Genel görelilikte çerçeve alanları - Frame fields in general relativity

Olarak genel görelilik , bir çerçeve alanı (aynı zamanda adı verilen tetrat veya vierbein dört kümesidir) izlemeli - ortonormal vektör alanları , bir timelike üç spacelike bir tanımlanmış, Lorentz manifoldu fiziksel bir model olarak yorumlanır uzay- . Zaman benzeri birim vektör alanı genellikle ile gösterilir ve üç uzay benzeri birim vektör alanı ile gösterilir . Manifold üzerinde tanımlanan tüm tensörsel büyüklükler , çerçeve alanı ve onun ikili ortak çerçeve alanı kullanılarak ifade edilebilir . ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$${\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},\,{\vec {e}}_{3}}$

Çerçeveler genel göreliliğe 1928'de Albert Einstein ve 1929'da Hermann Weyl tarafından tanıtıldı .

Tetradlar için indeks notasyonu tetrad (indeks notasyonu) ile açıklanmıştır .

Fiziksel yorumlama

Çerçeve alanları her zaman verili uzay-zamana dalmış ideal gözlemciler ailesine karşılık gelir; integral eğrileri zamansal birim vektör alanının olan worldlines bu gözlemci ve belirli bir dünyaçizgisinin boyunca her etkinlikte, üç spacelike birim vektör alanları belirlemek uzamsal üçlü gözlemci tarafından gerçekleştirilmiştir. Üçlü , gözlemcinin dünya çizgisinin çok yakınında geçerli olan yerel bir laboratuvar çerçevesinin uzamsal koordinat eksenlerini tanımlamak olarak düşünülebilir .

Genel olarak, bu gözlemcilerin dünya çizgilerinin zamana benzer jeodezikler olması gerekmez . Uzak bazı bölgede jeodezik yoldan worldlines virajlarda herhangi, biz gözlemci düşündüyseniz Test partikülleri hızlandırmak bir itme ile ideal bir roket motorlarını kullanarak kendi büyüklüğüne eşit ivme vektörü . Bizim gözlemci bir yumak maddenin biraz takılır Alternatif olarak, sıvı içinde hidrostatik denge , genel olabilir meseleyi irade bu biraz üzerindeki net etkisi dışa hızlandırılmış basınç kendi yerçekimi cazibe karşı sıvı topu tutan. Diğer olasılıklar, bir elektrovakum çözeltisindeki serbest yüklü bir test parçacığına bağlı bir gözlemciyi içerir , bu elbette Lorentz kuvveti tarafından hızlandırılacaktır veya bir spin-spin kuvveti ile hızlandırılabilen bir eğirme test parçacığına bağlı bir gözlemcidir .

Çerçevelerin geometrik nesneler olduğunu anlamak önemlidir . Yani, vektör alanları bir koordinat grafiği seçiminden bağımsız olarak (düz bir manifoldda) anlamlıdır ve (bir Lorentzian manifoldunda), ortogonallik ve uzunluk kavramları da öyle. Böylece, vektör alanları ve diğer geometrik nicelikler gibi, çerçeve alanları da çeşitli koordinat çizelgelerinde gösterilebilir. Belirli bir çerçeveye göre tensörsel büyüklüklerin bileşenlerinin hesaplamaları , çerçeveyi temsil etmek için hangi koordinat şeması kullanılırsa kullanılsın , her zaman aynı sonucu verecektir .

Bu alanlar, Dirac denklemini eğri uzay- zamanda yazmak için gereklidir .

Bir çerçeve belirtme

Bir çerçeve yazmak için Lorentzian manifoldu üzerinde bir koordinat çizelgesi seçilmelidir. Ardından, manifold üzerindeki her vektör alanı, dört koordinat tabanlı vektör alanının doğrusal bir birleşimi olarak yazılabilir :

${\displaystyle {\vec {X}}=X^{\mu }\,\partial _{x^{\mu }}.}$

Burada Einstein toplama kuralı kullanılır ve vektör alanları birinci mertebeden lineer diferansiyel operatörler olarak düşünülür ve bileşenlere genellikle zıt değişken bileşenleri denir . Bu , bir teğet demetinin bölümleri için standart gösterim kurallarını takip eder . Ortak kullanımdaki koordinat bazlı vektör alanları için alternatif gösterimler şunlardır:${\görüntüleme stili X^{\mu }}$${\displaystyle \kısmi /\kısmi x^{\mu }\eşdeğer \kısmi _{x^{\mu }}\eşdeğer \kısmi _{\mu }.}$

Özellikle çerçevedeki vektör alanları şu şekilde ifade edilebilir:

${\displaystyle {\vec {e}}_{a}={e_{a}}^{\mu }\,\partial _{x^{\mu }}.}$

Bir çerçeveyi "tasarlarken", verilen metriği kullanarak, doğal olarak dört vektör alanının her yerde ortonormal olduğundan emin olmak gerekir .

