Kepler denklemi - Kepler's equation

0 ile 1 arasındaki beş farklı eksantriklik için Kepler denklem çözümleri

Olarak yörünge mekaniği , Kepler denklemi bir bir Vücutta yörüngesinin çeşitli geometrik özellikleri ile ilgilidir merkezi kuvvet .

İlk olarak Johannes Kepler tarafından 1609'da Astronomia nova'sının 60. Bölümünde ve Epitome of Copernican Astronomy'nin (1621) V. kitabında Kepler denkleme yinelemeli bir çözüm önerdi. Denklem, hem fizik hem de matematik tarihinde, özellikle klasik gök mekaniği tarihinde önemli bir rol oynamıştır .

Denklem

Kepler'in denklemi olan

$M=Ee\sin E$

burada $M$ bir ortalama sapma , $E$ bir eksantrik anomali , ve $E$ bir eksantriklik .

'Eksantrik anomali' $E$ , Kepler yörüngesinde hareket eden bir noktanın konumunu hesaplamak için kullanışlıdır. Örneğin, vücut periastronu $x = a (1 - e)$ , $y = 0$ , $t = t 0$ anında koordinatlarında geçerse, herhangi bir zamanda vücudun konumunu bulmak için önce ortalamayı hesaplarsınız. $M$ $=$ $n$ $($ $t$ $-$ $t$ $0$ $)$ formülüyle zamandan ve ortalama hareket $n'den$ $M$ anomalisi , sonra $E'yi$ elde etmek için yukarıdaki Kepler denklemini çözün , sonra koordinatları alın:

${\begin{array}{lcl}x&=&a(\cos Ee)\\y&=&b\sin E\end{dizi}}$

burada $bir$ bir yarı-büyük eksene , $b$ yarı küçük eksen .

Kepler'in denklem bir transandantal denklem çünkü sinüs bir olan aşkın işlev bunun için çözülemez anlamına $E$ cebirsel . $E'yi$ değerlendirmek için genellikle sayısal analiz ve seri açılımları gerekir .

alternatif formlar

Kepler denkleminin çeşitli biçimleri vardır. Her form belirli bir yörünge türü ile ilişkilendirilir. Eliptik yörüngeler için standart Kepler denklemi kullanılır (0 ≤ e < 1). Hiperbolik yörüngeler ( e > 1) için hiperbolik Kepler denklemi kullanılır . Radyal Kepler denklemi, doğrusal (radyal) yörüngeler için kullanılır ( e = 1). Barker denklemi parabolik yörüngeler için kullanılır ( e = 1).

Zaman , e = 0, yörünge daireseldir. Artan e , dairenin eliptik olmasına neden olur. Tüm E 1 =, üç olasılık vardır:

parabolik yörünge,
çekim merkezinden çıkan sonsuz bir ışın boyunca içeri veya dışarı giden bir yörünge,
ya da çekim merkezinden belli bir mesafedeki bir noktaya doğru bir doğru parçası boyunca ileri geri giden bir yörünge.

Hafif bir artış e hemen altında 180 derecelik bir döndürme açısı olan bir hiperbolik yörüngede 1 sonuçlarının üzerinde. Daha fazla artış dönüş açısını azaltır ve e sonsuza giderken yörünge sonsuz uzunlukta düz bir çizgi haline gelir.

Hiperbolik Kepler denklemi

Hiperbolik Kepler denklemi:

$M=e\sinh HH$

burada H hiperbolik eksantrik anomalidir. Bu denklem, M , eliptik denklemin sağ tarafının -1 çarpı karekökü olarak yeniden tanımlanarak türetilir :

M=i\sol(Ee\sin E\sağ)

(ki burada D hemen hayalidir) ve daha sonra yerine $E$ ile $iH$ .

Radyal Kepler denklemi

Radyal Kepler denklemi:

$t(x)=\sin ^{-1}({\sqrt {x}})-{\sqrt {x(1-x)}}$

burada t zamanla orantılıdır ve x ışın boyunca çekim merkezinden uzaklıkla orantılıdır. Bu denklem, Kepler denkleminin 1/2 ile çarpılması ve e'nin 1'e ayarlanmasıyla elde edilir.

t(x)={\frac {1}{2}}\sol[E-\sin(E)\sağ].

ve sonra ikame yapmak

E=2\sin ^{-1}({\sqrt {x}}).

ters problem

Verilen bir E değeri için M'yi hesaplamak basittir. Bununla birlikte, çözme için E zaman M çok daha zor olabilir verilir. Diye bir şey yok Kapalı form çözüm .

