Gauss toplamı - Gauss sum
Gelen cebirsel sayı teorisi , bir Gauss toplamı ya da Gauss toplamı sonlu özel bir türüdür toplamı bir birlik kökleri tipik olarak,
elemanları üzerinden toplamı olduğu r bazı sonlu değişmeli halka R , ψ a, grup homomorfizması bir katkı maddesi grubu, R + içine birim çember ve χ bir grup homomorfizma birim grup R x olmayan uzatıldı, birim çember içine -unit r , 0 değerini alır. Gauss toplamları, Gama fonksiyonunun sonlu alanları için analoglardır .
Bu tür meblağlar sayı teorisinde her yerde bulunur . Bunlar işlevsel denklemlerde, örneğin, ortaya Dirichlet L -functions , burada a için Dirichlet karakter χ denklemi ile ilgili L ( s , χ ) ve L (1 - s , χ ) (burada χ olan karmaşık eşlenik arasında kay kare testi ) bir faktör içerir
Tarih
Başlangıçta tarafından dikkate durumda Carl Friedrich Gauss olan ikinci dereceden Gauss toplamı için, R artıklarının alan modulo bir asal sayı p ve ki-kare Legendre sembolü . Bu durumda Gauss, sırasıyla 1 veya 3 modulo 4 ile uyumlu p için G ( χ ) = p 1 ⁄ 2 veya ip 1 ⁄ 2 olduğunu kanıtladı (ikinci dereceden Gauss toplamı, aynı zamanda Fourier analizi ve kontur entegrasyonu ile de değerlendirilebilir ).
Bu Gauss toplamı için alternatif bir form şudur:
Kuadratik Gauss toplamları, teta fonksiyonları teorisi ile yakından bağlantılıdır .
Gauss toplamları genel teorisi kullanılarak, 19. yüzyılın başlarında geliştirilen Jacobi toplamları ve bunların asal ayrışma içinde cyclotomic alanlar . Mod N tamsayılarının bir kalıntı halkası üzerindeki Gauss toplamları, Gauss dönemleri olarak adlandırılan yakından ilişkili toplamların doğrusal kombinasyonlarıdır .
Gauss toplamlarının mutlak değeri genellikle Plancherel'in sonlu gruplar üzerindeki teoreminin bir uygulaması olarak bulunur. Durumda R ' bir alandır s elemanları ve χ nontrivial, mutlak değeri p 1 / 2 . Kuadratik durumda Gauss'un sonucunu takiben genel Gauss toplamlarının kesin değerinin belirlenmesi uzun süredir devam eden bir konudur. Bazı durumlarda Kummer toplamına bakınız .
Dirichlet karakterlerinin Gauss toplamlarının özellikleri
Bir Gauss toplamı Dirichlet karakter modülo N olduğu
Eğer χ de ilkel sonra,
özellikle sıfırdan farklıdır. Daha genel olarak, eğer , N 0 olan iletken bir kay kare testi ve χ 0 ilkel Dirichlet karakter modülo olan K 0 uyardığını , x, daha sonra Gauss toplamı kay kare testi bu ilgilidir kay kare testi 0 ile
burada μ olan Möbiüs işlevi . Sonuç olarak, G ( χ ) tam olarak ne zaman sıfır değildir N / N 0 olduğu squarefree ve göreceli asal için N 0 .
G ( χ ) ve diğer karakterlerin Gauss toplamları arasındaki diğer ilişkiler şunları içerir:
burada χ karmaşık eşlenik Dirichlet karakter ve eğer χ ' bir Dirichlet karakterin modülo olan K ' olduğu gibi , N ve N ' , daha sonra göreceli asal olan
Arasında ilişki G ( χχ ') , G ( χ ) ve G ( χ ') ne zaman χ ve χ ' vardır aynı modülü (ve χχ ' ilkel) ile ölçülmektedir Jacobi toplamı J ( χ , χ ') . Özellikle,
Diğer özellikler
- Gauss toplamları ikinci dereceden karşılıklılık , kübik karşılıklılık ve dörtlü karşılıklılık kanıtlamak için kullanılabilir
- Gauss toplamları, polinom denklemlerinin sonlu alanlar üzerindeki çözümlerinin sayısını hesaplamak için kullanılabilir ve bu nedenle belirli zeta fonksiyonlarını hesaplamak için kullanılabilir.
Ayrıca bakınız
- Chowla-Mordell teoremi
- Eliptik Gauss toplamı
- Gauss dönemi
- Hasse-Davenport ilişkisi
- Jacobi toplamı
- Stickelberger teoremi
- Kuadratik Gauss toplamı
- Kummer toplamı
Referanslar
- Apostol, Tom M. (1976), Analitik sayı teorisine giriş , Matematikte Lisans Metinleri, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3 , MR 0434929 , Zbl 0335.10001
- Berndt, BC ; Evans, RJ; Williams, KS (1998). Gauss ve Jacobi Sums . Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Textts. Wiley. ISBN 0-471-12807-4 . Zbl 0906.11001 .
- İrlanda, Kenneth; Rosen, Michael (1990). Modern Sayı Teorisine Klasik Bir Giriş . Matematikte Lisansüstü Metinler . 84 (2. baskı). Springer-Verlag . ISBN 0-387-97329-X . Zbl 0712.11001 .
- Iwaniec, Henryk'in 3.4 Bölümü ; Kowalski, Emmanuel (2004), Analitik sayı teorisi , American Mathematical Society Colloquium Publications, 53 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3633-0 , MR 2061214 , Zbl 1059.11001