Daha modern metinler için ve veya için gösterimi benimser . Bu, uzay-zaman metriğini koordinat tanjant vektörlerinin dış çarpımı olarak yazmanın görsel olarak zekice hilesine izin verir: ${\displaystyle \mathbf {g} _{\mu }}$${\görüntüleme stili \kısmi _{x^{\mu }}}$${\görüntüleme stili \gama _{a}}$${\displaystyle \sigma _{a}}$${\displaystyle {\vec {e}}_{a}}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\mathbf {g} _{\mu }\cdot \mathbf {g} _{\nu }}$

ve gamaların ürünü olarak düz uzay Minkowski metriği:

${\displaystyle \eta _{ab}=\gamma _{a}\cdot \gamma _{b}}$

Notasyon seçimi , Dirac matrisleri için kullanılan notasyonla kasıtlı olarak birleştirilir ; sadece vektörler olarak değil, aynı zamanda bir cebirin, uzay-zaman cebirinin öğeleri olarak alınmasına izin verir . Uygun şekilde kullanıldığında, bu, bir spin bağlantısı yazarken kullanılan bazı gösterimleri basitleştirebilir . ${\görüntüleme stili \gama _{a}}$${\görüntüleme stili \gama _{a}}$

Bir imza bir kez kabul edildiğinde, dualite ile bir baza ait her vektörün kobasiste bir ikili kovektörü vardır ve bunun tersi de geçerlidir. Bu durumda, her bir kare alanı benzersiz bir ilişkili coframe alan tersine, ve yardımcısı; coframe alanları, kotanjant demetinin dört ortogonal bölümünden oluşan bir kümedir .

Bir koframe kullanarak metriği belirtme

Alternatif olarak, metrik tensör , koordinat bazında bir koframe yazılarak ve metrik tensörün

${\displaystyle g=-\sigma ^{0}\otimes \sigma ^{0}+\sum _{i=1}^{3}\sigma ^{i}\otimes \sigma ^{i},}$

burada tensör çarpımını gösterir . Bu, koframe'in ortonormal olduğunu söylemenin süslü bir yoludur . Bunun, çerçeveyi yazdıktan (ve ikili koframe'e geçtikten sonra) metrik tensörü elde etmek için mi yoksa metrik tensörle başlayıp onu bir çerçevenin başka yollarla elde edildiğini doğrulamak için kullanıp kullanmadığı, her zaman doğru olmalıdır. ${\görüntüleme stili \ bazen }$

Koordinat bazında metrik tensör ile ilişki

Vierbein alanı, iki tür indekse sahiptir: genel uzay-zaman koordinatını etiketler ve yerel Lorentz uzay-zamanı veya yerel laboratuvar koordinatlarını etiketler. ${\displaystyle e_{\ a}^{\mu }}$${\görüntüleme stili \mu\,}$${\görüntüleme stili bir\,}$

Vierbein alanı ya da çerçeve alanları arasında “matris kare kökü” olarak kabul edilebilir metrik tensörü , bir koordinat bazında beri ${\ Displaystyle g^{\mu \nu }\,}$

${\displaystyle g^{\mu \nu }=e_{\ a}^{\mu }e_{\ b}^{\nu }\eta ^{ab}\,}$

nerede olduğunu Lorentz metrik . ${\görüntüleme stili \eta ^{ab}\,}$

Lorentz metriği ile yerel Lorentz endeksleri, genel uzay-zaman koordinatlarının metrik tensör ile yükseltilip alçaltılmasıyla aynı şekilde yükseltilir ve düşürülür. Örneğin:

${\displaystyle T^{a}=\eta ^{ab}T_{b}.}$

Vierbein alanı, uzay-zaman ve yerel Lorentz endeksleri arasında dönüşüm sağlar. Örneğin:

${\displaystyle T_{a}=e_{\ a}^{\mu }T_{\mu }.}$

Vierbein alanının kendisi de aynı şekilde manipüle edilebilir:

${\displaystyle e_{\ a}^{\nu }=e_{\ a}^{\mu }e_{\ \mu }^{\nu }\,}$, dan beri ${\displaystyle e_{\ \mu }^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu }.}$

Ve bunlar birleşebilir.

