Hilbert'in ikinci sorunu - Hilbert's second problem
In matematik , Hilbert'in ikinci sorun yarattığı edildi David Hilbert yaptığı biri olarak 1900 yılında 23 sorunlardan . Aritmetiğin tutarlı olduğuna - herhangi bir iç çelişkiden arınmış olduğuna dair bir kanıt ister . Hilbert, aritmetik için düşündüğü aksiyomların , ikinci dereceden bir tamlık aksiyomu içeren Hilbert (1900) 'de verilenler olduğunu belirtti.
1930'larda Kurt Gödel ve Gerhard Gentzen , soruna yeni bir ışık tutan sonuçları kanıtladılar. Bazıları Gödel'in teoremlerinin soruna olumsuz bir çözüm sunduğunu düşünürken, diğerleri Gentzen'in ispatını kısmi olumlu bir çözüm olarak görüyor.
Hilbert sorunu ve yorumu
Bir İngilizce çeviride Hilbert soruyor:
"Bir bilimin temellerini araştırmakla meşgul olduğumuzda, o bilimin temel fikirleri arasında var olan ilişkilerin tam ve eksiksiz bir tanımını içeren bir aksiyomlar sistemi oluşturmalıyız ... Ama her şeyden önce belirtmek istiyorum. Aksiyomlarla ilgili olarak sorulabilecek sayısız soru arasında en önemlileri şu şekildedir: Çelişkili olmadıklarını, yani bunlara dayanan belirli sayıda mantıksal adımın asla çelişkili sonuçlara yol açamayacağını kanıtlamak. Aksiyomların uyumluluğunun kanıtı, bu alanın sayıları arasındaki benzer ilişkiler geometrik aksiyomlara karşılık gelecek şekilde uygun bir sayı alanı oluşturarak gerçekleştirilebilir. ... Öte yandan, bunun için doğrudan bir yönteme ihtiyaç vardır. aritmetik aksiyomların uyumluluğunun kanıtı. "
Hilbert'in ifadesi bazen yanlış anlaşılır, çünkü "aritmetik aksiyomlar" ile Peano aritmetiğine eşdeğer bir sistemi değil, ikinci derece tamlık aksiyomuna sahip daha güçlü bir sistemi kastetti. Hilbert'in eksiksizlik kanıtını istediği sistem, birinci dereceden Peano aritmetiğinden çok ikinci dereceden aritmetiğe benzer .
Günümüzde ortak bir yorum olarak, Hilbert'in ikinci sorusuna olumlu bir çözüm, özellikle Peano aritmetiğinin tutarlı olduğuna dair bir kanıt sağlayacaktır .
Peano aritmetiğinin tutarlı olduğuna dair, Zermelo-Fraenkel küme teorisi gibi güçlü sistemlerde gerçekleştirilebilecek birçok bilinen kanıt vardır . Bununla birlikte, bunlar Hilbert'in ikinci sorusuna bir çözüm sağlamaz, çünkü Peano aritmetiğinin tutarlılığından şüphe eden birinin, tutarlılığını kanıtlamak için küme teorisinin (çok daha güçlü olan) aksiyomlarını kabul etme olasılığı düşüktür. Bu nedenle, Hilbert'in problemine tatmin edici bir cevap, PA'nın tutarlı olduğuna zaten inanmayan biri için kabul edilebilir olan ilkeler kullanılarak yapılmalıdır. Bu tür ilkeler genellikle sonlu olarak adlandırılır çünkü tamamen yapıcıdırlar ve doğal sayıların tamamlanmış bir sonsuzluğunu önceden varsaymazlar. Gödel'in ikinci eksiklik teoremi (bkz. Gödel'in eksiklik teoremleri ), Peano aritmetiğinin tutarlılığını kanıtlarken, sonlu bir sistemin ne kadar zayıf olabileceğine ciddi bir sınır koyar.
