Harmonik koordinatlar - Harmonic coordinates

Gelen Riemannsal geometrisi , bir dalı matematik , harmonik koordinatları belli bir tür grafik koordinat bir ilgili düz manifoldu bir tarafından belirlenen, Rieman metrik manifoldu ile. Düzenlilik özelliklerinden dolayı birçok geometrik analiz probleminde faydalıdırlar .

İki boyutta, izotermal koordinatlar olarak bilinen belirli harmonik koordinatlar 1800'lerin başından beri incelenmiştir. Daha yüksek boyutlarda harmonik koordinatlar bağlamında ilk olarak geliştirilmiştir Lorentz geometri ve genel görelilik ile Einstein ve Cornelius Lanczos (bakınız durum koordine harmonik ). Dennis DeTurck ve Jerry Kazdan'ın 1981'deki çalışmalarını takiben, Idzhad Sabitov ve SZ Šefel aynı keşfi beş yıl önce yapmış olsa da geometrik analiz literatüründe önemli bir rol oynamaya başladılar .

Tanım

Let ( M , g ) boyutu bir Rieman manifoldu n . Biri , M'nin açık bir U alt kümesinde tanımlanan bir koordinat grafiğinin ( x ¹ , ..., x ⁿ ) , her bir x ⁱ koordinat fonksiyonu U üzerinde bir harmonik fonksiyonsa harmonik olduğunu söyler . Yani, biri bunu gerektirir

${\ displaystyle \ Delta ^ {g} x ^ {i} = 0. \,}$

burada Δ ^g olan Laplace-Beltrami operatör . Önemsiz bir şekilde, koordinat sistemi, ancak ve ancak, bir harita olarak U → ℝ ⁿ , koordinatlar bir harmonik harita ise, harmoniktir . Laplace-Beltrami operatörünün yerel tanımıyla doğrudan bir hesaplama, ( x ¹ , ..., x ⁿ ) ' nin harmonik bir koordinat şeması olduğunu gösterir, ancak ve ancak

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} g ^ {ij} \ Gama _ {ij} ^ {k} = 0 {\ text {tümü için }} k = 1, \ ldots, n,}$

içinde Γ ^k
_ij verilen tablonun Christoffel sembolleridir . Sabit bir "arka plan" koordinat çizelgesine ( V , y ) göre ( x ¹ , ..., x ⁿ ) , Öklid uzayının açık bir alt kümesinde x ∘ y ⁻¹ fonksiyonlarının bir koleksiyonu olarak görüntülenebilir. Metrik tensör göre x metrik tensör göreceli elde edilen y ilk türevleri ile yapılacak olan yerel bir hesaplama ile x ∘ y ^-1 ve göreli dolayısıyla Christoffel sembolleri x ikinci türevlerinden hesaplanır x ∘ y ⁻¹ . Dolayısıyla, yukarıda verildiği gibi harmonik koordinatların her iki tanımı , koordinat fonksiyonları için ikinci dereceden kısmi diferansiyel denklemlerle ilgili niteliksel karaktere sahiptir .

Christoffel sembollerinin tanımını kullanarak, yukarıdaki formül şuna eşdeğerdir:

${\ displaystyle 2 \ toplamı _ {i = 1} ^ {n} \ toplamı _ {j = 1} ^ {n} g ^ {ij} {\ frac {\ kısmi g_ {jk}} {\ kısmi x ^ { i}}} = \ toplam _ {i = 1} ^ {n} \ toplam _ {j = 1} ^ {n} g ^ {ij} {\ frac {\ kısmi g_ {ij}} {\ kısmi x ^ {k}}}.}$

Varlık ve temel teori

Harmonik koordinatlar her zaman mevcuttur (yerel olarak), eliptik kısmi diferansiyel denklemlerin çözümlerinin varlığı ve düzenliliğine ilişkin standart sonuçlardan kolayca çıkan bir sonuçtur . Özellikle, ∆ ^g u ^j = 0 denklemi, herhangi bir p noktası etrafında bazı açık kümelerde bir çözüme sahiptir , öyle ki u ( p ) ve du _p'nin her ikisi de reçete edilir.

Harmonik koordinatlarda metriğe ilişkin temel düzenlilik teoremi, metriğin bileşenleri Hölder uzayında ise C ^{k , α} bir koordinat çizelgesinde ifade edildiğinde, grafiğin kendisinin düzgünlüğünden bağımsız olarak, o koordinattan geçiş fonksiyonudur . herhangi bir harmonik koordinat grafiği için grafik Hölder uzayında C ^{k + 1, α olacaktır} . Özellikle bu, metriğin harmonik koordinat çizelgelerine göre C ^{k , a} cinsinden olacağı anlamına gelir .