${\displaystyle T^{a}=e_{\mu }^{\ a}T^{\mu }.}$

Birkaç örnek daha: Spacetime ve yerel Lorentz koordinatları birlikte karıştırılabilir:

${\displaystyle T^{\mu a}=e_{\nu }^{\ a}T^{\mu \nu }.}$

Yerel Lorentz koordinatları, genel uzay-zaman koordinatlarından farklı şekilde dönüşür. Genel bir koordinat dönüşümü altında:

${\displaystyle T'^{\mu a}={\frac {\kısmi x'^{\mu }}{\kısmi x^{\nu }}}T^{\nu a}}$

yerel bir Lorentz dönüşümü altındayken:

${\displaystyle T'^{\mu a}=\Lambda (x)_{\ b}^{a}T^{\mu b}.}$

Koordinat bazında karşılaştırma

Koordinat tabanlı vektörler, ikili Lie parantezlerinin kaybolması gibi özel bir özelliğe sahiptir . Bir çerçeveden, lokal düz bölgelerde vektör alanlarının en azından bazı Lie ayraçlar dışında değil kaybolur. Bir çerçeveye göre (ancak bir koordinat bazına göre değil) tensörsel nesnelerin bileşenleri çerçeveye karşılık gelen ideal gözlemciler ailesi tarafından yapılan ölçümler açısından doğrudan bir yoruma sahip olduğundan, onlarla hesaplamak için gereken sonuçtaki bagaj kabul edilebilir. .

Koordinat temelli vektörler null olabilir , bu tanım gereği çerçeve vektörleri için gerçekleşemez.

Dönmeyen ve eylemsiz çerçeveler

Bazı kareler diğerlerinden daha güzel. Özellikle vakum veya elektrovakum çözeltilerinde , (hiç kuvvet hissetmeyen) eylemsiz gözlemcilerin fiziksel deneyimi özellikle ilgi çekici olabilir. Bir eylemsiz çerçevenin matematiksel karakterizasyonu çok basittir: zamana benzer birim vektör alanının integral eğrileri bir jeodezik uyum tanımlamalıdır , veya başka bir deyişle, ivme vektörü kaybolmalıdır:

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}\,{\vec {e}}_{0}=0}$

Her gözlemci tarafından taşınan uzaysal üçlünün dönmemesini sağlamak da sıklıkla arzu edilir . Bu durumda, triad gyrostabilized olarak görülebilir . Dönmeyen eylemsizlik (NSI) çerçevesi için kriter yine çok basittir:

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}\,{\vec {e}}_{j}=0,\;\;j=0\dots 3}$

Bu, her gözlemcinin dünya çizgisi boyunca hareket ettikçe, uzaysal üçlülerinin paralel olarak taşındığını söylüyor . Dönmeyen eylemsiz çerçeveler, genel görelilikte özel bir yere sahiptir, çünkü özel görelilikte kullanılan Lorentz çerçevelerine eğri bir Lorentzian manifoldunda alabileceğimiz kadar yakındırlar (bunlar Minkowski boşluğundaki özel dönmeyen eylemsiz çerçevelerdir ).

Daha genel olarak, eğer gözlemcilerimizin ivmesi sıfır değilse , kovaryant türevlerini değiştirebiliriz.${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}\,{\vec {e}}_{0}\neq 0}$

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}\,{\vec {e}}_{j},\;j=1\dots 3}$

(uzaysal olarak yansıtılan) Fermi-Walker türevleri ile dönmeyen bir çerçeve tanımlamak için .

Bir Lorentzian manifoldu verildiğinde, eylemsizlik hareketi gibi ek özelliklere ihtiyaç duysak bile, sonsuz sayıda çerçeve alanı bulabiliriz. Bununla birlikte, belirli bir çerçeve alanı, manifoldun yalnızca bir kısmında çok iyi tanımlanabilir.