Gödel'in eksiklik teoremi
Gödel'in ikinci eksiklik teoremi , Peano Aritmetiğinin tutarlı olduğuna dair herhangi bir kanıtın Peano aritmetiğinin kendi içinde gerçekleştirilmesinin mümkün olmadığını göstermektedir. Bu teorem, eğer kabul edilebilir ispat prosedürleri aritmetik içinde resmileştirilebilenler ise, Hilbert'in tutarlılık ispatı çağrısı cevaplanamayacağını gösterir. Bununla birlikte, Nagel ve Newman'ın (1958: 96-99) açıkladığı gibi, aritmetikte resmileştirilemeyen bir ispat için hala yer vardır:
- Gödel'in analizinin bu etkileyici sonucu yanlış anlaşılmamalıdır: aritmetiğin tutarlılığının meta-matematiksel bir kanıtını dışlamaz. Hariç tuttuğu şey, aritmetiğin biçimsel çıkarımlarıyla yansıtılabilen bir tutarlılık kanıtıdır. Meta-matematiksel kanıtlar aritmetiğin tutarlılığı, özellikle 1936'da Hilbert okulunun bir üyesi olan Gerhard Gentzen tarafından ve o zamandan beri başkaları tarafından inşa edildi ... Ancak bu meta-matematiksel ispatlar aritmetik hesapta temsil edilemez. ve, sonlu olmadıkları için, Hilbert'in orijinal programının ilan edilen hedeflerine ulaşamıyorlar. ... Aritmetik için sonlu mutlak bir tutarlılık kanıtı oluşturma olasılığı Gödel'in sonuçları tarafından dışlanmıyor. Gödel, böyle bir kanıtın olmadığını gösterdi. aritmetik içinde temsil edilebilecek olasıdır. Onun argümanı, aritmetik içinde temsil edilemeyen kesin sonlu kanıtların olasılığını ortadan kaldırmaz. Bugün, aritmetik içinde formüle edilemeyen sonlu bir ispatın nasıl olacağına dair net bir fikre sahip gibi görünüyor. "
Gentzen'in tutarlılık kanıtı
1936'da Gentzen, Peano Aritmetiğin tutarlı olduğuna dair bir kanıt yayınladı. Gentzen'in sonucu, küme teorisinden çok daha zayıf bir sistemde tutarlılık ispatının elde edilebileceğini göstermektedir.
Gentzen'in ispatı, Peano aritmetiğindeki her ispata , ispatın yapısına bağlı olarak, bu sıra sayılarının her biri ε 0'dan küçük olan bir sıra numarası atayarak ilerler . Daha sonra , bu sıra sayıları üzerinde sonsuz tümevarımla hiçbir kanıtın çelişki ile sonuçlanamayacağını kanıtlar. Bu ispatta kullanılan yöntem , Peano aritmetiği için birinci dereceden mantıktan daha güçlü bir mantıkta bir kesim eliminasyon sonucunu kanıtlamak için de kullanılabilir , ancak tutarlılık ispatının kendisi, ilkel özyinelemenin aksiyomları kullanılarak sıradan birinci dereceden mantıkta gerçekleştirilebilir. aritmetik ve sonsuz tümevarım ilkesi. Tait (2005), Gentzen'in yönteminin oyun teorik bir yorumunu verir.
Gentzen'in tutarlılık kanıtı , kanıt teorisinde sıralı analiz programını başlattı . Bu programda, aritmetik veya küme teorisinin formal teorilerine, teorilerin tutarlılık gücünü ölçen sıra numaraları atanır . Bir teori, başka bir teorinin tutarlılığını daha yüksek bir ispat teorik ordinaliyle kanıtlayamayacaktır.
