Moore uzayı (topoloji) - Moore space (topology)

In matematik , daha spesifik nokta-kümesi topolojisi , bir Moore uzay bir olduğunu geliştirilebilir düzenli Hausdorff uzay . Yani, aşağıdaki koşullar geçerliyse, bir X topolojik uzayı bir Moore uzayıdır:

• Herhangi iki farklı nokta komşuluklarla ayrılabilir ve herhangi bir kapalı küme ve tümleyenindeki herhangi bir nokta komşuluklarla ayrılabilir. ( X bir normal Hausdorff uzayıdır .)
• Bir yoktur sayılabilir toplanması açık kapakları arasında X , öyle ki herhangi kapalı bir set için C ve herhangi bir nokta p koleksiyonunda bir kapak vardır temâmîsinin içinde her mahalle öyle p kabında yer alan ayrık gelen C . ( X, a, geliştirilebilir alan ).

Moore uzayları genellikle matematikte ilgi çekicidir çünkü ilginç ölçümleme teoremlerini kanıtlamak için uygulanabilirler . Moore uzayı kavramı , 20. yüzyılın başlarında RL Moore tarafından formüle edilmiştir .

Örnekler ve özellikler

1. Her metriklenebilir uzay , X , bir Moore uzayıdır. Eğer { A ^{( n )} _x }, X'in 1/ n yarıçaplı tüm toplar tarafından ( X'te x ile indekslenmiş) açık kapağı ise , o zaman n'nin pozitif tam sayılara göre değiştiği gibi tüm açık kapakların toplanması , X'in bir gelişimidir. . Tüm metrik uzaylar normal olduğundan, tüm metrik uzaylar Moore uzaylarıdır.
2. Moore uzayları, normal uzaylara çok benzer ve normal uzaylardan , Moore uzayının her alt uzayının aynı zamanda bir Moore uzayı olması bakımından farklıdır .
3. Enjektif, sürekli açık bir harita altında bir Moore uzayının görüntüsü her zaman bir Moore uzayıdır. (Sürekli açık bir haritanın altındaki düzenli uzayın görüntüsü her zaman düzenlidir.)
4. Örnek 2 ve 3, Moore uzaylarının normal uzaylara benzer olduğunu göstermektedir.
5. Ne Sorgenfrey doğrusu ne de Sorgenfrey düzlemi Moore uzayları değildir çünkü bunlar normaldir ve ikinci sayılabilir değillerdir .
6. Moore düzlemi (aynı zamanda Niemytski alanı olarak da bilinir) olmayan bir metriklenebilir Moore alan bir örneğidir.
7. Her metakompakt , ayrılabilir , normal Moore uzayı ölçülebilirdir. Bu teorem Traylor teoremi olarak bilinir.
8. Her yerel olarak kompakt , yerel olarak bağlı normal Moore uzayı ölçülebilirdir. Bu teorem Reed ve Zenor tarafından ispatlandı.
9. Eğer , o zaman ayrılabilir her normal Moore uzayı ölçülebilirdir . Bu teorem Jones teoremi olarak bilinir.${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}<2^{\aleph _{1}}}$

Normal Moore uzay varsayımı

Uzun bir süre boyunca, topologlar sözde normal Moore uzay varsayımını kanıtlamaya çalışıyorlardı: her normal Moore uzayı ölçülebilirdir . Bu, ölçülebilir olmayan bilinen tüm Moore uzaylarının da normal olmadığı gerçeğinden ilham aldı. Bu güzel bir ölçümleme teoremi olurdu . İlk başta bazı güzel kısmi sonuçlar vardı; yani önceki bölümde verilen 7, 8 ve 9 özellikleri.

Özellik 9 ile, Traylor teoreminden metakompaktlığı çıkarabileceğimizi görüyoruz, ancak bu, bir küme-teorik varsayım pahasına. Bunun bir başka örneği olan FLEISSNER teoremi o constructibility beliti yerel kompakt normal Moore alanlarda metriklenebilir olduğunu ima eder.

Öte yandan, süreklilik hipotezi (CH) altında ve ayrıca CH değil Martin aksiyomu altında , metrikleştirilemeyen normal Moore uzaylarının birkaç örneği vardır. Nyikos, büyük bir kardinal gerektiren PMEA (Ürün Ölçüsü Genişletme Aksiyomu) adı verilen altında , tüm normal Moore uzaylarının ölçülebilir olduğunu kanıtladı . Son olarak, daha sonra , varsayımın geçerli olduğu herhangi bir ZFC modelinin, büyük bir kardinalli bir modelin varlığını ima ettiği gösterildi. Yani esasen büyük kardinallere ihtiyaç var.

Jones (1937) , metriklenebilir olmayan bir sözde normal Moore uzayına bir örnek verdi , bu nedenle varsayım bu şekilde güçlendirilemez. Moore'un kendisi, koleksiyonsal bir normal Moore uzayının ölçülebilir olduğu teoremini kanıtladı , bu nedenle normalliği güçlendirmek, meseleyi çözmenin başka bir yoludur.

Referanslar

• Lynn Arthur Steen ve J. Arthur Seebach , Topolojide Karşı Örnekler , Dover Books, 1995. ISBN  0-486-68735-X
• Jones, FB (1937), "Normal ve tamamen normal uzaylarla ilgili ", Bülten of the American Mathematical Society , 43 (10): 671–677 , doi : 10.1090/S0002-9904-1937-06622-5 , MR  1563615.
• Nyikos, Peter J. (2001), "Normal Moore uzay probleminin tarihi", Handbook of the History of General Topology , Hist. Topol., 3 , Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, s. 1179–1212, ISBN 9780792369707, MR  1900271.
• RL Moore tarafından yapılan orijinal tanım burada görünür :

MR 0150722 (27 #709) Moore, RL Nokta küme teorisinin temelleri . Gözden geçirilmiş baskı. Amerikan Matematik Derneği Kolokyum Yayınları, Cilt. XIII American Mathematical Society, Providence, RI 1962 xi+419 s. (Değerlendirme: F. Burton Jones)

• Tarihsel bilgiler burada bulunabilir :

MR 0199840 (33 #7980) Jones, F. Burton "Metrizasyon". American Mathematical Aylık 73 1966 571–576. (İnceleme: RW Bagley)

• Tarihsel bilgiler burada bulunabilir :

MR 0203661 (34 #3510) Bing, RH "Zorlu varsayımlar". American Mathematical Aylık 74 1967 no. 1, kısım II, 56-64;

• Vickery teoremi burada bulunabilir :

MR 0001909 (1.317f) Vickery, CW "Moore uzayları ve metrik uzaylar için aksiyomlar". Amerikan Matematik Derneği Bülteni 46, (1940). 560-564

• Bu makale , Creative Commons Atıf/Benzer Paylaşım Lisansı altında lisanslanan PlanetMath üzerindeki Moore uzayından materyal içermektedir .