Örnek: Schwarzschild vakumunda statik gözlemciler

Birkaç basit örneği biraz ayrıntılı olarak ele almak öğretici olacaktır. Bir yıldız gibi izole edilmiş, dönmeyen küresel simetrik kütleli bir nesnenin dışında uzay-zamanı modelleyen ünlü Schwarzschild boşluğunu düşünün . Çoğu ders kitabında, statik bir kutupsal küresel grafik cinsinden yazılmış metrik tensör aşağıdaki gibi bulunur:

${\displaystyle ds^{2}=-(1-2m/r)\,dt^{2}+{\frac {dr^{2}}{1-2m/r}}+r^{2}\ ,\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\phi ^{2}\sağ)}$

${\displaystyle -\infty <t<\infty ,\;2m<r<\infty ,\;0<\theta <\pi ,\;-\pi <\phi <\pi }$

Daha resmi olarak, metrik tensör, koordinat kotasına göre şu şekilde genişletilebilir:

${\displaystyle g=-(1-2m/r)\,dt\otimes dt+{\frac {1}{1-2m/r}}\,dr\otimes dr+r^{2}\,d\theta \otimes d\theta +r^{2}\sin(\theta )^{2}\,d\phi \otimes d\phi }$

Bu ifadeden bir koframe okunabilir:

${\displaystyle \sigma ^{0}={\sqrt {1-2m/r}}\,dt,\;\sigma ^{1}={\frac {dr}{\sqrt {1-2m/r} }},\;\sigma ^{2}=rd\theta ,\;\sigma ^{3}=r\sin(\theta )d\phi }$

Bu eş çerçevenin gerçekten Schwarzschild metrik tensörüne karşılık geldiğini görmek için, bu eş çerçeveyi

${\displaystyle g=-\sigma ^{0}\otimes \sigma ^{0}+\sigma ^{1}\otimes \sigma ^{1}+\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{2} +\sigma ^{3}\otimes \sigma ^{3}}$

Çerçeve ikilisi, aşağıdaki gibi eş karenin tersidir: (çift kare ayrıca yerel indeksi aynı konumda tutmak için yer değiştirir.)

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-2m/r}}}\partial _{t},\;{\vec {e}}_ {1}={\sqrt {1-2m/r}}\partial _{r},\;{\vec {e}}_{2}={\frac {1}{r}}\partial _{ \theta },\;{\vec {e}}_{3}={\frac {1}{r\sin(\theta )}}\partial _{\phi }}$

(Artı işareti teminat altın olduğunu ise gelecek işaret .) Bu çerçeve olduğunu modeller deneyimi statik gözlemciler roket motorlarını kullanma masif nesnenin üzerine "vurgulu" . Konumlarını korumak için ihtiyaç duydukları itme ivme vektörünün büyüklüğü ile verilir. ${\görüntüleme stili \sigma ^{0}}$${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{0}=-{\frac {m/r^{2}}{\sqrt {1- 2m/r}}}\,{\vec {e}}_{1}}$

Bu, radyal olarak içe dönüktür , çünkü gözlemcilerin nesneye düşmemek için nesneden uzaklaşmaları gerekir. Öte yandan, uzamsal temel vektörlerinin ( 'ye göre ) uzamsal olarak yansıtılan Fermi türevleri yok olur, bu nedenle bu, dönmeyen bir çerçevedir. ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

Çerçevemize ve onun ikili ortak çerçevesine göre çeşitli tensörsel büyüklüklerin bileşenleri artık hesaplanabilir.

Örneğin, statik gözlemcilerimiz için gelgit tensörü , tensör notasyonu kullanılarak (koordinat bazında) şu şekilde tanımlanır:

${\displaystyle E[X]_{ab}=R_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}}$

notasyonu karıştırmamak için yazdığımız yer . Bizim koframe'imize göre sıfır olmayan tek bileşenleri olduğu ortaya çıktı. ${\displaystyle {\vec {X}}={\vec {e}}_{0}}$

${\displaystyle E[X]_{11}=-2m/r^{3},\;E[X]_{22}=E[X]_{33}=m/r^{3}}$

Karşılık gelen koordinat temel bileşenleri şunlardır:

${\displaystyle E[X]_{rr}=-2m/r^{3}/(1-2m/r),\;E[X]_{\theta \theta }=m/r,\;E [X]_{\phi \phi }=m\sin(\theta )^{2}/r}$