Sorunun durumuna ilişkin modern bakış açıları
Gödel ve Gentzen'in teoremleri artık matematiksel mantık topluluğu tarafından iyi anlaşılırken, bu teoremlerin Hilbert'in ikinci problemine cevap verip vermediği (veya ne şekilde) konusunda hiçbir fikir birliği oluşmadı. Simpson (1988: bölüm 3) Gödel'in eksiklik teoreminin, güçlü teorilerin sonlu tutarlılık kanıtlarını üretmenin mümkün olmadığını gösterdiğini öne sürer. Kreisel (1976), Gödel'in sonuçları sonlu sözdizimsel tutarlılık ispatının elde edilemeyeceğini ima etse de, anlamsal (özellikle ikinci dereceden ) argümanların ikna edici tutarlılık kanıtları vermek için kullanılabileceğini belirtir . Detlefsen (1990: s. 65) Gödel'in teoreminin tutarlılık ispatını engellemediğini, çünkü hipotezlerinin tutarlılık ispatının gerçekleştirilebileceği tüm sistemler için geçerli olmayabileceğini savunur. Dawson (2006: bölüm 2), Gödel'in teoreminin, Gentzen tarafından ve daha sonra Gödel tarafından 1958'de verilen tutarlılık ispatına atıfta bulunarak ikna edici bir tutarlılık ispatı olasılığını ortadan kaldırdığı inancını "hatalı" olarak adlandırır.
Ayrıca bakınız
Notlar
Referanslar
- Dawson, John W. (2006) "Sarsılmış temeller veya çığır açan yeniden düzenleme? Kurt Gödel'in Mantık, Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Üzerindeki Etkisinin Yüzüncü Yıl Değerlendirmesi". 2006 Bilgisayar Bilimlerinde Mantık üzerine 21. Yıllık IEEE Sempozyumu , IEEE, s. 339-341. ISBN 0-7695-2631-4 doi : 10.1109 / LICS.2006.47
- Michael Detlefsen (1990). "Hilbert Programının Gödel'in İlk Eksiklik Teoremini kullanarak çürütüldüğü iddiası üzerine". Journal of Philosophical Logic . Springer. 19 (4): 343–377. doi : 10.1007 / BF00263316 .
- Torkel Franzen (2005), Gödel teoremi: Kullanım ve Kötüye Kullanımına Eksik Bir Kılavuz , AK Peters, Wellesley MA. ISBN 1-56881-238-8
- Gerhard Gentzen (1936). "Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie." Mathematische Annalen , cilt 112, s. 493–565.
- Gödel, Kurt (1931). "Über resmi unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I" . Monatshefte für Mathematik ve Physik . 38 : 173–98. 2006-07-05 tarihinde orjinalinden arşivlendi . Tercüme Jean van Heijenoort , 1967 Matematiksel Mantık Üzerine Bir Kaynak Kitabı: Gödel için Frege itibaren . Harvard University Press: 596-616.
- Hilbert, David (1900), "Über den Zahlbegriff" , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 8 : 180–184
- David Hilbert [1900] (1901) "Mathematische Probleme". Archiv der Mathematik ve Physik , cilt 3 n. 1, sayfa 44–63 ve 213–237. İngilizce çevirisi, Maby Winton, Amerikan Matematik Derneği Bülteni 8 (1902), 437–479. Http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html adresinde çevrimiçi olarak mevcuttur .
- George Kreisel (1976). "Hilbert'in ikinci probleminden ne öğrendik?" Hilbert problemlerinden kaynaklanan matematiksel gelişmeler (Proc. Sympos. Pure Math., Northern Illinois Univ., De Kalb, Ill.,) . Providence, RI: Amer. Matematik. Soc. s. 93–130. ISBN 0-8218-1428-1 .
- Nagel, Ernest ve Newman, James R., Gödel'in Kanıtı , New York University Press, 1958.
- Stephen G. Simpson (1988). "Hilbert Programının Kısmi Gerçekleşmeleri". Journal of Symbolic Logic . 53 (2): 349–363. CiteSeerX 10.1.1.79.5808 . doi : 10.2307 / 2274508 . ISSN 0022-4812 . JSTOR 2274508 . Http://www.math.psu.edu/simpson/papers/hilbert.pdf adresinde çevrimiçi olarak mevcuttur .
- William W. Tait (2005). "Gödel'in Gentzen'in aritmetiğin ilk tutarlılık kanıtını yeniden formüle etmesi: karşı örnek olmayan yorum." Bulletin of Symbolic Logic v. 11 n. 2, sayfa 225–238.
Dış bağlantılar