Hiposikloid - Hypocycloid

Kırmızı yol, daha küçük siyah daire daha büyük siyah dairenin etrafında dönerken izlenen bir hiposikloiddir (parametreler R = 4.0, r = 1.0 ve dolayısıyla k = 4, bir astroid verir ).

İn geometrisi , bir hypocycloid özel bir düzlem eğri küçük bir sabit nokta izi tarafından oluşturulan çemberin bir daha büyük bir daire içinde rulo. Daha büyük dairenin yarıçapı arttıkça, hiposikloid, bir çemberin bir doğru üzerinde yuvarlanmasıyla oluşturulan sikloid gibi olur .

Özellikleri

Daha küçük dairenin yarıçapı r ve daha büyük dairenin yarıçapı R = kr ise , eğri için parametrik denklemler aşağıdakilerden biri ile verilebilir:

${\ displaystyle x (\ theta) = (Rr) \ cos \ theta + r \ cos \ sol ({\ frac {Rr} {r}} \ theta \ sağ)}$

${\ displaystyle y (\ theta) = (Rr) \ sin \ teta -r \ sin \ sol ({\ frac {Rr} {r}} \ teta \ sağ),}$

veya:

${\ displaystyle x (\ theta) = r (k-1) \ cos \ theta + r \ cos \ sol ((k-1) \ theta \ sağ) \,}$

${\ displaystyle y (\ theta) = r (k-1) \ sin \ theta -r \ sin \ sol ((k-1) \ theta \ sağ). \,}$

Eğer k bir tamsayı ise, o zaman eğri kapalıdır ve k cusps'a sahiptir (yani, eğrinin türevlenebilir olmadığı keskin köşeler ). Özellikle k = 2 için eğri düz bir çizgidir ve dairelere Cardano daireleri denir. Girolamo Cardano , bu hiposikloidleri ve bunların yüksek hızlı baskıya uygulamalarını tanımlayan ilk kişiydi .

Eğer k a, rasyonel sayı , ki k = p / q basit açısından, daha sonra eğri sahiptir ifade s dişçiklidir.

Eğer k bir bir akıl sayısı , daha sonra eğri kapatır, ve daha büyük bir daire ve yarıçaplı bir daire arasındaki boşluğu doldurur hiç R - 2 r .

(Herhangi bir değeri için her bir hypocycloid r ) a, brachistochrone yarıçapı homojen bir kürenin içinde yerçekimi potansiyel R .

Bir hiposikloid ile çevrili alan şu şekilde verilir:

${\ displaystyle A = {\ frac {(k-1) (k-2)} {k ^ {2}}} \ pi R ^ {2} = (k-1) (k-2) \ pi r ^ {2}}$

Yay uzunluğu , bir hypocycloid şu şekilde verilmiştir:

${\ displaystyle s = {\ frac {8 (k-1)} {k}} R = 8 (k-1) r}$

Örnekler

• Hiposikloid Örnekler
• 

  k = 3 - bir deltoid

• 

  k = 4 - bir astroid

• 

  k = 5

• 

  k = 6

• 

  k = 2,1 = 21/10

• 

  k = 3,8 = 19/5

• 

  k = 5.5 = 11/2

• 

  k = 7,2 = 36/5

Hiposikloid , belirli bir rulet türü olan özel bir hipotrokoid türüdür .

Üç tüberküllü hiposikloid, deltoid olarak bilinir .

Dört sivri uçlu hiposikloid eğri, astroid olarak bilinir .

İki tüberküllü hiposikloid, Tusi çifti olarak bilinen dejenere ancak yine de çok ilginç bir vakadır .

Grup teorisiyle ilişki

Hiposikloidler birbirlerinin içinde "yuvarlanır". Daha küçük eğrilerin her birinin uçları, bir sonraki daha büyük hiposikloid ile sürekli teması sürdürür.