(Hızlı bir not notasyonu ile ilgili: birçok yazar koymak carets üzerinde soyut . Bir çerçeve atıfta endeksleri aşağı yazarken belirli bileşenleri , bu 0,1,2,3 tarafından anlamında olabildikleri çerçeve bileşenlerine uygundur ve tarafından bileşenleri koordine . Gibi bir ifadenin yana gelmez Bir tensör denklemi olarak mantıklı , karışıklık olasılığı olmamalıdır.) ${\görüntüleme stili t,r,\teta,\phi }$${\displaystyle S_{ab}=36m/r}$

Karşılaştırma gelgit tensörünü olan Newton yerçekimi, Traceless parçası ait Hessian yerçekimi potansiyeli . Üç boyutlu öklid uzayında tanımlanan bir tensör alanı için tensör notasyonu kullanılarak bu yazılabilir. ${\görüntüleme stili\Phi }$${\görüntüleme stili U}$

${\displaystyle \Phi _{ij}=U_{,ij}-{\frac {1}{3}}{U^{,k}}_{,k}\,\eta _{ij}}$

Okuyucu bunu baştan sona çevirmek isteyebilir (U harmonik olduğunda iz teriminin gerçekte aynı şekilde ortadan kalktığına dikkat edin) ve sonuçları aşağıdaki temel yaklaşımla karşılaştırabilir: Aynı radyal çizgi üzerinde uzanan yakınlardaki iki gözlemci üzerindeki yerçekimi kuvvetlerini karşılaştırabiliriz:

${\displaystyle m/(r+h)^{2}-m/r^{2}=-2mh/r^{3}+3mh^{2}/r^{4}+O(h^{3 })}$

Tensörleri tartışırken çok doğrusal cebir ile uğraştığımız için , sadece birinci dereceden terimleri koruyoruz, bu yüzden . Benzer şekilde, aynı küre üzerinde yatan yakındaki iki gözlemci üzerindeki yerçekimi kuvvetini karşılaştırabiliriz . Bazı temel trigonometri ve küçük açı yaklaşımını kullanarak, kuvvet vektörlerinin büyüklüğü olan küreye teğet bir vektör tarafından farklı olduğunu bulduk. ${\displaystyle \Phi _{11}=-2m/r^{3}}$${\görüntüleme stili r=r_{0}}$

${\displaystyle {\frac {m}{r_{0}^{2}}}\,\sin(\theta )\yaklaşık {\frac {m}{r_{0}^{2}}}\,{ \frac {h}{r_{0}}}={\frac {m}{r_{0}^{3}}}\,h}$

Küçük açı yaklaşımını kullanarak, tüm düzen terimlerini göz ardı ettik , yani teğet bileşenler . Burada, üç boyutlu öklid uzayımız için kutupsal küresel grafikten elde edilen bariz çerçeveye atıfta bulunuyoruz: ${\ Displaystyle O(h^{2})}$${\displaystyle \Phi _{22}=\Phi _{33}=m/r^{3}}$

${\displaystyle {\vec {\epsilon }}_{1}=\partial _{r},\;{\vec {\epsilon }}_{2}={\frac {1}{r}}\, \partial _{\theta },\;{\vec {\epsilon }}_{3}={\frac {1}{r\sin \theta }}\,\partial _{\phi }}$

Açıkça, yukarıda hesaplanan koordinat bileşenleri doğru şekilde ölçeklenmezler, bu nedenle bir gözlemcinin yaklaşık olarak ölçeceği şeye açıkça karşılık gelemezler. (Tesadüfen, Newtoncu gelgit tensör bileşenleri, yukarıda yazdığımız göreli gelgit tensör bileşenleriyle tam olarak uyuşur.) ${\displaystyle E[X]_{\theta \theta},\,E[X]_{\phi \phi }}$

