Belirleyiciler için Leibniz formülü - Leibniz formula for determinants

In cebir , Leibniz formülü onuruna adlandırılmış, Gottfried Leibniz , ifade belirleyici a kare matrisinin matris elemanlarının permütasyon açısından. Eğer bir bir matris içinde giriştir inci satır ve bir inci kolon , formül ${\displaystyle A}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle a_{ij}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \det(A)=\sum _{\tau \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\tau )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\,\tau (i)}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i),\,i},}$

burada bir işaret işlevi arasında permütasyon olarak permütasyon grubu döner, ve için çift ve tek permütasyon sırası. ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ ${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle -1}$

Formül için kullanılan diğer bir yaygın gösterim, Levi-Civita sembolü cinsindendir ve nerede olduğu Einstein toplam gösterimini kullanır.

${\displaystyle \det(A)=\epsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}{a}_{1i_{1}}\cdots {a}_{ni_{n}},}$

fizikçiler için daha tanıdık olabilir.

Leibniz formülünü tanımdan doğrudan değerlendirmek, genel olarak işlemleri gerektirir - yani, asimptotik olarak faktöriyel ile orantılı bir dizi işlem - çünkü sipariş permütasyonlarının sayısıdır . Bu, nispeten küçük olanlar için bile pratik olarak zordur . Bunun yerine, determinant işlemlerde LU ayrıştırması oluşturularak (tipik olarak Gauss eleme veya benzer yöntemlerle) değerlendirilebilir, bu durumda üçgen matrislerin determinantları ve determinantları basitçe köşegen girişlerinin ürünleridir. (Ancak sayısal lineer cebirin pratik uygulamalarında, determinantın açık bir şekilde hesaplanması nadiren gereklidir.) Örneğin bakınız, Trefethen & Bau (1997) . Determinant aynı zamanda , problemi matris çarpımına indirgeyerek operasyonlardan daha azında değerlendirilebilir , ancak bu tür algoritmaların çoğu pratik değildir. ${\displaystyle \Omega (n!\cdot n)}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n!}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle O(n^{3})}$ ${\displaystyle A=LU}$${\displaystyle \det A=\det L\cdot \det U}$${\displaystyle L}$${\displaystyle U}$${\displaystyle O(n^{3})}$

Resmi beyan ve kanıt

Teorem. Bir fonksiyon tam duyulmaktadır olan alternatif çoklu doğrusal wrt sütun ve bu şekilde . ${\displaystyle F:M_{n}(\mathbb {K} )\rightarrow \mathbb {K} }$ ${\displaystyle F(I)=1}$

Kanıt.

Özgünlük: Let böyle bir fonksiyon olabilir ve izin bir olmak matrisi. Çağrı ait bırakanların sütunu , yani, böylece,${\displaystyle F}$${\displaystyle A=(a_{i}^{j})_{i=1,\dots ,n}^{j=1,\dots ,n}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A^{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{j}=(a_{i}^{j})_{i=1,\dots ,n}}$${\displaystyle A=\left(A^{1},\dots ,A^{n}\right).}$

Ayrıca, birim matrisin -th sütun vektörünü gösterelim . ${\displaystyle E^{k}}$${\displaystyle k}$

Şimdi biri, 'lerin her birini , yani ${\displaystyle A^{j}}$${\displaystyle E^{k}}$

${\displaystyle A^{j}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{j}E^{k}}$.

Çoklu doğrusal olduğu gibi , bir ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(A)&=F\left(\sum _{k_{1}=1}^{n}a_{k_{1}}^{1}E^{k_{1}},\dots ,\sum _{k_{n}=1}^{n}a_{k_{n}}^{n}E^{k_{n}}\right)=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=1}^{n}\left(\prod _{i=1}^{n}a_{k_{i}}^{i}\right)F\left(E^{k_{1}},\dots ,E^{k_{n}}\right).\end{aligned}}}$

Değişimden, tekrarlanan indeksleri olan herhangi bir terimin sıfır olduğu sonucu çıkar. Bu nedenle toplam, tekrarlanmayan endekslere, yani permütasyonlara sahip demetlerle sınırlandırılabilir:

