İnveks işlevi - Invex function

Olarak vektör hesabı , bir Invex fonksiyonu a, türevlenebilir fonksiyonu ile ilgili hiç bir vektör değerli işlev orada mevcut olduğu şekildedir ${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle f(x)-f(u)\geq \eta (x,u)\cdot \nabla f(u),\,}$

tüm x ve u için .

Invex fonksiyonları, Hanson tarafından konveks fonksiyonların bir genellemesi olarak tanıtıldı . Ben-Israel ve Mond, ancak ve ancak her durağan nokta bir global minimum ise, bir fonksiyonun invex olduğuna dair basit bir kanıt sağladı ; bu teorem ilk olarak Craven ve Glover tarafından ifade edildi.

Hanson ayrıca, bir optimizasyon probleminin amacı ve kısıtları aynı fonksiyona göre invex ise , o zaman küresel minimum için Karush-Kuhn-Tucker koşullarının yeterli olduğunu gösterdi. ${\displaystyle \eta (x,u)}$

Tip I invex fonksiyonları

Tip I invex fonksiyonları olarak adlandırılan invex fonksiyonlarının hafif bir genellemesi, global minimum için Karush-Kuhn-Tucker koşullarının gerekli ve yeterli olduğu en genel fonksiyon sınıfıdır . Formun bir matematiksel programını düşünün

${\displaystyle {\begin{array}{rl}\min &f(x)\\{\text{s.t.}}&g(x)\leq 0\end{array}}}$

nerede ve türevlenebilir fonksiyonlardır. Let Bu programın uygulanabilir bölgesini göstermektedirler. Fonksiyon bir olduğunu Tip I amaç fonksiyonu ve fonksiyon bir olduğunu Tip I kısıtlama işlevi de açısından bir vektör değerli fonksiyon mevcutsa üzerinde tanımlı şekilde ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle F=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\;|\;g(x)\leq 0\}}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle F}$

${\displaystyle f(x)-f(x_{0})\geq \eta (x)\cdot \nabla {f(x_{0})}}$

ve

${\displaystyle -g(x_{0})\geq \eta (x)\cdot \nabla {g(x_{0})}}$

hepsi için . Dikkat edin, invexity'den farklı olarak, Tip I invexity bir noktaya göre tanımlanır . ${\displaystyle x\in {F}}$${\displaystyle x_{0}}$

Teoremi (Teorem 2.1 ): Eğer ve bir noktada Tip I Invex vardır açısından ve Karush-Kuhn-Tucker Koşulları de memnun edilir , sonra küresel bir minimize edici olan aşırı . ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle x^{*}}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle x^{*}}$${\displaystyle x^{*}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F}$

Ayrıca bakınız

• dışbükey fonksiyon
• yalancı dışbükey işlev
• yarı dışbükey fonksiyon

Referanslar

daha fazla okuma

• SK Mishra ve G. Giorgi, Invexity and optimizasyon, Nonconvex Optimization and Its Applications, Vol. 88 , Springer-Verlag, Berlin, 2008.
• SK Mishra, S.-Y. Wang ve KK Lai, Genelleştirilmiş Dışbükeylik ve Vektör Optimizasyonu, Springer, New York, 2009.