Helmholtz karşılıklılık - Helmholtz reciprocity

Helmholtz karşılıklılık prensibi anlatılmaktadır ışını ışık ve ters ışın karşılaşma gibi pasif bir ortam içinde yansımaları, kırılma, absorpsiyonlarda gibi optik maceralar, eşleşen ya da bir arayüzde. Hareketli, doğrusal olmayan veya manyetik ortamlar için geçerli değildir.

Örneğin, gelen ve giden ışık, çift ​​yönlü yansıma dağılım fonksiyonu (BRDF) sonucunu etkilemeksizin birbirinin tersi olarak düşünülebilir . Işık bir sensörle ölçüldüyse ve Helmholtz karşılıklılık ilkesine uyan bir BRDF'ye sahip bir malzemeye yansıyan bu ışık, sensör ile ışık kaynağını değiştirebilir ve akı ölçümü eşit kalır.

Global aydınlatmanın bilgisayar grafiği şemasında , Helmholtz karşılıklılık ilkesi, global aydınlatma algoritması ışık yollarını tersine çeviriyorsa (örneğin, Raytracing'e karşı klasik ışık yolu izleme) önemlidir.

Fizik

Stokes-Helmholtz reversiyon-karşılıklılık ilkesi kısmen ifade edilmiştir Stokes sayfa 169 polarizasyona (1849) da ve referansla Helmholtz sitesindeki Handbuch der physiologischen Optik tarafından belirtildiği gibi 1856 Kirchhoff tarafından Planck .

Kirchhoff'un 1860'ta aktardığı gibi, ilke şu şekilde çevrilmiştir:

1. noktadan ilerleyen bir ışık ışını, herhangi bir sayıda kırılma, yansıma ve c'ye maruz kaldıktan sonra 2. noktaya ulaşır. 1. noktada , ışın yönünde herhangi iki dikey düzlemin a ₁ , b ₁ alınmasına izin verin ; ve ışının titreşimleri bu düzlemlerin her birinde birer tane olmak üzere ikiye bölünsün. _2. noktadaki ışın içinde benzer a ₂ , b ₂ düzlemlerini alın ; daha sonra aşağıdaki önerme gösterilebilir. Işık miktarı zaman ise i düzlem polarize bir ₁ parçası verilen ışın yönünde 1 ile ilerler, k bunların polarize ışık bir ₂ 2 ulaşır, daha sonra, tam tersine, ışık miktarı ise i polarize bir ₂ 2'den ilerler, ışık aynı miktarda k polarize bir ₁ 1 varacağı [Helmholtz 1867 metinle hemfikir burada Vikipedi editör tarafından düzeltilmiş Kirchhoff yayınlanan metinde].

Basitçe ifade etmek gerekirse, ilke, gözlemlenen dalga fonksiyonunun değeri değiştirilmeden kaynak ve gözlem noktasının değiştirilebileceğini belirtir. Başka bir deyişle, ilke matematiksel olarak "Seni görebilirsem, beni görebilirsin" ifadesini kanıtlıyor. Termodinamiğin ilkeleri gibi, bu ilke, deneylerin önerilen bir yasanın testleri olduğu olağan durumun aksine, deneylerin doğru performansının kontrol edilmesi için yeterince güvenilirdir.

Kirchhoff'un ışıma yayma ve soğurma eşitliği yasasının geçerliliğine dair hakim kanıtında Planck, Stokes-Helmholtz karşılıklılık ilkesini tekrarlanan ve esaslı bir şekilde kullanır. Rayleigh , doğrusal bir ortamda sinüzoidal titreşimlerden oluşan ışık olan küçük titreşimlerin yayılmasının doğrusallığının bir sonucu olarak temel karşılıklılık fikrini belirtti.

Işının yolunda manyetik alanlar olduğunda, ilke geçerli değildir. Optik ortamın doğrusallıktan ayrılması, Helmholtz karşılıklılığından ayrılmasına ve ayrıca ışın yolunda hareket eden nesnelerin varlığına da neden olur.

Helmholtz karşılıklılık aslında ışığa atıfta bulundu. Bu, uzak alan radyasyonu olarak adlandırılabilecek belirli bir elektromanyetizma biçimidir. Bunun için elektrik ve manyetik alanların ayrı açıklamalara ihtiyacı yoktur, çünkü birbirlerini eşit olarak besleyerek yayılırlar. Dolayısıyla Helmholtz prensibi, genel olarak elektromanyetik karşılıklılığın daha basit tanımlanmış özel bir durumudur ve etkileşim halindeki elektrik ve manyetik alanların farklı açıklamaları ile tanımlanır. Helmholtz prensibi esas olarak ışık alanının doğrusallığına ve üst üste binebilirliğine dayanır ve ses gibi elektromanyetik olmayan doğrusal yayılma alanlarında yakın analoglara sahiptir. Işığın elektromanyetik doğası bilinmeden önce keşfedildi.