Örnek: Schwarzschild boşluğundaki Lemaitre gözlemcileri

Bir eylemsiz çerçeve bulmak için, statik çerçevemizi belirlenmemiş bir yükseltme parametresiyle (radyal koordinata bağlı olarak) yönde artırabiliriz, yeni belirlenmemiş çerçevenin ivme vektörünü hesaplayabilir, bunu sıfıra eşitleyebilir ve bilinmeyen yükseltme için çözebiliriz. parametre. Sonuç, büyük nesneye doğru serbestçe ve ışınsal olarak düşen gözlemcilerin fiziksel deneyimlerini incelemek için kullanabileceğimiz bir çerçeve olacaktır. Uygun bir integrasyon sabiti seçerek , uzaysal sonsuzlukta durgunluktan düşen Lemaître gözlemcilerinin çerçevesini elde ederiz . (Bu ibare bir anlam ifade etmez, ancak okuyucu kuşkusuz bizim anlamımızı anlamakta zorluk çekmeyecektir.) Statik kutupsal küresel haritada bu çerçeve Lemaître koordinatlarından elde edilir ve şu şekilde yazılabilir: ${\displaystyle {\vec {e}}_{1}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={\frac {1}{1-2m/r}}\,\partial _{t}-{\sqrt {2m/r}}\,\ kısmi _{r}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{1}=\partial _{r}-{\frac {\sqrt {2m/r}}{1-2m/r}}\,\partial _{t} }$

${\displaystyle {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{3}={\frac {1}{r\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }}$

Unutulmamalıdır ki , ve olması gerektiği gibi "içe doğru eğilir", çünkü integral eğrileri, düşen gözlemcilerin dünya çizgilerini temsil eden zamana benzer jeodeziklerdir . Aslında, dört temel vektörün tümünün ( 'ye göre alınan ) kovaryant türevleri aynı şekilde ortadan kalktığı için, yeni çerçevemiz dönmeyen bir eylemsiz çerçevedir . ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}\neq {\vec {f}}_{0},\;{\vec {e}}_{1}\neq {\vec {f}} _{1}}$${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

Bizim masif nesne (özellikle dönerek) aslında ise kara delik , muhtemelen onlar düşer gibi Lemaitre gözlemcilerinin deneyimini takip etmek isteyen olay ufkunda de . Statik kutupsal küresel koordinatlar ufukta bir koordinat tekilliğine sahip olduğundan, daha uygun bir koordinat çizelgesine geçmemiz gerekecek. Mümkün olan en basit seçim, yeni bir zaman koordinatı tanımlamaktır. ${\görüntüleme stili r=2m}$

${\displaystyle T(t,r)=t-\int {\frac {\sqrt {2m/r}}{1-2m/r}}\,dr=t+2{\sqrt {2mr}}+2m \log \left({\frac {{\sqrt {r}}-{\sqrt {2m}}}{{\sqrt {r}}+{\sqrt {2m}}}}\sağ)}$

Bu, Painlevé grafiğini verir . Yeni satır öğesi

${\displaystyle ds^{2}=-dT^{2}+\left(dr+{\sqrt {2m/r}}\,dT\right)^{2}+r^{2}\left(d\ teta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\phi ^{2}\sağ)}$

${\displaystyle -\infty <T<\infty ,\;0<r<\infty ,\;0<\theta <\pi ,\;-\pi <\phi <\pi }$

Painlevé şemasına göre, Lemaitre çerçevesi

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}=\partial _{T}-{\sqrt {2m/r}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{1}=\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{3}={\frac {1}{r\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }}$

Uzamsal üçlülerinin tam olarak yukarıda bahsettiğimiz üç boyutlu öklid uzayının çerçevesine benzediğine dikkat edin (Newtonian gelgit tensörünü hesapladığımızda). Gerçekten de, mekansal hyperslices haline lokal izometrik düz üç boyutlu Öklid uzayına! (Bu, Schwarzschild boşluğunun dikkate değer ve oldukça özel bir özelliğidir; çoğu uzay-zaman, düz uzaysal bölümlere bölünmeyi kabul etmez.) ${\görüntüleme stili T=T_{0}}$

Lemaitre gözlemcilerine göre alınan gelgit tensörü

${\displaystyle E[Y]_{ab}=R_{ambn}\,Y^{m}\,Y^{n}}$

notasyonu karıştırmamak için yazdığımız yer . Bu, yukarıda elde ettiğimizden farklı bir tensördür , çünkü farklı bir gözlemci ailesi kullanılarak tanımlanır . Bununla birlikte, kaybolmayan bileşenleri tanıdık geliyor: . (Bu yine Schwarzschild boşluğunun oldukça özel bir özelliğidir.) ${\displaystyle Y={\vec {f}}_{0}}$${\displaystyle E[Y]_{11}=-2m/r^{3},\,E[Y]_{22}=E[Y]_{33}=m/r^{3}}$

Olay ufku üzerinde veya içinde statik gözlemcileri tanımlamanın hiçbir yolu olmadığına dikkat edin. Öte yandan, Lemaitre gözlemcileri de statik kutupsal küresel haritanın kapsadığı tüm dış bölge üzerinde tanımlanmamıştır , dolayısıyla bu örneklerde ne Lemaitre çerçevesi ne de statik çerçeve manifoldun tamamında tanımlanmamıştır.