İlk olarak 1922'de Cornelius Lanczos tarafından keşfedildiği gibi, harmonik bir koordinat grafiğine göre Ricci eğriliği şu şekilde verilir:

${\ displaystyle R_ {ij} = - {\ frac {1} {2}} \ toplamı _ {a, b = 1} ^ {n} g ^ {ab} {\ frac {\ kısmi ^ {2} g_ { ij}} {\ kısmi x ^ {a} \ kısmi x ^ {b}}} + \ kısmi g \ ast \ kısmi g \ ast g ^ {- 1} \ ast g ^ {- 1}.}$

Bu formülün temel yönü, herhangi bir sabit i ve j için, sağ taraftaki ilk terimin , yerel olarak tanımlanan g _ij fonksiyonuna uygulanan bir eliptik operatör olmasıdır . Otomatiktir bu yüzden eliptik düzenli ve özellikle Schauder tahminleri , eğer g olan Cı- ² ve Ric (g) olan Cı- ^{k , α} harmonik göre grafikler koordinat ardından g olan Cı- ^{k + 2, α} göre aynı tablo. Daha genel olarak, eğer g olan Cı- ^{k , α} ile ( k ve bir daha büyük) Ric (g) olan Cı- ^{l , α} bir koordinat çizelgelerine göre, daha sonra bir harmonik için geçiş fonksiyonu grafiği olur koordinat Cı ^{k + 1, α} ve bu nedenle Ric (g) olacaktır Cı ^{dak ( l , k ), α} koordinat harmonik Çizelgesi. Bu nedenle, önceki sonucuna göre, g olacak Cı ^{dak ( l , k ) + 2, α} koordinat harmonik Çizelgesi.

Lanczos' formülüne sahip bir başka uygulaması olarak, bir izler Einstein'ın mt olan analitik harmonik koordinatlarda. Özellikle, bu, pürüzsüz bir manifold üzerindeki herhangi bir Einstein metriğinin , harmonik koordinat çizelgelerinin toplanmasıyla verilen, manifold üzerindeki analitik bir yapıyı otomatik olarak belirlediğini gösterir .

Yukarıdaki analiz nedeniyle, harmonik koordinatları tartışırken, en az iki kez sürekli türevlenebilir olan Riemann ölçütlerini dikkate almak standarttır. Bununla birlikte, daha egzotik fonksiyon uzaylarının kullanılmasıyla , harmonik koordinatların varlığı ve düzenliliği ile ilgili yukarıdaki sonuçlar, metriğin çok zayıf düzenliliğe sahip olduğu ortamlara genişletilebilir.

Asimptotik olarak düz uzaylarda harmonik koordinatlar

Harmonik koordinatlar, Robert Bartnik tarafından asimptotik olarak düz Riemann manifoldlarının geometrik özelliklerini anlamak için kullanıldı . Bu bir tam Riemannsal manifoldu olduğunu varsayalım ( M , g ) ve kompakt bir alt grubu olduğunu K arasında M bir Diffeomorfizm birlikte cp den M ∖ K için ℝ ⁿ ∖ B _R (0) , bu şekilde Φ ^* g , bağıl standart Öklidci metrik için ö üzerinde ℝ ⁿ ∖ B _R (0) , eşit pozitif sayı olarak yukarıda ve aşağıda sınırlanan öz sahiptir ve bu şekilde (Φ ^* g ) ( x ) yakınsak bazı kesin anlamda, için ö olarak x sonsuza uzaklaşır. Böyle bir diffeomorfizm, sonsuzda bir yapı olarak veya ( M , g ) için asimptotik olarak düz koordinatlar olarak bilinir .

Bartnik'in birincil sonucu, asimptotik olarak düz koordinatların (boş değilse) toplanmasının basit bir asimptotik yapıya sahip olmasıdır, çünkü herhangi iki asimptotik olarak düz koordinat arasındaki geçiş işlevi, sonsuza yakın bir afin dönüşüm ile yaklaşık olarak tahmin edilir . Bu, asimptotik olarak düz bir Riemann manifoldunun ADM enerjisinin , asimptotik olarak düz koordinatların seçimine bağlı olmayan geometrik bir değişmez olduğunu belirlemede önemlidir .

Bu gerçeği belirlemede anahtar araç , harmonik olan asimptotik olarak düz koordinatlarla ( M , g ) için rasgele asimptotik olarak düz koordinatların yaklaştırılmasıdır . Kilit teknik çalışma, M üzerinde sonsuzda bozunan belirli Banach fonksiyon aralıkları arasında hareket ederken, Laplace-Beltrami operatörü için bir Fredholm teorisinin oluşturulmasıdır . Daha sonra, asimptotik olarak düz koordinatlar verildiğinde Φ ,

