n -ary grubu - n-ary group

Gelen matematik ve özellikle de evrensel cebir , bir kavramı , n -ary grubu (aynı zamanda n -grubu ya da multiary grubu ), bir kavramının bir genellemedir grup bir dizi için G , bir ile N -ary işlem yerine bir ikili operasyon. Bir By n -ary operasyonda herhangi haritası kastedilmektedir G: f ⁿ → G den n ait ıncı Kartezyen gücüne G için G . Aksiyonları bir için , n -ary grup bunların durumda bir grup kişilerce azaltmak şekilde tanımlanmıştır , n = 2 . Bu yapılar üzerinde en erken çalışma 1904'te Kasner ve 1928'de Dörnte tarafından yapılmıştır; Poliadik grupların (o zamanlar böyle adlandırılıyordu) ilk sistematik açıklaması 1940 yılında Emil Leon Post tarafından Transactions of the American Mathematical Society'de 143 sayfalık ünlü bir makalede verildi .

aksiyomlar

ilişkilendirme

Genellemesi en kolay aksiyom, çağrışım yasasıdır. Üçlü birleşme polinom kimlik ( ABC ) de = bir ( BCD ) e = ab ( CDE ) yani dizi üç olası bracketings eşitliği ABCDE herhangi üç ardışık simgeleri parantez içindeki edildiği. (Burada denklemler elemanların rasgele seçimler için olduğu anlaşılmıştır a, b, c, d, e de G Genel olarak.), N- -ary birleşme eşitliği olan n, aşağıdakilerden oluşan bir dizi olası bracketings N + ( n − 1) = 2 n − 1 farklı sembol, parantez içinde herhangi bir n ardışık sembol. Bir dizi G, bir birleştirici altında kapatılır n -ary işlemi bir adlandırılır n -ary yarıgrup. Bir dizi G (mutlaka birleştirici) herhangi altında kapatılır n -ary operasyon adlandırılır n -ary grupoid .

Tersler / benzersiz çözümler

Ters aksiyom şu şekilde genelleştirilir: ikili işlemler durumunda, ax = b'nin tersi bir ortalamanın varlığı, x için benzersiz bir çözüme sahiptir ve benzer şekilde xa = b'nin benzersiz bir çözümü vardır. Üçlü durumda bunu , her birinin benzersiz çözümleri olan abx = c , axb = c ve xab = c olarak genelleştiririz ve n -ary durumu, benzersiz çözümlerin benzer bir varoluş modelini izler ve bir n -ary yarıgrubu elde ederiz.

Tanımı n-li grubu

Bir n -ary grubu , aynı zamanda bir n -ary yarıgrup olan bir n -ary yarı grubudur.

Kimlik / tarafsız unsurlar

2-ary durumda, yani sıradan bir grup için, bir özdeşlik öğesinin varlığı, ilişkiselliğin ve ters aksiyomların bir sonucudur, ancak n ≥ 3 için n-ary gruplarda sıfır, bir veya birçok özdeşlik öğesi olabilir. .

f = ( x ₁ ◦ x ₂ ◦ ⋯ ◦ x _n ) olan bir n -ary grupoidi ( G ,  f ) , burada ( G , ◦) bir gruptur indirgenebilir olarak adlandırılır veya ( G , ◦) grubundan türetilir . 1928'de Dörnte ilk ana sonuçları yayınladı: İndirgenebilen bir n -ary grupoid bir n -ary grubudur, ancak tüm n  > 2 için indirgenemeyen n -ary grupları vardır. Bazı N -ary grupları bir eleman vardır e (bir adlandırılan N herhangi bir dizi bu tür -ary kimlik ya da nötr element) n her oluşan -elemanları e o yerde elemanı eşleştirilir, bir yerde ayrı, s' . Örneğin, her a için e , eeae  =  a kimliğine sahip kuaterner bir grupta .

Bir N nötr eleman ihtiva eden -ary grubu indirgenebilir. Bu nedenle, indirgenemez bir n -ary grubu bu tür elemanları içermez. Orada var n birden fazla nötr elemanı ile -ary grupları yer alır. Bir n -ary grubunun tüm nötr elemanlarının kümesi boş değilse, bir n -ary alt grubu oluşturur.

Bazı yazarlar, bir n -ary grubu tanımına bir kimlik ekler, ancak yukarıda belirtildiği gibi, bu tür n -ary işlemleri sadece tekrarlanan ikili işlemlerdir. Özünde n -ary işlemleri olan grupların bir kimlik öğesi yoktur.

Daha zayıf aksiyomlar

Bir n -ary grubunun tanımındaki çağrışım aksiyomları ve benzersiz çözümler olması gerekenden daha güçlüdür. n- ary birliktelik varsayımı altında, dizinin başında veya sonunda veya uçlardan başka bir yerde bilinmeyenli denklemlerin çözümünün varlığını varsaymak yeterlidir; örneğin, 6-ary durumda, xabcde = f ve abcdex = f veya abxcde = f gibi bir ifade . O zaman denklemin dizedeki herhangi bir yerde x için tek bir çözümü olduğu kanıtlanabilir . Çağrışım aksiyomu daha zayıf bir biçimde de verilebilir.

Misal

Aşağıdaki, bu tür dört gruptan biri olan üç elemanlı üçlü gruba bir örnektir.

${\displaystyle {\begin{matrix}aaa=a&aab=b&aac=c&aba=c&abb=a&abc=b&aca=b&acb=c&acc=a\\baa=b&bab=c&bac=a&bba=a&bbb=b&bbc=c&bca=c&bccb=a&b \caa=c&cab=a&cac=b&cba=b&cbb=c&cbc=a&cca=a&ccb=b&ccc=c\end{matris}}}$

(n,m)-grup

Bir n-ary grubu kavramı ayrıca bir (n,m)-grubu kavramına genelleştirilebilir , aynı zamanda vektör değerli grup olarak da bilinir ve f haritasına sahip bir G kümesidir : G ⁿ → G ^m burada n > m , haritanın sonucunun tek bir harf yerine m harften oluşan bir kelime olması dışında n-ary grubuna benzer aksiyomlara tabidir. Yani bir (n,1)-grubu bir n-ary grubudur. (n,m)-grupları 1983'te G Ĉupona tarafından tanıtıldı.

Ayrıca bakınız

• evrensel cebir

Referanslar

daha fazla okuma

• SA Rusakov: n-ary grup teorisinin bazı uygulamaları, (Rusça), Belaruskaya navuka, Minsk 1998.