İntegral değeri k olan herhangi bir hiposikloid ve dolayısıyla k tüpsü, k +1 tüberkülleri olan başka bir hiposikloid içinde rahatça hareket edebilir , öyle ki daha küçük hiposikloidin noktaları her zaman büyüğüyle temas halinde olacaktır. Bu hareket, kaymayı içerdiği için teknik olarak klasik mekanik anlamında yuvarlanmasa da 'yuvarlanma' gibi görünüyor.

Hiposikloid şekiller, belirleyici 1 ile k × k birim matrislerden oluşan SU ( k ) olarak adlandırılan özel birim gruplarla ilişkilendirilebilir. Örneğin, SU (3) 'teki bir matris için çapraz girişlerin toplamının izin verilen değerleri, tam olarak karmaşık düzlemde üç tüberkülün (bir deltoid) hiposikloidinin içinde yatan noktalar. Aynı şekilde, SU (4) matrislerinin köşegen girişlerini toplamak astroid içindeki noktaları verir ve bu böyle devam eder.

Bu sonuç sayesinde, SU ( k ) 'nin SU ( k + 1 )' in bir alt grup olarak sığması gerçeği, k tüpslü bir episikloidin k +1 tüberkülleri ile birinin içinde rahatça hareket ettiğini kanıtlamak için kullanılabilir .

Türetilmiş eğriler

Evolüt sırasında hypocycloid bölgesinin hypocycloid kendisinin büyütülmüş versiyonu involüt bir hypocycloid arasında tek başına azalmış bir kopyasıdır.

Pedal hypocycloid merkezinde kutup ile hypocycloid bir olan gül eğrisi .

Bir hiposikloidin izoptiği, bir hiposikloiddir.

Popüler kültürde hiposikloidler

Hiposikloidlere benzer eğriler Spirograph oyuncağıyla çizilebilir . Spesifik olarak, Spirograph, hipotrokoidler ve epitrokoidler çizebilir .

Pittsburgh Steelers dayanmaktadır 'logosu Steelmark , üç içerir astroid (dört hypocycloids cusps ). Gregg Easterbrook , haftalık NFL.com köşesinde "Tuesday Morning Oyun Kurucu" nda, Steelers'tan Hiposikloidler olarak söz ediyor. Şili futbol takımı CD Huachipato , armalarını Steelers'ın logosuna dayandırdı ve bu nedenle hiposikloidler var.

İlk Drew Carey sezon Fiyat Is Right ' ın setinde üç ana kapı, dev fiyat etiketi ve pikap alan üzerinde astroid bulunmaktadır. Gösteri 2008'den itibaren yüksek çözünürlüklü yayınlara geçtiğinde kapılardaki ve döner tabladaki astroidler kaldırıldı ve günümüzde yalnızca dev fiyat etiketi pervanesi onları içeriyor.

Ayrıca bakınız

• Rulet (eğri)
• Özel durumlar: Tusi çifti , Astroid , Deltoid
• Periyodik fonksiyonların listesi
• Siklogon
• Episikloid
• Hipotrokoid
• Epitrokoid
• Spirograf
• Hiposikloid içeren Portland, Oregon Bayrağı
• Murray's Hypocycloidal Engine , bir krank yerine bir tusi çifti kullanıyor

Referanslar

• J. Dennis Lawrence (1972). Özel düzlem eğrilerinin bir kataloğu . Dover Yayınları. s.  168, 171–173 . ISBN   0-486-60288-5 .

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric W. "Hiposikloid" . MathWorld .
• "Hiposikloid" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
• O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Hypocycloid" , MacTutor History of Mathematics arşivi , University of St Andrews .
• Hiposikoid eğriler oluşturmak için ücretsiz bir Javascript aracı
• Episikloidler, Perisikloidler ve Hiposikloidlerin Animasyonu
• Hipsikloid - GeoFun Konusu
• Snyder, John. "Brachistochrone Tüneli Küre" . Wolfram Gösteriler Projesi . Hiposikloidin brachistochrone özelliğini gösteren yinelemeli gösteri