Gell-Mann matrisleri - Gell-Mann matrices

Gell-Mann matrisleri tarafından geliştirilen, Murray Gell-Mann , sekiz bir dizi olan lineer bağımsız 3 x 3 Traceless Hermitsel matrisler incelenmesinde kullanılan güçlü bir etkileşim içinde Parçacık fiziği . Bu yayılan Lie cebir arasında SU (3) tanımlayan temsilde grubu.

matrisler

${\displaystyle \lambda _{1}={\başlangıç{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{2}={\başlangıç{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{3}={\başlangıç{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle \lambda _{4}={\başlangıç{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{5}={\başlangıç{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle \lambda _{6}={\başlangıç{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{7}={\başlangıç{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.}$

Özellikleri

Bu matrisler olan Traceless , Hermitsel (yaratabildikleri çok yekpare matris yoluyla grup elemanları üs ) ve daha fazla iz ortonormallik ilişkisi uyar. Daha sonra doğal olarak genelleme çünkü bu özellikler Gell-Mann seçilmiştir Pauli matrisleri için SU (2) için SU (3) Gell-Mann temelini oluşturan, kuark modeli . Gell-Mann'ın genellemesi ayrıca genel SU( n )'ye kadar uzanır . Lie cebirlerinin standart temeli ile bağlantıları için Weyl-Cartan tabanına bakınız .

iz ortonormallik

Matematikte ortonormallik tipik olarak birlik değerine sahip bir normu ifade eder (1). Gell-Mann matrisleri ise 2 değerine normalize edilir. Böylece ikili çarpım izi orto-normalizasyon koşuluyla sonuçlanır.

${\displaystyle \operatöradı {tr} (\lambda _{i}\lambda _{j})=2\delta _{ij},}$

nerede olduğunu Kronecker delta . ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Bu, SU (2)' nin üç gömülü alt cebirine karşılık gelen gömülü Pauli matrislerinin geleneksel olarak normalize edilmesidir. Bu üç boyutlu matris sunumu içinde, Cartan alt cebiri iki matrisin (gerçek katsayılı) doğrusal kombinasyonları kümesi ve birbirleri ile gidip. ${\displaystyle \lambda _{3}}$${\displaystyle \lambda _{8}}$

Üç bağımsız SU(2) alt cebiri vardır:

• ${\displaystyle \{\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\}}$
• ${\displaystyle \{\lambda _{4},\lambda _{5},x\},}$ ve
• ${\displaystyle \{\lambda _{6},\lambda _{7},y\},}$

burada x ve y lineer kombinasyonlarıdır ve . Bu alt cebirlerin SU(2) Casimirleri karşılıklı olarak yer değiştirir. ${\displaystyle \lambda _{3}}$${\displaystyle \lambda _{8}}$

Ancak, bu alt cebirlerin herhangi bir birimsel benzerlik dönüşümü SU(2) alt cebirlerini verecektir. Sayılamayan sayıda bu tür dönüşümler vardır.

komütasyon ilişkileri

SU(3)'ün 8 jeneratörü, komütasyon ve anti-komütasyon ilişkilerini karşılar

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\sol[\lambda _{a},\lambda _{b}\sağ]&=2i\sum _{c}f^{abc}\lambda _{c},\ \\{\lambda _{a},\lambda _{b}\}&={\frac {4}{3}}\delta _{ab}I+2\sum _{c}d^{abc} \lambda _{c},\end{hizalanmış}}}$

ile yapı sabitleri

${\displaystyle {\begin{aligned}f^{abc}&=-{\frac {1}{4}}i\operatorname {tr} (\lambda _{a}[\lambda _{b},\lambda _{c}]),\\d^{abc}&={\frac {1}{4}}\operatöradı {tr} (\lambda _{a}\{\lambda _{b},\lambda _ {c}\}).\end{hizalanmış}}}$

Yapı sabit bölgesinin antisimetrikliğin yaygınlaştırılması, üç gösterge tamamen antisymmetric olan Levi-Civita sembolü ve SU (2) . Gell-Mann matrislerinin şimdiki sırası için değerleri alırlar. ${\görüntüleme stili f^{abc}}$ ${\displaystyle \epsilon _{jkl}}$

${\displaystyle f^{123}=1\ ,\quad f^{147}=f^{165}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=f^{376}= {\frac {1}{2}}\ ,\quad f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\ .}$

Genel olarak, {2,5,7} kümesinden antisimetrik (sanal) λ s'ye karşılık gelen tek sayıda indeks içermedikçe sıfır olarak değerlendirilirler .

Bu komütasyon bağıntılarını kullanarak Gell-Mann matrislerinin çarpımı şu şekilde yazılabilir:

${\displaystyle \lambda _{a}\lambda _{b}={\frac {1}{2}}([\lambda _{a},\lambda _{b}]+\{\lambda _{a },\lambda _{b}\})={\frac {2}{3}}\delta _{ab}I+\sum _{c}\left(d^{abc}+if^{abc}\ sağ)\lambda _{c},}$

burada ben birim matrisidir.

