerleşiminden sonra kendi satırındaki son konumdur ve bir sonraki satırda en soldaki konuma kopyalanır. Üçgendeki üçüncü değer olan 2, solundaki ve solundaki önceki iki değerin toplamıdır. Satırındaki son değer olarak üçüncü satıra 2 kopyalanır ve işlem aynı şekilde devam eder.

kombinatoryal yorumlama

Bell sayıları kendileri üçgenin sağ ve sol taraflarında, yolları sayısını bölünmesine bir sonlu seti alt kümeleri içine, veya eşdeğer sayısını denklik ilişkileri sette. Sun & Wu (2011) , üçgendeki her bir değerin aşağıdaki kombinatoryal yorumunu sağlar. Sun ve Wu'dan sonra, A n,k , üçgenin üst kısmı A 1,1 olarak numaralandırılmış, üçgenin n. satırında soldan k konumunda olan değeri göstersin . Sonra A n,k {1, 2, ..., n  + 1}  kümesinin, k + 1 öğesinin kümesinin tek öğesi olduğu ve her yüksek numaralı öğenin bir kümede olduğu bölümlerin sayısını sayar.  birden fazla elementten oluşur. Yani, k  + 1 bölümün en büyük tekilliği olmalıdır .

Örneğin, üçgenin üçüncü satırının ortasındaki 3 sayısı, gösterimlerinde A 3,2 olarak etiketlenir ve 3'ün olduğu {1, 2, 3, 4} bölümlerinin sayısını sayar. en büyük tekil eleman. Bu tür üç bölüm vardır:

{1}, {2}, 4}, {3}
{1, 4}, {2}, {3}
{1, 2, 4}, {3}.

Bu dört öğenin kalan bölümleri ya kendi başına bir kümede 3'e sahip değildir ya da daha büyük bir tekil kümeye {4} sahiptir ve her iki durumda da A 3,2'de sayılmaz .

Aynı gösterimde, Sun ve Wu (2011) üçgeni, sayıların diğer değerlerinin solunda başka bir köşegenle artırır.

Bir N , 0 = 1, 0, 1, 1, 4, 11, 41, 162, ... (dizi A000296 olarak OEIS )

 sadece ilk öğenin bir singleton olduğu aynı n + 1 öğe kümesinin bölümlerinin sayılması . Onların artırılmış üçgeni 

                       1
                    0     1
                 1     1     2
              1     2     3     5
           4     5     7    10    15
       11    15    20    27    37    52
    41    52    67    87   114   151   203
162   203   255   322   409   523   674   877

Bu üçgen, Bell üçgeninin orijinal versiyonuna benzer şekilde oluşturulabilir, ancak her satırı başlatmak için farklı bir kuralla: her satırdaki en soldaki değer, bir önceki satırın en sağdaki ve en soldaki değerlerinin farkıdır.

Aynı artırılmış üçgendeki sayıların alternatif fakat daha teknik bir yorumu Quaintance & Kwong (2013) tarafından verilmiştir .

Köşegenler ve satır toplamları

Bell üçgeninin en sol ve en sağ köşegenlerinin her ikisi de Bell sayılarının 1, 1, 2, 5, 15, 52, ... dizisini içerir (en sağdaki köşegen durumunda ilk eleman eksiktir). En sağdaki Diagonal sonraki çapraz paralel dizisini veren farklılıklar 37, ..., ve her bir sonraki paralel çapraz önceki köşegenlerinin farklar dizisini veren iki ardışık Bell numaraları, 1, 3, 10, ve.

Bu şekilde, Aitken'in (1933) gözlemlediği gibi, bu üçgen, ardışık farkları kullanarak ardışık tamsayılardaki değerlerinin dizisinden bir polinomun katsayılarını bulan Gregory-Newton interpolasyon formülünün uygulanması olarak yorumlanabilir . Bu formül , Bell sayılarını tanımlamak için kullanılabilecek bir yineleme ilişkisine çok benzer .

Üçgenin her satırının toplamı, 1, 3, 10, 37, ..., üçgenin sağdan ikinci köşegeninde görünen aynı birinci farklar dizisidir. N, bu sırayla inci sayısı da bir bölüm sayısını sayar , n alt kümelerinin biri diğerlerinden ayırt edilir alt-grupları içine elemanları; örneğin, üç öğeyi alt kümelere ayırmanın ve ardından alt kümelerden birini seçmenin 10 yolu vardır.

İlgili yapılar

Sadece bir tarafında Bell sayıları olan ve her sayının bir önceki satırdaki yakın sayıların ağırlıklı toplamı olarak belirlendiği farklı bir sayı üçgeni Aigner (1999) tarafından tanımlanmıştır .

Notlar

Referanslar

Dış bağlantılar