${\ displaystyle \ Delta ^ {g} \ Phi ^ {k} = - \ toplamı _ {i = 1} ^ {n} \ toplamı _ {j = 1} ^ {n} g ^ {ij} \ Gama _ { ij} ^ {k},}$

sonsuzda olan bozunmaktadır, işlevleri vardır Fredholm teorisi aşağıda z ^k sonsuzda olan çürüme, öyle ki Δ ^g Φ ^k = Δ ^gr z ^K , ve dolayısıyla bu Φ ^k - z ^k harmonik bulunmaktadır. Bu, istenen asimptotik olarak düz harmonik koordinatları sağlar. Bartnik birincil sonuç, daha sonra, harmonik fonksiyonlar asimptotik çürüyen vektör uzayı gerçeğinin bir sonucudur M boyutu olan N + 1 üzerindeki herhangi iki asimptotik düz harmonik koordinatları sonucu vardır, M , bir benzeşik transformasyon ile ilişkilidir.

Bartnik'in çalışması, asimptotik olarak düz koordinatların varlığına dayanmaktadır. Shigetoshi Bando, Atsushi Kasue ve Hiraku Nakajima , yöntemlerine dayanarak, büyük jeodezik topların hacminin polinom büyümesi ve tamamlayıcılarının basit bağlanabilirliği ile birlikte, bir noktadan uzaklık açısından eğriliğin bozulmasının , asimptotik olarak düz koordinatların varlığını ifade eder. Temel nokta, aşağıda harmonik yarıçap üzerine tartışılan sonuçlardan bazıları aracılığıyla, bunların geometrik varsayımlarının, sonsuzluğa yakın bölgelerdeki harmonik koordinatlar üzerinde iyi bir kontrol sağlamasıdır. Bir birlik bölümünün kullanılmasıyla , bu harmonik koordinatlar, ana amaç olan tek bir koordinat çizelgesi oluşturmak için birbirine eklenebilir.

Harmonik yarıçap

Michael Anderson'dan kaynaklanan temel bir sonuç, pürüzsüz bir Riemann manifoldu verildiğinde, 0 ile 1 arasında herhangi bir pozitif sayı α ve herhangi bir pozitif sayı Q olduğunda, α'ya , Q'ya , üst ve alt sınırlarına bağlı bir r sayısının olmasıdır . Ricci eğriliği, boyut, ve pozitif ile, birebirlik yarıçapı için alt sınır, örneğin daha az yarıçapın bir jeodezik Topun r göreli harmonik koordinatlar alanı, olduğu için Cı ^{1, α} boyutu g ve üniform g'nin Öklid metriğine yakınlığı Q tarafından kontrol edilir . Bu aynı zamanda sivri uçlu Riemann manifoldlarının "normları" açısından da yeniden formüle edilebilir , burada bir r ölçeğindeki Cı ^{, a} -normu , alanları r yarıçaplı jeodezik küreler olan harmonik koordinatlar için Q'nun optimal değerine karşılık gelir . Çeşitli yazarlar, Anderson'ın çalışmasından önce ve sonra bu tür "harmonik yarıçap" tahminlerinin versiyonlarını buldular. İspatın temel yönü, bir harmonik koordinat çizelgesindeki Ricci eğriliği için Lanczos formülü için eliptik kısmi diferansiyel denklemlerin standart yöntemleri aracılığıyla analizdir .

Bu nedenle, gevşek bir şekilde, harmonik koordinatların kullanımı, Riemann manifoldlarının, Riemann metriğinin yerel temsillerinin yalnızca Riemann manifoldunun kendisinin nitel geometrik davranışı tarafından kontrol edildiği koordinat çizelgeleri ile kapsanabileceğini göstermektedir. Jeff Cheeger tarafından 1970 yılında ortaya konan fikirleri takiben , tekdüze geometrik olarak kontrol edilen Riemann manifoldlarının dizileri düşünülebilir ve koordinatlar kullanılarak bir "limitli" Riemann manifoldu bir araya getirilebilir. Bu tür "Riemann yakınsamasının" doğası nedeniyle, örneğin, diffeomorfizme kadar, belirli bir boyutun yalnızca sonlu sayıda pürüzsüz manifoldunun Ricci eğriliği ve çapı üzerinde sabit bir sınırla ve sabit bir pozitif ile kabul eden belirli bir boyutun sonlu çok sayıda düz manifoldu vardır. Enjeksiyon yarıçapında alt sınır.

Harmonik yarıçapla ilgili bu tür tahminler, geometrik olarak kontrol edilen kesme fonksiyonlarını ve dolayısıyla birlik bölümlerini oluşturmak için de kullanılır. Örneğin, bir fonksiyonun ikinci ortak değişken türevini yerel olarak tanımlanmış bir ikinci kısmi türevle kontrol etmek için, metriğin yerel temsilinin birinci türevini kontrol etmek gerekir. Bu tür yapılar, kompakt olmayan Riemann manifoldları üzerindeki Sobolev uzaylarının temel yönlerinin incelenmesinde temeldir .

Referanslar