Fierz tamlık ilişkileri

Sekiz matris ve özdeşlik, tüm 3×3 matrisleri kapsayan tam bir iz-ortogonal küme olduğundan , Pauli matrisleriyle sağlanana benzer iki Fierz tamlık ilişkisi (Li & Cheng, 4.134) bulmak kolaydır . Yani, sekiz matrisi toplamak için noktayı kullanarak ve satır/sütun endeksleri için Yunan endekslerini kullanarak, aşağıdaki özdeşlikler geçerlidir:

${\displaystyle \delta _{\beta }^{\alpha }\delta _{\delta }^{\gamma }={\frac {1}{3}}\delta _{\delta }^{\alpha } \delta _{\beta }^{\gamma }+{\frac {1}{2}}\lambda _{\delta }^{\alpha }\cdot \lambda _{\beta }^{\gamma }}$

ve

${\displaystyle \lambda _{\beta }^{\alpha }\cdot \lambda _{\delta }^{\gamma }={\frac {16}{9}}\delta _{\delta }^{\ alpha }\delta _{\beta }^{\gamma }-{\frac {1}{3}}\lambda _{\delta }^{\alpha }\cdot \lambda _{\beta }^{\gamma }~.}$

Yukarıdakilerin lineer bir kombinasyonundan kaynaklanan yeniden döküm versiyonu tercih edilebilir,

${\displaystyle \lambda _{\beta }^{\alpha }\cdot \lambda _{\delta }^{\gamma }=2\delta _{\delta }^{\alpha }\delta _{\beta } ^{\gamma }-{\frac {2}{3}}\delta _{\beta }^{\alpha }\delta _{\delta }^{\gamma }~.}$

temsil teorisi

Belirli bir matris seçimine grup gösterimi denir , çünkü SU(3)'ün herhangi bir elemanı , sekizin gerçek sayılar olduğu ve j indisi üzerindeki bir toplamın ima edildiği biçimde yazılabilir . Bir temsil verildiğinde, komütatörü değiştirmeden bıraktığı için keyfi bir üniter benzerlik dönüşümü ile eşdeğer bir tane elde edilebilir. ${\displaystyle \mathrm {exp} (i\theta ^{j}g_{j})}$${\görüntüleme stili \teta ^{j}}$

Matrisler bir temsili olarak fark edilebilir sonsuz jeneratörleri ve özel yekpare grubu olarak adlandırılan SU (3) . Lie cebiri bu grubun (aslında gerçek bir Lie cebiri) boyutu sekiz sahiptir ve bu nedenle sekiz bazı kümesi vardır lineer bağımsız olarak yazılabilir jeneratörler, ile, i 1'den 8'e kadar değerler alarak. ${\displaystyle g_{i}}$

Casimir operatörleri ve değişmezleri

Gell-Mann matrislerinin kare toplamı , bir grup değişmezi olan ikinci dereceden Casimir operatörünü verir ,

${\displaystyle C=\sum _{i=1}^{8}\lambda _{i}\lambda _{i}={\frac {16}{3}}I}$

3×3 birim matris nerede . Bir başka bağımsız, kübik Casimir operatörü de var. ${\görüntüleme stili I\,}$

Uygulama kuantum renk

Bu matrisler , kuantum kromodinamiğinin renkli kuarklarıyla ilişkili gluon alanlarının iç (renkli) dönüşlerini incelemeye hizmet eder (bkz. gluonun renkleri ). Bir gösterge renk döndürme, sekiz indeks k üzerinden toplamın ima edildiği, uzay-zamana bağlı bir SU(3) grup öğesidir . ${\displaystyle U=\exp(i\theta ^{k}({\mathbf {r} },t)\lambda _{k}/2)}$

Ayrıca bakınız

• Özel üniter grup#SU(3) grubu
• Grup temsilleri
• SU(3) için Clebsch–Gordan katsayıları
• öldürme formu
• Casimir öğesi
• Pauli matrisleri
• Pauli matrislerinin genellemeleri

Referanslar

• Gell-Mann, Murray (1962-02-01). "Baryon ve Mezonların Simetrileri" . Fiziksel İnceleme . Amerikan Fizik Derneği (APS). 125 (3): 1067-1084. doi : 10.1103/physrev.125.1067 . ISSN  0031-899X .
• Cheng, T.-P.; Li, L.-F. (1983). Temel Parçacık Fiziğinin Gösterge Teorisi . Oxford Üniversitesi Yayınları . ISBN'si 0-19-851961-3.
• Georgi, H. (1999). Parçacık Fiziğinde Lie Cebirleri (2. baskı). Westview Basın . ISBN'si 978-0-7382-0233-4.
• Arfken, GB; Weber, HJ; Harris, FE (2000). Fizikçiler için Matematiksel Yöntemler (7. baskı). Akademik Basın . ISBN'si 978-0-12-384654-9.
• Kokkedee, JJJ (1969). Kuark Modeli . WA Benjamin'in fotoğrafı . LCCN  69014391 .