Lebesgue sabiti (enterpolasyon) - Lebesgue constant (interpolation)

Gelen matematik , Lebesgue sabitleri (düğüm ve boyutu, bir dizi bağlı olarak) kadar iyi bir fikir vermek interpolant a fonksiyonu en iyi ile karşılaştırıldığında olan (verilen boğumlarda) polinom yaklaşım fonksiyonu (derecesi polinomlar açıkça sabitlenmiştir). En fazla $n'deki$ polinomlar için Lebesgue sabiti ve $n + 1$ düğüm kümesi için $T$ genellikle $Λ n (T) ile gösterilir$ . Bu sabitler, Henri Lebesgue'in adını almıştır .

Tanım

Enterpolasyon düğümlerini ve tüm enterpolasyon düğümlerini içeren bir aralığı düzeltiriz . Enterpolasyon işlemi, işlevi bir polinomla eşler . Bu eşleme tanımlar boşluğundan C ([ a , b : [de sürekli fonksiyonların]) bir , b kendisine]. X haritası doğrusaldır ve $n$ veya daha düşük dereceli polinomların alt uzay $Π$ $n$ üzerindeki bir izdüşümdür . ${\ displaystyle x_ {0}, ..., x_ {n}}$ ${\ displaystyle [a, \, b]}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X}$

Lebesgue sabiti olarak tanımlanır operatör norm arasında X . Bu tanım, C ([ a , b ]) üzerinde bir norm belirlememizi gerektirir . Tek tip norm genellikle en uygun olanıdır. ${\ displaystyle \ Lambda _ {n} (T)}$

Özellikleri

İzin: Lebesgue sabit enterpolasyon hata sınırları $p *$ en iyi yaklaşım ifade f derece polinom arasında $, n$ ya da daha az. Diğer bir deyişle, $p *$ en aza indirir $|| p - f ||$ tüm p in Π _{n arasında} . Sonra

{\ displaystyle \ | fX (f) \ | \ leq (\ Lambda _ {n} (T) +1) \ sol \ | fp ^ {*} \ sağ \ |.}

Burada bu ifadeyi maksimum norm ile kanıtlayacağız.

{\ displaystyle \ | fX (f) \ | \ leq \ | fp ^ {*} \ | + \ | p ^ {*} - X (f) \ |}

tarafından üçgen eşitsizliği . Ancak X , Π _n üzerine bir izdüşümdür , bu nedenle

p * - X (f) = X (p *) - X (f) = X (p * - f)

.

Bu o zamandan beri kanıtı bitiriyor . Bu ilişkinin, Lebesgue lemmasının özel bir durumu olarak da geldiğine dikkat edin . ${\ displaystyle \ | X (p ^ {*} - f) \ | \ leq \ | X \ | \ | p ^ {*} - f \ | = \ | X \ | \ | fp ^ {*} \ | }$

Başka bir deyişle, enterpolasyon polinomu, mümkün olan en iyi yaklaşımdan en fazla $Λ n (T) + 1$ faktörüdür . Bu, küçük bir Lebesgue sabitine sahip bir dizi enterpolasyon düğümü aradığımızı gösteriyor.

Lebesgue sabiti, Lagrange tabanlı polinomlar cinsinden ifade edilebilir :

{\ displaystyle \ ell _ {j} (x): = \ prod _ {\ begin {smallmatrix} i = 0 \\ j \ neq i \ end {smallmatrix}} ^ {n} {\ frac {x-x_ { i}} {x_ {j} -x_ {i}}}.}

Aslında, Lebesgue fonksiyonuna sahibiz

{\ displaystyle \ lambda _ {n} (x) = \ toplam _ {j = 0} ^ {n} | \ ell _ {j} (x) |.}

ve ızgara için Lebesgue sabiti (veya Lebesgue sayısı) maksimum değeridir

{\ displaystyle \ Lambda _ {n} (T) = \ max _ {x \ in [a, b]} \ lambda _ {n} (x)}

Yine de, $Λ n (T)$ için açık bir ifade bulmak kolay değildir .

