Lebesgue'nin ayrışma teoremi - Lebesgue's decomposition theorem

In matematik , daha doğrusu içinde ölçü teorisi , Lebesgue ayrışma teoremi devletler her iki söz konusu σ-sonlu imzalı tedbirler ve bir üzerinde ölçülebilir uzay iki σ-sonlu imzalı tedbirleri orada var ve öyle ki: ${\görüntüleme stili \mu }$${\görüntüleme stili \nu }$ ${\görüntüleme stili (\Omega ,\Sigma ),}$${\görüntüleme stili \nu _{0}}$${\görüntüleme stili \nu _{1}}$

• ${\displaystyle \nu =\nu _{0}+\nu _{1}\,}$
• ${\displaystyle \nu _{0}\ll \mu }$(olduğu, bir mutlak sürekli göre )${\görüntüleme stili \nu _{0}}$${\görüntüleme stili \mu }$
• ${\displaystyle \nu _{1}\perp \mu }$(olduğunu, ve vardır tekil ).${\görüntüleme stili \nu _{1}}$${\görüntüleme stili \mu }$

Bu iki önlem benzersiz bir şekilde belirlenir ve${\görüntüleme stili \mu }$${\görüntüleme stili \nu .}$

arıtma

Lebesgue'nin ayrıştırma teoremi çeşitli şekillerde geliştirilebilir.

İlk olarak, normal bir Borel ölçüsünün tekil kısmının gerçek çizgi üzerinde ayrıştırılması geliştirilebilir :

${\displaystyle \,\nu =\nu _{\mathrm {devamı} }+\nu _{\mathrm {şarkı}}+\nu _{\mathrm {pp}}}$

nerede

• ν _devam olup mutlak sürekli kısım
• ν _sing olan tekil sürekli bir parçası
• ν _s olan saf noktası kısım (a ayrı ölçü ).

İkincisi, kesinlikle sürekli ölçümler Radon-Nikodym teoremi tarafından sınıflandırılır ve ayrık ölçümler kolayca anlaşılır. Bu nedenle (tekil sürekli ölçümler bir yana), Lebesgue ayrıştırması ölçümlerin çok açık bir tanımını verir. Cantor ölçüsü ( olasılık ölçüsü ile gerçek hattı kümülatif dağılım fonksiyonu olan Cantor fonksiyonu ) tekil bir sürekli ölçümü için bir örnektir.

Ilgili kavramlar

Lévy-Itō ayrışması

Stokastik süreçler için benzer ayrıştırma , Lévy-Itō ayrıştırmasıdır : bir Lévy süreci X verildiğinde , üç bağımsız Lévy sürecinin toplamı olarak ayrıştırılabilir : ${\displaystyle X=X^{(1)}+X^{(2)}+X^{(3)}}$

• ${\görüntüleme stili X^{(1)}}$mutlak sürekli kısma karşılık gelen, kaymalı bir Brown hareketidir ;
• ${\görüntüleme stili X^{(2)}}$a, birleşik Poisson işlemi saf noktası kısmına karşılık gelen,;
• ${\görüntüleme stili X^{(3)}}$a, kare integre saf bir atlama Martingal neredeyse mutlaka tek sürekli kısmına karşılık gelen, sonlu bir aralıkta atlar sayılabilir miktarda bulunur.

Ayrıca bakınız

• Spektrumun ayrışması
• Hahn ayrıştırma teoremi ve karşılık gelen Jordan ayrıştırma teoremi

alıntılar

Referanslar

• Halmos, Paul R. (1974) [1950], Ölçü Teorisi , Matematikte Lisansüstü Metinleri , 18 , New York, Heidelberg, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90088-9, MR  0033869 , Zbl  0283.28001
• Hewitt, Edwin ; Stromberg, Karl (1965), Gerçek ve Soyut Analiz. Gerçek Değişkenli Fonksiyonlar Teorisinin Modern Tedavisi , Matematikte Lisansüstü Metinler, 25 , Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90138-1, MR  0188387 , Zbl  0137.03202
• Rudin, Walter (1974), Gerçek ve Karmaşık Analiz , Yüksek Matematikte McGraw-Hill Serisi (2. baskı), New York, Düsseldorf, Johannesburg: McGraw-Hill Book Comp., ISBN 0-07-054233-3, MR  0344043 , Zbl  0278.26001

Bu makale , Creative Commons Atıf/Benzer Paylaşım Lisansı altında lisanslanan PlanetMath üzerindeki Lebesgue ayrıştırma teoreminden alınan materyalleri içermektedir .