Lagrange inversiyonu kullanılarak Kepler denkleminin çözümü için sonsuz bir seri ifadesi yazılabilir , ancak seri tüm e ve M kombinasyonları için yakınsak değildir (aşağıya bakınız).

Kepler denkleminin çözülebilirliği konusundaki kafa karışıklığı literatürde dört yüzyıldır devam etmektedir. Kepler'in kendisi, genel bir çözüm bulma olasılığı konusunda şüphelerini dile getirdi:

Yay ve sinüsün farklı doğası nedeniyle bunun [Kepler denkleminin] a priori çözülemeyeceği konusunda yeterince tatmin oldum. Ama yanılıyorsam ve biri bana yolu gösterirse, o benim gözümde büyük Apollonius olacaktır .

— Johannes Kepler

Bessel'in seri açılımı

E=M+\sum _{m\geq 1}J_{m}(me)\sin(mM),\quad e\leq 1,\quad M\in [-\pi ,\pi ].

Ters Kepler denklemi

Ters Kepler denklemi, aşağıdakilerin tüm gerçek değerleri için Kepler denkleminin çözümüdür : ${\görüntüleme stili e}$

E={\begin{cases}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{\frac {n}{3}}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n) -1}}}{\bigg (}{\bigg (}{\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}{\bigg )}^{ \!\!\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e=1\\\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{n}}{ n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \ theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\Big (}{\frac {\theta }{\theta -e\sin(\theta )}}{\Big )}^{\! n}{\bigg )}{\Bigg )},&e\neq 1\end{olgular}}

Bu verimi değerlendirirken:

E={\begin{cases}\displaystyle s+{\frac {1}{60}}s^{3}+{\frac {1}{1400}}s^{5}+{\frac { 1}{25200}}s^{7}+{\frac {43}{17248000}}s^{9}+{\frac {1213}{7207200000}}s^{11}+{\frac {151439} {12713500800000}}s^{13}+\cdots {\text{ ile }}s=(6M)^{1/3},&e=1\\\\\displaystyle {\frac {1}{1-e }}M-{\frac {e}{(1-e)^{4}}}{\frac {M^{3}}{3!}}+{\frac {(9e^{2}+e) )}{(1-e)^{7}}}{\frac {M^{5}}{5!}}-{\frac {(225e^{3}+54e^{2}+e)} {(1-e)^{10}}}{\frac {M^{7}}{7!}}+{\frac {(11025e^{4}+4131e^{3}+243e^{2}) +e)}{(1-e)^{13}}}{\frac {M^{9}}{9!}}+\cdots ,&e\neq 1\end{durumlar}}

Bu seriler , InverseSeries işlemi ile Mathematica'da yeniden üretilebilir .

InverseSeries[Series[M - Sin[M], {M, 0, 10}]]

InverseSeries[Series[M - e Sin[M], {M, 0, 10}]]

Bu fonksiyonlar basit Maclaurin serileridir . Aşkın fonksiyonların bu Taylor serisi temsilleri, bu fonksiyonların tanımları olarak kabul edilir. Bu nedenle, bu çözüm ters Kepler denkleminin resmi bir tanımıdır. Bununla birlikte, D , bir değil, tam bir fonksiyon arasında M , bir sıfır olmayan en e . türev

dM/dE=1-e\cos E

e <1 olduğunda sonsuz karmaşık sayılar kümesinde sıfıra gider . Bu değerlerde ve bu değerlerde çözümler var $E=\pm i\cosh ^{-1}(1/e),$

M=Ee\sin E=\pm i\left(\cosh ^{-1}(1/e)-{\sqrt {1-e^{2}}}\sağ)

(burada ters cosh pozitif alınır) ve bu noktalarda dE / dM sonsuza gider. Bu, Maclaurin serisinin yakınsama yarıçapının olduğu ve serinin bundan daha büyük M değerleri için yakınsamayacağı anlamına gelir . Seri aynı zamanda hiperbolik durum için de kullanılabilir, bu durumda yakınsama yarıçapı $m$ $< 2π$ olduğunda e = 1 yakınsadığı zaman için seridir . $\cosh ^{-1}(1/e)-{\sqrt {1-e^{2}}}$ $\cos ^{-1}(1/e)-{\sqrt {e^{2}-1}}.$

Bu çözüm, belirli bir matematiksel anlamda en basit olsa da, çoğu uygulama için diğer çözümler tercih edilir. Alternatif olarak, Kepler denklemi sayısal olarak da çözülebilir.

e ≠ 1 için çözüm Karl Stumpff tarafından 1968'de bulundu , ancak önemi anlaşılmadı .