${\displaystyle F(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)F(E^{\sigma (1)},\dots ,E^{\sigma (n)}).}$

F değişken olduğundan, sütunlar kimlik haline gelene kadar değiştirilebilir. İşareti işlevi çıkan işareti değişim için gerekli takası ve hesap sayısını saymak için tanımlanır. Bir nihayet alır: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(A)&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)F(I)\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\end{aligned}}}$

eşit olması gerektiği gibi . ${\displaystyle F(I)}$${\displaystyle 1}$

Bu nedenle Leibniz Formülü tarafından tanımlanan fonksiyon dışında hiçbir fonksiyon ile çok doğrusal alternatif fonksiyon olamaz . ${\displaystyle F\left(I\right)=1}$

Varoluş: Şimdi F'nin Leibniz formülüyle tanımlanan fonksiyon olduğu F'nin bu üç özelliğe sahip olduğunu gösteriyoruz.

Çoklu Doğrusal :

${\displaystyle {\begin{aligned}F(A^{1},\dots ,cA^{j},\dots )&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )ca_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=c\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=cF(A^{1},\dots ,A^{j},\dots )\\\\F(A^{1},\dots ,b+A^{j},\dots )&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(b_{\sigma (j)}+a_{\sigma (j)}^{j}\right)\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\left(b_{\sigma (j)}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)+\left(a_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)\right)\\&=\left(\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )b_{\sigma (j)}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)+\left(\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)\\&=F(A^{1},\dots ,b,\dots )+F(A^{1},\dots ,A^{j},\dots )\\\\\end{aligned}}}$

dönüşümlü :

${\displaystyle {\begin{aligned}F(\dots ,A^{j_{1}},\dots ,A^{j_{2}},\dots )&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}\\\end{aligned}}}$

Herhangi biri için , ve endeksleri değiştirildiğinde demet eşit olsun . ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$${\displaystyle \sigma '}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle j_{1}}$${\displaystyle j_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(A)&=\sum _{\sigma \in S_{n},\sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}\left[\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}+\operatorname {sgn}(\sigma ')\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma '(i)}^{i}\right)a_{\sigma '(j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma '(j_{2})}^{j_{2}}\right]\\&=\sum _{\sigma \in S_{n},\sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}\left[\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}-\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{2})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{1})}^{j_{2}}\right]\\&=\sum _{\sigma \in S_{n},\sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)\underbrace {\left(a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}-a_{\sigma (j_{1})}^{j_{2}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{_{1}}}\right)} _{=0{\text{, if }}j_{1}=j_{2}}\\\\\end{aligned}}}$

Böylece eğer öyleyse . ${\displaystyle A^{j_{1}}=A^{j_{2}}}$${\displaystyle F(\dots ,A^{j_{1}},\dots ,A^{j_{2}},\dots )=0}$

Son olarak : ${\displaystyle F(I)=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(I)&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}I_{\sigma (i)}^{i}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}\operatorname {\delta } _{i,\sigma (i)}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\operatorname {\delta } _{\sigma ,\operatorname {id} _{\{1\ldots n\}}}=\operatorname {sgn}(\operatorname {id} _{\{1\ldots n\}})=1\end{aligned}}}$

Bu nedenle, yalnızca değişen çok doğrusal işlevler Leibniz formülü tarafından tanımlanan işlevle sınırlıdır ve aslında bu üç özelliğe de sahiptir. Dolayısıyla determinant, bu üç özelliğe sahip tek fonksiyon olarak tanımlanabilir . ${\displaystyle F(I)=1}$${\displaystyle \det :M_{n}(\mathbb {K} )\rightarrow \mathbb {K} }$

Ayrıca bakınız

• Matris
• Laplace genişlemesi
• Cramer kuralı

Referanslar

• "Determinant" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
• Trefethen, Lloyd N.; Bau, David (1 Haziran 1997). Sayısal Lineer Cebir . SIAM . ISBN'si 978-0898713619.