çok yönlü - Multitaper

Karşılaştırılması periodogram (siyah) ve tek bir deneme yerel alan potansiyel ölçüm multitaper tahmininin (kırmızı). Bu tahminde 9 koniklik kullanılmıştır.

Gelen sinyal işleme , multitaper metodu ile geliştirilmiş bir tekniktir David J. Thomson için tahmin güç spektrumunun S _X a sabit ergodik sonlu varyans rastgele yöntem X sonlu bitişik verilen gerçekleştirme ve X veri olarak. Spektral yoğunluk tahmini için bir dizi yaklaşımdan biridir .

Motivasyon

Multitaper yöntemi, geleneksel Fourier analizinin bazı sınırlamalarının üstesinden gelir . Bir sinyalden spektral bilgi çıkarmak için Fourier dönüşümünü uygularken, her Fourier katsayısının, karşılık gelen bileşen frekansının genliğinin ve göreli fazının güvenilir bir temsili olduğunu varsayıyoruz. Ancak bu varsayım her zaman geçerli değildir. Örneğin, tek bir deneme, altta yatan ilgi sürecinin yalnızca bir gürültülü gerçekleştirilmesini temsil eder. Merkezi eğilim ölçülerini tahmin ederken istatistikte karşılaştırılabilir bir durum ortaya çıkar, yani bireyleri veya çok küçük örnekleri kullanarak bir popülasyonun niteliklerini tahmin etmek kötü bir uygulamadır. Benzer şekilde, bir işlemin tek bir örneği, mutlaka spektral özelliklerinin güvenilir bir tahminini sağlamaz. Ayrıca, sinyalin Fourier dönüşümünden elde edilen saf güç spektral yoğunluğu , gerçek spektral içeriğin taraflı bir tahminidir.

Bu problemler genellikle aynı olayın birçok gerçekleşmelerinin ortalaması alınarak aşılır. Bununla birlikte, bu yöntem, küçük veri kümeleri ile güvenilmezdir ve denemeler arasında değişen sinyal bileşenlerini zayıflatmak istenmediğinde istenmeyen bir durumdur. Toplu ortalama almak yerine , çok yönlü yöntem, aynı örnekten birden çok bağımsız tahmin elde ederek tahmin yanlılığını azaltır. Her bir veri daralması , her bileşen frekansındaki gücün tahmin edildiği pencereli bir deneme sağlamak için sinyal ile eleman bazında çarpılır. Her bir daralma, diğer tüm daralmalara çift olarak ortogonal olduğundan, pencereli sinyaller, temel spektrumun istatistiksel olarak bağımsız tahminlerini sağlar. Nihai spektrum, tüm konik spektrumların ortalaması alınarak elde edilir. Thomson, bu vektörler karşılıklı olarak ortogonal olduğundan ve arzu edilen spektral konsantrasyon özelliklerine sahip olduklarından, sivrilenler olarak Slepian veya ayrık prolate küresel dizileri seçmiştir (Slepian dizileri hakkındaki bölüme bakınız). Uygulamada, ağırlıklı ortalama , yüksek dereceli konikliklerde artan enerji kaybını telafi etmek için sıklıkla kullanılır.

yöntem

Bir p-boyutlu sıfır ortalama durağan stokastik süreci düşünün

${\displaystyle \mathbf {X} (t)={\lbrack X(1,t),X(2,t),\dots ,X(p,t)\rbrack }^{T}}$

Burada T matris transpozisyonunu gösterir. Gelen Nörofizyolojiye örneğin, s , dolayısıyla kanal sayısı anlamına gelir ve bu elektriksel aktivitenin ölçümünü temsil s kanalları. Gözlemler arasındaki örnekleme aralığı olsun , böylece, Nyquist frekansı olan . ${\displaystyle \mathbf {X} (t)}$${\görüntüleme stili\Delta t}$${\displaystyle f_{N}=1/(2\Delta t)}$

Multitaper spektral tahmincisi, birbirine dik olan birkaç farklı veri taperini kullanır. Kanal l ve m arasındaki çok yönlü çapraz spektral tahmin edici, aynı kanal çifti ( l ve m ) arasındaki K doğrudan çapraz spektral tahmincilerin ortalamasıdır ve bu nedenle şu şekli alır:

${\displaystyle {\hat {S}}^{lm}(f)={\frac {1}{K}}\sum _{k=0}^{K-1}{\hat {S}}_ {k}^{lm}(f).}$

Burada, (için ) olan K ^inci kanal arasında doğrudan çapraz spektral tahmin l ve m ve verilir ${\displaystyle {\hat {S}}_{k}^{lm}(f)}$${\displaystyle 0\leq k\leq K}$

${\displaystyle {\hat {S}}_{k}^{lm}(f)={\frac {1}{N\Delta t}}{\lbrack J_{k}^{l}(f)\ rbrack }^{*}{\lbrack J_{k}^{m}(f)\rbrack },}$

nerede

${\displaystyle J_{k}^{l}(f)=\sum _{t=1}^{N}h_{t,k}X(l,t)e^{-i2\pi ft\Delta t }.}$

T=1000 ve 2WT=6 için önde gelen üç Slepian dizisi. Her bir yüksek dereceli dizinin ekstra bir sıfır geçişi olduğunu unutmayın.

Slepian dizileri

Dizisi için veri konik olan k ^inci doğrudan çapraz-spektral tahmincisi ve aşağıdaki gibi seçilir: ${\displaystyle \lbrace h_{t,k}\rbrace }$${\displaystyle {\hat {S}}_{k}^{lm}(f)}$

Her biri sızıntıya karşı iyi bir koruma sağlayacak şekilde bir dizi K ortogonal veri daralması seçiyoruz . Bu sonra, Slepian sekanslar tarafından verilen David Slepian parametresi ile (aynı zamanda ayrık yayvan küremsi sekansları veya kısa DPSS olarak teknolojide iyi bilinir) W ve sipariş k  = 0 K  fazla sipariş - 1. K az olacak şekilde seçilir Shannon numarası . 2 W miktarı , spektral konsantrasyon problemi için çözünürlük bant genişliğini tanımlar ve . l  =  m olduğunda , l' ^inci kanalın otomatik spektrumu için çok yönlü tahmin ediciyi elde ederiz . Son yıllarda, modüle edilmiş DPSS'ye dayalı bir sözlük, DPSS'ye fazladan tamamlanmış bir alternatif olarak önerildi. ${\ Displaystyle 2NW\Delta t}$${\displaystyle W\in (0,f_{N})}$

Ayrıca bkz. Pencere işlevi:DPSS veya Slepian penceresi

Multitaper yönteminin uygulamaları

Bu teknik şu anda Chronux'un spektral analiz araç setinde kullanılmaktadır . Nörobilim deneylerinde, biyomedikal mühendisliğinde ve diğerlerinde üretilen çok denemeli, çok kanallı verileri analiz etmek için bu yöntemin uygulanması hakkında kapsamlı bir tedavi burada bulunabilir . Zaman serileri ile sınırlı olmamakla birlikte, multitaper yöntemi, diğerleri arasında jeofizik ve kozmolojideki uygulamalar için küresel harmoniklerden oluşturulan Slepian fonksiyonları kullanılarak küre üzerinde spektral tahmin için yeniden formüle edilebilir .

Ayrıca bakınız

• periodogram

Referanslar

• Basın, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Bölüm 13.4.3. Çok Yönlü Yöntemler ve Slepian İşlevleri" , Sayısal Tarifler: Bilimsel Hesaplama Sanatı (3. baskı), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

Dış bağlantılar

• [1] Uyarlamalı ağırlıklandırma dahil çok yönlü yöntem için C++/Octave kitaplıkları (GitHub'da barındırılır)
• [2] SSA-MTM Toolkit uygulamasından çok yönlü yönteme ilişkin belgeler
• [3] Ek çok değişkenli uygulamalara sahip Fortran 90 kitaplığı
• [4] Python modülü
• [5] R (programlama dili) multitaper Paketi
• [6] Slepian dizileri (dpss) oluşturmak için S-Plus betiği