Operatör K -Teori -Operator K-theory

Gelen matematik , operatör, K-teori a, nonkomutatif analog topolojik K-teori için Banach cebirlerine için kullanılan bir çok uygulama ile C * -algebras .

genel bakış

Operatör K-teorisi daha topolojik K-teori benzer cebirsel K-teori . Özellikle, Bott dönemsellik teoremi tutar. Bu nedenle, yani, sadece iki K grupları vardır K 0 cebirsel eşittir, K 0 ve K 1 . Dönemsellik teoreminin sonucu olarak, tatmin eksizyonu . Bu durum, bir ile ilişkilendiren demektir uzantısı arasında -algebras C * ' a kadar tam dizi Bott periyodiklik, tam bir siklik 6-dönem dizisine azaltır.

Operatör K-teorisi bir genellemedir topolojik K-teori vasıtasıyla tanımlanan vektör demetleri üzerinde yerel kompakt Haussdorf boşluklar . Burada, bir topolojik uzay üzerinde bir vektör demeti , X C * cebir bir çıkıntı ile ilişkili matris değerli-, yani fazla -valued-sürekli fonksiyonlar X . Ayrıca, vektör demetlerinin izomorfizm ilişkili çıkıntının Murray von Neumann denklik çevirir bilinmektedir K  ⊗  C ( X ), K ayrılabilir bir Hilbert uzayında kompakt operatörleri.

Bu nedenle, K 0 bir (mutlaka değişmeli olan) Cı * cebiri grup A olarak tanımlanan Grothendieck grubu içinde çıkıntıların sınıfları Murray von Neumann tarafından oluşturulan eşdeğerlik K  ⊗  C ( X ). K 0 değişmeli grupları ve grup homomorfizması kategori, Cı * -algebras ve * -homomorphisms kategorisinden bir funktoru olup. Daha yüksek K-fanktorlar süspansiyon C * -version ile tanımlanır: K , n ( bir ) =  K 0 ( s , n ( bir )), burada SA  =  Cı- 0 (0,1) ⊗  bir .

Bununla birlikte, Bott periyodiklik, bu çıkıyor K , n + 2 ( A ) ve K , n ( bir ) her biri için izomorfik n , ve bu nedenle bu yapı tarafından üretilen tek gruplarıdır K 0 ve K 1 .

C * -algebras çalışma içine K-teorik yöntemlerin dahil edilmesi için anahtar sebebi Fredholm endeksi , bir ona bir tamsayı ilişkilendirebilir, sonlu boyutlu çekirdek ve cokernel olan bir Hilbert uzayında sınırlı bir lineer operatör Verilen: ki bu çıkıyor gibi, operatöre 'kusur' yansıtır - ölçüde yani, ters çevrilemez olduğu. Fredholm endeksi haritası tarafından verilen 6 dönem aynı sırada görünen Calkin cebir . Manifoldlarda analizde, bu endeks ve genellemeler önemli bir rol oynamıştır endeks teorisi manifoldunun topolojik endeks üzerinde eliptik operatörleri endeksi ile ifade edilebilir Atiyah ve Singer ait. Daha sonra, Brown , Douglas ve Fillmore Fredholm endeksi sınıflandırılmasında unsur olduğu görülmüştür esasen normal bir operatörleri belirli doğal denklik kadar. Birlikte bu fikirler Elliott 's sınıflandırma AF C * -algebras K-teorisi böyle operatör cebirlerin çalışmaya cebirsel topoloji K-teori olarak yöntemler adapte olan ilginin bir hayli yol açtı aracılığıyla.

Bu da, neden -homoloji K , Kasparov 'ın bivariant KK-kuramı ve daha yakın zamanda, Connes ve Higson ' ın e-teori .

Referanslar

  • Rordam, E .; Larsen Finn; Laustsen, (2000) N., giriş için K için -Teori C * -algebras , Londra Matematik Derneği Öğrenci Metinleri, 49 , Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-78334-7