Bir Maclaurin serisi de e ile yazılabilir . Bu dizi yakınsama gelmez E büyükse Laplace sınırı ne olursa olsun değerinin, (0.66 hakkında) M (sürece M katları olan $2n$ ), ancak herkes için yakınsar M eğer e az Laplace sınırını aşıyor. Serideki katsayılar, birincisi (ki bu basitçe M 'dir ), $2π$ periyodu ile periyodik bir şekilde M'ye bağlıdır .

Ters radyal Kepler denklemi

Ters radyal Kepler denklemi ( e = 1) şu şekilde de yazılabilir:

x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{r\to 0^{+}}\left({\frac {t^{{\frac) {2}{3}}n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} r^{\,n-1}}} \!\left(r^{n}\left({\frac {3}{2}}{\Big (}\sin ^{-1}({\sqrt {r}}))-{\sqrt {rr ^{2}}}{\Big )}\sağ)^{\!-{\frac {2}{3}}n}\sağ)\sağ)\sağ]

Bu verimi değerlendirirken:

x(t)=p-{\frac {1}{5}}p^{2}-{\frac {3}{175}}p^{3}-{\frac {23}{7875 }}p^{4}-{\frac {1894}{3031875}}p^{5}-{\frac {3293}{21896875}}p^{6}-{\frac {2418092}{62077640625}} p^{7}-\ \cdots \ {\bigg |}{p=\left({\tfrac {3}{2}}t\sağ)^{2/3}}

Mathematica kullanarak bu sonucu elde etmek için :

InverseSeries[Series[ArcSin[Sqrt[t]] - Sqrt[(1 - t) t], {t, 0, 15}]]

Ters problemin sayısal yaklaşımı

Çoğu uygulama için, ters problem , fonksiyonun kökü bulunarak sayısal olarak hesaplanabilir :

f(E)=Ee\sin(E)-M(t)

Bu, Newton'un yöntemiyle yinelemeli olarak yapılabilir :

E_{n+1}=E_{n}-{\frac {f(E_{n})}{f'(E_{n})}}=E_{n}-{\frac {E_{ n}-e\sin(E_{n})-M(t)}{1-e\cos(E_{n})}}

Not e ve M bu hesaplamalarda radyan birimleri cinsindendir. Bu yineleme, istenen doğruluk elde edilene kadar tekrarlanır (örneğin, f ( E ) < istenen doğruluk olduğunda). Çoğu eliptik yörünge için E ₀ = M ( t ) başlangıç değeri yeterlidir. e > 0.8 olan yörüngeler için E ₀ = π başlangıç değeri kullanılmalıdır. Eğer E özdeş olan 1 , daha sonra türev f Newton yöntemin payda olup, bu Newton Raphson türev bazlı verme yöntemleri, sıfıra yakın olsun, sekant veya regülatör sayısal kararsız falsi. Bu durumda, özellikle çözüm küçük bir başlangıç aralığında sınırlandırılabildiğinden, ikiye bölme yöntemi garantili yakınsama sağlayacaktır. Modern bilgisayarlarda, 17 ila 18 yinelemede 4 veya 5 basamaklı doğruluk elde etmek mümkündür. Benzer bir yaklaşım Kepler denkleminin hiperbolik formu için kullanılabilir. Parabolik bir yörünge durumunda, Barker denklemi kullanılır.

Sabit nokta yineleme

İlgili bir yöntem şunu belirterek başlar . Sağdaki ifadenin sağdaki yerine tekrar tekrar değiştirilmesi, değerlendirmek için basit bir sabit nokta yineleme algoritması verir . Bu yöntem Kepler'in 1621 çözümüyle aynıdır. $E=M+e\sin {E}$ ${\görüntüleme stili E}$ ${\görüntüleme stili E(e,M)}$

function E(e, M, n)
    E = M
    for k = 1 to n
        E = M + e*sin E
    next k
    return E

Yineleme sayısı, , değerine bağlıdır . Hiperbolik form da benzer şekilde . ${\görüntüleme stili n}$ ${\görüntüleme stili e}$ ${\ Displaystyle H=e\sinh HM}$

Bu yöntem, yukarıdaki Newton'un yöntem çözümü ile ilgilidir.