Helmholtz karşılıklılık teoremi, genellikle kuantum mekaniksel zaman-ters simetrisinden yararlanılarak, çeşitli şekillerde titizlikle kanıtlanmıştır . Bu matematiksel olarak daha karmaşık ispatlar teoremin basitliğinden uzaklaşabileceğinden, Pogany ve Turner bir Born serisini kullanarak bunu yalnızca birkaç adımda kanıtladılar . Bir A noktasında bir ışık kaynağı ve bir O gözlem noktasında, aralarında çeşitli saçılma noktaları olduğu varsayıldığında , Schrödinger denklemi , uzayda ortaya çıkan dalga fonksiyonunu temsil etmek için kullanılabilir: ${\ displaystyle r_ {1}, r_ {2}, ... r}$

${\ displaystyle (\ bigtriangledown ^ {2} +4 \ pi K ^ {2}) \ Psi (\ mathbf {r, r_ {A}}) = - 4 \ pi K ^ {2} V (\ mathbf {r }) \ Psi (\ mathbf {r, r_ {A}}) + \ delta (\ mathbf {r-r_ {A}})}$

Green fonksiyonunu uygulayarak , yukarıdaki denklem dalga fonksiyonu için integral (ve dolayısıyla yinelemeli) bir formda çözülebilir:

${\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r, r_ {A}}) = G (\ mathbf {r, r_ {A}}) -4 \ pi ^ {2} \ int G (\ mathbf {r, r ' } V (\ mathbf {r '} \ Psi (\ mathbf {r', r_ {A}}) d \ mathbf {r '}}$

nerede

${\ displaystyle G (\ mathbf {r, r '}) = - {\ frac {exp (2 \ pi iK | \ mathbf {r-r'} |)} {| \ mathbf {r-r '} |} }}$ .

Daha sonra, saçılma teorisinde Born yaklaşımı kullanılarak O noktasındaki saçılma ortamı içindeki çözümün bir Born serisi ile yaklaşık olarak tahmin edilebileceğini varsaymak geçerlidir . Bunu yaparken, aşağıdaki integral çözümü oluşturmak için dizi olağan şekilde yinelenebilir:

${\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r_ {O}, r_ {A}}) = G (\ mathbf {r_ {O}, r_ {A}}) -4 \ pi ^ {2} \ int G (\ mathbf {r_ {O}, r_ {1}}) V (\ mathbf {r_ {1}}) G (\ mathbf {r_ {1}, r_ {A}}) d \ mathbf {r_ {1}}}$

${\ displaystyle + (- 4 \ pi ^ {2}) ^ {2} \ int d \ mathbf {r_ {1}} \ int G (\ mathbf {r_ {O}, r_ {1}}) G (\ mathbf {r_ {1}, r_ {2}}) V (\ mathbf {r_ {1}}) V (\ mathbf {r_ {2}}) G (\ mathbf {r_ {2}, r_ {A}} ) d \ mathbf {r_ {2}}}$

${\ displaystyle + (- 4 \ pi ^ {2}) ^ {3} \ int d \ mathbf {r_ {1}} \ int d \ mathbf {r_ {2}} \ int G (\ mathbf {r_ {O }, r_ {1}}) G (\ mathbf {r_ {1}, r_ {2}}) G (\ mathbf {r_ {2}, r_ {3}}) V (\ mathbf {r_ {1}} ) V (\ mathbf {r_ {2}}) V (\ mathbf {r_ {3}}) G (\ mathbf {r_ {3}, r_ {A}}) d \ mathbf {r_ {3}}}$

${\ displaystyle + ...}$

Green işlevinin biçimine bir kez daha dikkat ederek, geçişin ve yukarıdaki biçimin sonucu değiştirmeyeceği açıktır ; diğer bir deyişle , karşılıklılık teoreminin matematiksel ifadesidir: ışık kaynağı A ve gözlem noktası O'nun değiştirilmesi, gözlemlenen dalga fonksiyonunu değiştirmez. ${\ displaystyle \ mathbf {r_ {A}}}$${\ displaystyle \ mathbf {r_ {O}}}$${\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r_ {A}, r_ {O}}) = \ Psi (\ mathbf {r_ {O}, r_ {A}})}$