Minimal Lebesgue sabitleri

Eşit mesafeli düğümler durumunda, Lebesgue sabiti üssel olarak büyür . Daha doğrusu, aşağıdaki asimptotik tahmine sahibiz

{\ displaystyle \ Lambda _ {n} (T) \ sim {\ frac {2 ^ {n + 1}} {tr \ log n}} \ qquad {\ text {as}} n \ ila \ infty.}

Öte yandan, Lebesgue sabiti sadece Chebyshev düğümleri kullanılırsa logaritmik olarak büyür , çünkü bizde

{\ displaystyle {\ tfrac {2} {\ pi}} \ log (n + 1) + a <\ Lambda _ {n} (T) <{\ tfrac {2} {\ pi}} \ log (n + 1) +1, \ qquad a = 0,9625 \ ldots}

Yine Chebyshev düğümlerinin polinom enterpolasyonu için çok iyi bir seçim olduğu sonucuna vardık. Bununla birlikte, daha iyi bir Lebesgue sabiti veren Chebyshev düğümlerinin kolay (doğrusal) bir dönüşümü vardır. Let $t i$ ifade $i$ -inci, Chebyshev düğüm. Sonra tanımlayın

{\ displaystyle s_ {i} = {\ frac {t_ {i}} {\ cos \ left ({\ frac {\ pi} {2 (n + 1)}} \ sağ)}}.}

Bu tür düğümler için:

{\ displaystyle \ Lambda _ {n} (S) <{\ tfrac {2} {\ pi}} \ log (n + 1) + b, \ qquad b = 0.7219 \ ldots}

Bununla birlikte, bu düğümler optimal değildir (yani, Lebesgue sabitlerini küçültmezler) ve optimal bir düğüm kümesi arayışı (bazı varsayımlar altında benzersiz olduğu kanıtlanmıştır) bugün hala matematikte ilgi çekici bir konudur. Ancak düğüm bu resim üzerinde enterpolasyon için en uygunudur grubu $, n$ kere türevlenebilir fonksiyonları $, n$ -inci türevleri sabit tarafından mutlak değer olarak sınırlanan $M$ NS Hoang ile gösterildiği gibi. Bir bilgisayar kullanarak , burada kanonik aralık $[-1, 1]$ için minimum Lebesgue sabitlerinin değerleri tahmin edilebilir : ${\ displaystyle C_ {M} ^ {n} [- 1,1]}$

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Λ _n ( T )	1.0000	1.2500	1.4229	1.5595	1.6722	1.7681	1.8516	1.9255	1.9917

Sabit $n$ > 1 için Lebesgue sabitini minimize eden [−1,1] 'de sayılamayan sonsuz sayıda düğüm kümesi vardır . Enterpolasyon için her zaman always1 ve 1'i düğümler olarak ( kanonik düğüm yapılandırması olarak adlandırılır ) aldığımızı varsayarsak, böyle bir küme benzersiz ve sıfır simetriktir. Bu özelliği göstermek için, n = 2 olduğunda ne olacağını göreceğiz (yani 3 enterpolasyon düğümünü ele alıyoruz, bu durumda özellik önemsiz değildir). $(- a, 0, a)$ tipindeki $($ sıfır simetrik) düğümlerin her bir setinin en uygun olduğu kontrol edilebilir. $\sqrt 8 / 3 \leq a \leq 1$ (sadece [−1, 1] 'deki düğümleri dikkate alıyoruz). Biz türde olması düğümlerinin kümesini kuvvet ise $(-1, b, 1)$ , daha sonra b 0 (en Lebesgue sabitidir Lebesgue fonksiyonu, bir göz) eşit olmalıdır. N = 2 olduğunda [−1,1] 'deki tüm rastgele (yani sıfır simetrik veya sıfır asimetrik) optimal düğüm kümeleri F. Schurer tarafından ve alternatif bir şekilde H.-J. Rack ve R. Vajda (2014).

Enterpolasyon için düğüm olarak −1 ve 1'i aldığımızı varsayarsak, H.-J. Rack (1984 ve 2013), n = 3 durumu için, optimal (benzersiz ve sıfır simetrik) 4 interpolasyon düğümünün açık değerleri ve minimum Lebesgue sabitinin açık değeri bilinmektedir. N = 3 olduğunda, [1,1] 'deki 4 enterpolasyon düğümünün tüm rastgele optimal kümeleri, H.-J. tarafından iki farklı ama eşdeğer modda açıkça belirlendi. Rack ve R. Vajda (2015).