Örnek: Schwarzschild boşluğundaki Hagihara gözlemcileri

Lemaître gözlemcilerini bulduğumuz gibi, statik çerçevemizi belirsiz bir parametreyle (radyal koordinata bağlı olarak) yönde yükseltebilir, ivme vektörünü hesaplayabilir ve bunun ekvator düzleminde kaybolmasını isteyebiliriz . Yeni Hagihara çerçevesi , devasa nesnemizin etrafında sabit dairesel yörüngelerde dönen gözlemcilerin fiziksel deneyimini anlatıyor . Görünüşe göre ilk olarak astronom Yusuke Hagihara tarafından tartışıldı . ${\displaystyle {\vec {e}}_{3}}$ ${\görüntüleme stili \teta =\pi/2}$

Statik kutupsal küresel haritada, Hagihara çerçevesi

${\displaystyle {\vec {h}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-3m/r}}}\,\partial _{t}+{\frac {\sqrt {m /r^{3}}}{{\sqrt {1-3m/r}}\,\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{1}={\sqrt {1-2m/r}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{3}={\frac {\sqrt {1-2m/r}}{r{\sqrt {1-3m/r}}\,\sin(\theta ) }}\,\partial _{\phi }+{\frac {\sqrt {m/r}}{{\sqrt {1-2m/r}}\,{\sqrt {1-3m/r}}} }\,\kısmi _{t}}$

ekvator düzleminde hangisi olur

${\displaystyle {\vec {h}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-3m/r}}}\,\partial _{t}+{\frac {\sqrt {m /r^{3}}}{\sqrt {1-3m/r}}}\,\partial _{\phi }}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{1}={\sqrt {1-2m/r}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{3}={\frac {\sqrt {1-2m/r}}{r{\sqrt {1-3m/r}}}}\,\partial _{ \phi }+{\frac {\sqrt {m/r}}{{\sqrt {1-2m/r}}\,{\sqrt {1-3m/r}}}}\,\partial _{t }}$

Gelgit tensör çıkıyor göre (ekvator düzleminde) verilecek ${\displaystyle E[Z]_{ab}}$${\displaystyle {\vec {Z}}={\vec {h}}_{0}}$

${\displaystyle E[Z]_{11}=-{\frac {m}{r^{3}}}\,{\frac {2-3m/r}{1-2m/r}}=-{ \frac {2m}{r^{3}}}-{\frac {m^{2}}{r^{4}}}+O(1/r^{5})}$

${\displaystyle E[Z]_{22}={\frac {m}{r^{3}}}\,{\frac {1}{1-3m/r}}=-{\frac {m} {r^{3}}}+{\frac {3m^{2}}{r^{4}}}+O(1/r^{5})}$

${\displaystyle E[Z]_{33}={\frac {m}{r^{3}}}}$

Bu durumda, bir koordinat belli bir çevreye mukabil statik gözlemci duran, karşılaştırıldığında, aynı stabil bir dairesel bir yörüngede bir Hagihara gözlemci yarıçapı ölçecek koordinat radyal hafif olan gelgit kuvvetleri büyük büyüklüğü ve enine artık izotropik gelgit kuvvetleri (ancak hareket yönüne göre biraz daha büyük ortogonal).