Başvurular

Bu karşılıklılık ilkesinin basit ama önemli bir anlamı, bir mercekten bir yönde (nesneden görüntü düzlemine) yönlendirilen herhangi bir ışığın optik olarak eşleniğine eşit olmasıdır, yani ışık aynı kurulumdan ancak ters yönde yönlendirilir. Herhangi bir optik bileşen dizisi aracılığıyla odaklanan bir elektron, hangi yönden geldiği ile "ilgilenmez"; Aynı optik olaylar başına geldiği sürece, ortaya çıkan dalga işlevi aynı olacaktır. Bu nedenle, bu ilkenin transmisyon elektron mikroskobu (TEM) alanında önemli uygulamaları vardır . Eşlenik optik işlemlerin eşdeğer sonuçlar ürettiği fikri, mikroskop kullanıcısının elektron kırınımı , Kikuchi desenleri , karanlık alan görüntüleri ve diğerlerini içeren teknikleri daha derin bir anlayışa kavuşturmasına ve önemli ölçüde esnekliğe sahip olmasına izin verir .

Unutulmaması gereken önemli bir uyarı, elektronların numunenin saçılma ortamı ile etkileşime girdikten sonra enerji kaybettiği bir durumda, zaman-tersine simetri olmamasıdır. Bu nedenle karşılıklılık, yalnızca elastik saçılma durumlarında gerçekten geçerlidir . Küçük enerji kaybına sahip esnek olmayan saçılma durumunda, karşılıklılığın yoğunluğu yaklaşık olarak belirlemek için (dalga genliği yerine) kullanılabileceği gösterilebilir. Dolayısıyla esnek olmayan saçılmanın hakim olduğu çok kalın numunelerde veya numunelerde, daha önce bahsedilen TEM uygulamaları için karşılıklılık kullanmanın faydaları artık geçerli değildir. Dahası, karşılıklılığın doğru koşullar altında bir TEM'de geçerli olduğu deneysel olarak kanıtlanmıştır, ancak ilkenin altında yatan fizik, karşılıklılığın yalnızca ışın iletiminin yalnızca skaler alanlar, yani manyetik alanlar olmadan gerçekleşmesi durumunda gerçekten kesin olabileceğini belirtir. Bu nedenle, TEM'deki elektromanyetik lenslerin manyetik alanlarından kaynaklanan karşılıklılık bozulmalarının tipik çalışma koşulları altında göz ardı edilebileceği sonucuna varabiliriz. Bununla birlikte, kullanıcılar dikkatli bir şekilde düşünmeden manyetik görüntüleme tekniklerine, ferromanyetik malzemelerin TEM'ine veya yabancı TEM durumlarına karşılıklılık uygulamamaya dikkat etmelidir. Genel olarak TEM için kutup parçaları, simetriyi sağlamak için üretilen manyetik alanların sonlu eleman analizi kullanılarak tasarlanır.  

Manyetik objektif lens sistemleri TEM'de, numunenin düzleminde manyetik alansız bir ortamı korurken atomik ölçekli çözünürlük elde etmek için kullanılmıştır, ancak bunu yapma yöntemi hala numunenin üstünde (ve altında) büyük bir manyetik alan gerektirir, bu nedenle Beklenebilecek herhangi bir karşılıklılık geliştirme etkisini yok saymak. Bu sistem, numuneyi sıradan bir TEM'de olduğu gibi ön ve arka objektif lens kutup parçalarının arasına yerleştirerek çalışır, ancak iki kutup parçası, aralarındaki numune düzlemine göre tam ayna simetrisinde tutulur. Bu arada, uyarma kutupları tam olarak zıttır ve numune düzleminde neredeyse mükemmel şekilde birbirini götüren manyetik alanlar oluşturur. Bununla birlikte, başka yerde birbirini götürmediklerinden, elektron yörüngesinin yine de manyetik alanlardan geçmesi gerekir.

Karşılıklılık, TEM ile taramalı transmisyon elektron mikroskobu (STEM) arasındaki temel farkı anlamak için de kullanılabilir ; bu, prensip olarak elektron kaynağının ve gözlem noktasının konumunu değiştirerek karakterize edilir. Bu, bir TEM'de zamanı tersine çevirmekle aynıdır, böylece elektronlar ters yönde hareket eder. Bu nedenle, uygun koşullar altında (karşılıklılığın geçerli olduğu), TEM görüntüleme bilgisi, STEM ile görüntülerin alınması ve yorumlanmasında yararlı olabilir.

Referanslar

Ayrıca bakınız

• Karşılıklılık (elektromanyetizma)