E_{n+1}=E_{n}-{\frac {E_{n}-e\sin(E_{n})-M(t)}{1-e\cos(E_{n}) )}}=E_{n}+{\frac {(M+e\sin {E_{n}}-E_{n})(1+e\cos {E_{n}})}{1-e^ {2}(\cos {E_{n}})^{2}}}

Küçük miktarlarda ilk sipariş vermek ve , $M-E_{n}$ ${\görüntüleme stili e}$

E_{n+1}\yaklaşık M+e\sin {E_{n}}

.

Ayrıca bakınız

Referanslar

Dış bağlantılar

Danby, John M.; Burkardt, Thomas M. (1983). "Kepler denkleminin çözümü. I". Gök Mekaniği . 31 (2): 95-107. Bibcode : 1983CeMec..31...95D . doi : 10.1007/BF01686811 . S2CID 189832421 .
Conway, Bruce A. (1986). Kepler denkleminin çözümü için Laguerre'den dolayı geliştirilmiş bir algoritma . doi : 10.2514/6.1986-84 .
Mikkola, Seppo (1987). "Kepler denklemi için kübik bir yaklaşım". Gök Mekaniği . 40 (3): 329-334. Bibcode : 1987CeMec..40..329M . doi : 10.1007/BF01235850 . S2CID 122237945 .
Nijenhuis, Albert (1991). "Kepler denklemini yüksek verimlilik ve doğrulukla çözme". Gök Mekaniği ve Dinamik Astronomi . 51 (4): 319–330. Bibcode : 1991CeMDA..51..319N . doi : 10.1007/BF00052925 . S2CID 121845017 .
Markley, F. Landis (1995). "Kepler denklem çözücü". Gök Mekaniği ve Dinamik Astronomi . 63 (1): 101–111. doi : 10.1007/BF00691917 . S2CID 120405765 .
Fukuşima, Toshio (1996). "Aşkın fonksiyon değerlendirmeleri olmadan kepler denklemini çözen bir yöntem". Gök Mekaniği ve Dinamik Astronomi . 66 (3): 309-319. Bibcode : 1996CeMDA..66..309F . doi : 10.1007/BF00049384 . S2CID 120352687 .
Charles, Edgar D.; Tatum, Jeremy B. (1997). "Kepler denklemi ile Newton-Raphson yinelemesinin yakınsaklığı". Gök Mekaniği ve Dinamik Astronomi . 69 (4): 357-372. Bibcode : 1997CeMDA..69..357C . doi : 10.1023/A:1008200607490 . S2CID 118637706 .
Stumpf, Laura (1999). "Kepler denklemi ile ilişkili Newton yinelemeli fonksiyonunda kaotik davranış". Gök Mekaniği ve Dinamik Astronomi . 74 (2): 95–109. doi : 10.1023/A:1008339416143 . S2CID 122491746 .
Palacios, Manuel (2002). "Kepler denklemi ve hızlandırılmış Newton yöntemi" . Hesaplamalı ve Uygulamalı Matematik Dergisi . 138 (2): 335–346. Bibcode : 2002JCoAM.138..335P . doi : 10.1016/S0377-0427(01)00369-7 .
Boyd, John P. (2007). "İlk tahmin olmadan aşkın bir denklem için kök bulma: Sinüs Chebyshev polinom denklemi ile Kepler denkleminin polinomlaştırılması". Uygulamalı Sayısal Matematik . 57 (1): 12–18. doi : 10.1016/j.apnum.2005.11.010 .
Pal, Andras (2009). "Kepler'in problemi için analitik bir çözüm" . Kraliyet Astronomi Derneği'nin Aylık Bildirimleri . 396 (3): 1737-1742. doi : 10.1111/j.1365-2966.2009.14853.x .
Esmaelzadeh, Rıza; Gadiri, Hüseyin (2014). "Kepler denklemini çözmek için uygun başlatıcı" . Uluslararası Bilgisayar Uygulamaları Dergisi . 89 (7): 31–38. doi : 10.5120/15517-4394 .
Zechmeister, Mathias (2018). "Kepler denklemini çözmek için CORDIC benzeri yöntem" . Astronomi ve Astrofizik . 619 : A128. doi : 10.1051/0004-6361/201833162 .

Wolfram Mathworld'de Kepler Denklemi

Languages

In other projects