Hagihara çerçevesinin yalnızca bölgede tanımlandığını unutmayın . Gerçekten de, kararlı dairesel yörüngeler yalnızca üzerinde bulunur , bu nedenle çerçeve bu yerin içinde kullanılmamalıdır. ${\görüntüleme stili r>3m}$${\görüntüleme stili r>6m}$

Bilgisayar Fermi türevleri gösterir, sadece belirli bir çerçeve alanı olması olduğunu eğirme göbeği stabilize bir çerçeveye göre. Noktaya kolay olmasının sebebi: Bu çerçevede, her Hagihara gözlemci onun mekansal vektörler tutar radyal hizalanmış , böylece etrafında dönmesi merkezi masif nesne etrafında gözlemci yörüngelerde olarak. Ancak, bu gözlemi düzelttikten sonra, bir Hagihara gözlemcisi tarafından taşınan bir jiroskopun dönüş ekseninde küçük bir devinim kalır; bu, de Sitter devinim etkisidir ( jeodezik devinim etkisi olarak da bilinir ). ${\displaystyle {\vec {h}}_{1},\;{\vec {h}}_{3}}$${\displaystyle {\vec {h}}_{2}}$

genellemeler

Bu makale, çerçevelerin genel göreliliğe uygulanmasına ve özellikle fiziksel yorumlarına odaklanmıştır. Burada genel konsepti çok kısaca özetliyoruz. Bir n -boyutlu Riemann manifoldunda veya sözde Riemann manifoldunda , bir çerçeve alanı , manifolddaki her noktada teğet uzay için bir temel oluşturan bir dizi ortonormal vektör alanıdır . Bu, küresel olarak sürekli bir şekilde ancak ve ancak manifold paralelleştirilebilirse mümkündür . Daha önce olduğu gibi, çerçeveler belirli bir koordinat bazında belirtilebilir ve düz olmayan bir bölgede, onların ikili Lie parantezlerinden bazıları kaybolmaz.

Aslında, herhangi bir iç çarpım uzayı verildiğinde , için ortonormal tabanların tüm demetlerinden oluşan yeni bir uzay tanımlayabiliriz . Bu yapıyı her tanjant uzayına uygulamak , bir (sözde) Riemann manifoldunun ortonormal çerçeve demetini verir ve bir çerçeve alanı bu demetin bir bölümüdür. Daha genel olarak, herhangi bir vektör demeti ile ilişkili çerçeve demetlerini veya hatta keyfi ana fiber demetlerini düşünebiliriz . Notasyon biraz daha karmaşık hale gelir çünkü tabana atıfta bulunan indeksler ile fibere atıfta bulunan indeksler arasında ayrım yapmaktan kaçınmak daha zordur. Birçok yazar , fiber tarafından indekslenen bileşenlere atıfta bulunurken dahili bileşenlerden bahseder. ${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili V}$

Ayrıca bakınız

• Genel görelilikte kesin çözümler
• Georges Lemaitre
• Karl Schwarzschild
• Çerçeveleri taşıma yöntemi
• Paul Painlevé
• Vierbein
• Yusuke Hagihara

Referanslar

• Flanders, Harley (1989). Fizik Bilimlerine Uygulamalı Diferansiyel Formlar . New York: Dover. ISBN'si 0-486-66169-5.Bkz Bölüm IV çerçeveler için E ³ , daha sonra bakınız Bölüm VIII çerçeve alanları için Rieman manifoldları . Bu kitap aslında Lorentzian manifoldlarını kapsamıyor, ancak bu arka plan ile okuyucu bir sonraki alıntı için iyi hazırlanmış durumda.
• Misner, Charles; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). yerçekimi . San Francisco: WH Freeman. ISBN'si 0-7167-0344-0.Bu kitapta, bir çerçeve alanı (ko-çerçeve alanı), vektörlerin (kovektörler) anholonomik temeli olarak adlandırılır . Temel bilgiler geniş çapta dağılmıştır, ancak kapsamlı dizin kullanılarak kolayca bulunabilir.
• Landau, LD; Lifschitz, EF (1980). Alanların Klasik Teorisi (4. baskı) . Londra: Butterworth-Heinemann. ISBN'si 0-7506-2768-9.Bu kitapta, bir çerçeve alanı tetrad olarak adlandırılır ( Newman-Penrose formalizminde kullanılan şimdiki standart terim olan NP tetrad ile karıştırılmamalıdır ). Bölüm 98'e bakın .
• De Felice, F.; Clarke, CJ (1992). Eğri Manifoldlarda Görelilik . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN'si 0-521-42908-0.Çerçeveler ve ortak çerçeveler için Bölüm 4'e bakın . Çerçeve alanları hakkında daha fazla bilgiye ihtiyacınız olursa, burası bakmak için iyi bir yer olabilir!