Padua noktaları (değil yavaş Chebyshev düğüm olarak da) ve olmanın ek özelliği ile yavaş büyüme ile düğüm bir dizi farklı unisolvent noktası belirlendi .

Bir polinom değerlerinin hassasiyeti

Lebesgue sabitleri de başka bir problemde ortaya çıkar. Let p ( x ) bir derece polinom $n$ ifade Lagrange şeklinde vektörü noktaları ile ilişkili t (yani vektör U onun katsayılarının değerleri içeren vektör ). Orijinal polinom p ( x ) ' in katsayıları u'nun hafifçe değiştirilmesiyle elde edilen bir polinom olsun . Eşitsizliği düşünün: ${\ displaystyle p (t_ {i})}$ ${\ displaystyle {\ şapka {p}} (x)}$ ${\ displaystyle {\ hat {u}}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ | p - {\ hat {p}} \ |} {\ | p \ |}} \ leq \ Lambda _ {n} (T) {\ frac {\ | u - {\ şapka {u}} \ |} {\ | u \ |}}}

Bu, değerlerindeki (göreceli) hatanın , uygun Lebesgue sabiti çarpı katsayılardaki göreceli hatadan daha yüksek olmayacağı anlamına gelir . Bu anlamda, Lebesgue sabiti, her bir u katsayısı vektörünü , Lagrange formundaki u katsayıları ile polinomun değerlerinin kümesine eşleyen operatörün göreli koşul numarası olarak görülebilir . Aslında, her polinom tabanı için böyle bir operatör tanımlayabiliriz, ancak bunun koşul numarası, en uygun bazlar için optimal Lebesgue sabitinden daha büyüktür. ${\ displaystyle {\ şapka {p}} (x)}$

Referanslar

Brutman, L. (1997), "Polinom enterpolasyonu için Lebesgue fonksiyonları - bir anket", Annals of Numerical Mathematics , 4 : 111–127, ISSN 1021-2655
Smith, Simon J. (2006), "Polinom enterpolasyonunda Lebesgue sabitleri" (PDF) , Annales Mathematicae et Informaticae , 33 : 109–123, ISSN 1787-5021
İbrahimoğlu, Bayram Ali (2016), "Lebesgue functions and Lebesgue constants in polinomial interpolation", Journal of Inequalities and Applications : 2016: 93, doi : 10.1186 / s13660-016-1030-3 , ISSN 1029-242X
Raf, H.-J. (1984), "Enterpolasyon için en uygun düğümlerin bir örneği" , International Journal of Mathematical Education in Science and Technology , 15 (3): 355-357, doi : 10.1080 / 0020739840150312 , ISSN 1464-5211
Raf, H.-J. (2013), " Tekrarlanan enterpolasyon için en uygun düğümlerin bir örneği", Uygulamalı Matematik ve Yaklaşım Teorisindeki Gelişmeler, Matematik ve İstatistikte Springer İşlemleri, 41 : 117–120 , doi : 10.1007 / 978-1-4614-6393-1_7 , ISSN 2194-1009
Rack, H.-J .; Vajda, R. (2014), "Optimal kuadratik Lagrange interpolasyonu üzerine: Sembolik hesaplama yoluyla minimal Lebesgue sabitine sahip ekstremal düğüm sistemleri" , Serdica Journal of Computing , 8 : 71–96, ISSN 1312-6555
Rack, H.-J .; Vajda, R. (2015), "Optimal kübik Lagrange enterpolasyonu üzerine: Minimal Lebesgue sabitli ekstremal düğüm sistemleri" (PDF) , Studia Universitatis Babeş-Bolyai Mathematica , 60 (2): 151–171, ISSN 0252-1938
Schurer, F. (1974), "Polinom interpolasyon teorisinde ekstrem kümeler üzerine bir açıklama", Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica , 9 : 77–79, ISSN 0081-6906
Hoang, NS, Enterpolasyon ve spektral yöntemler için On düğüm dağılımı. , arXiv : 1305.6104 , Bibcode : 2013arXiv1305.6104H
MathWorld üzerinde Lebesgue sabitleri .

Languages

In other projects