Fermi–Makarna–Ulam–Tsingou problemi - Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou problem

Gelen fiziği , Fermi-Makarna-Ulam-Tsingou sorun veya eskiden Fermi-Makarna-Ulam problem açıktı paradoks içinde kaos teorisi birçok karmaşık yeterince fiziksel sistemler neredeyse tam sergilediğini periyodik olarak adlandırılan - davranışını Fermi-Makarna-Ulam-Tsingou nüks ( veya Fermi–Makarna–Ulam yinelemesi ) – beklenen ergodik davranış yerine . Bu sürpriz oldu, çünkü Fermi kesinlikle sistemin oldukça kısa sürede ısınmasını bekliyordu . Diğer bir deyişle, tüm titreşim modlarının , eş-bölme teoremine veya daha genel olarak ergodik hipoteze göre , sonunda eşit güçle ortaya çıkması bekleniyordu . Yine de burada, ergodik hipotezden kaçıyor gibi görünen bir sistem vardı. Tekrarlama kolayca gözlemlenebilse de, sonunda çok, çok daha uzun zaman dilimlerinde sistemin sonunda termalleştiği ortaya çıktı. Sistemin davranışını açıklamak için birbiriyle rekabet eden birçok teori öne sürülmüştür ve bu, aktif bir araştırma konusu olmaya devam etmektedir.

Asıl amaç, o zamanlar yeni olan MANIAC bilgisayarında sayısal simülasyona layık bir fizik problemi bulmaktı . Fermi, termalleştirmenin böyle bir zorluk teşkil edeceğini hissetti. Bu haliyle, matematiksel araştırmalarda dijital bilgisayarların en eski kullanımlarından birini temsil eder; Eşzamanlı olarak, beklenmedik sonuçlar doğrusal olmayan sistemlerin çalışmasını başlattı .

FPUT deneyi

Doğrusallık (mor) yoksa, bir moddaki tüm genlik o modda kalacaktır. Elastik zincire ikinci dereceden bir doğrusal olmayanlık eklenirse, enerji tüm modlar arasında yayılabilir, ancak yeterince uzun süre beklerseniz (bu animasyonda iki dakika), orijinal modda tüm genliğin geri geldiğini göreceksiniz.

1953 yazında Enrico Fermi , John Pasta , Stanislaw Ulam ve Mary Tsingou , doğrusal olmayan bir terim (bir testte ikinci dereceden, diğerinde kübik ve bir kübikte parçalı doğrusal bir yaklaşım) içeren titreşen bir sicimin bilgisayar simülasyonlarını gerçekleştirdi. bir üçüncü). Sistemin davranışının, sezginin onları beklediğinden oldukça farklı olduğunu buldular. Fermi birçok tekrardan sonra, sistem özelliğine sahip olabilecekleri düşünülmektedir termalizasyon , bir ergodic titreşim solmaya ilk mod ve sistemin etkisi daha fazla veya daha az tesadüfi ile hale geldiği davranışı daha az ya da eşit uyarılmış bütün modlarında . Bunun yerine, sistem çok karmaşık yarı-periyodik bir davranış sergiledi . Sonuçlarını 1955'te Los Alamos teknik raporunda yayınladılar. ( Enrico Fermi 1954'te öldü ve bu nedenle bu teknik rapor Fermi'nin ölümünden sonra yayınlandı.)

2020'de National Security Science dergisi, Tsingou hakkında, FPUT sorununa ilişkin yorumlarını ve tarihsel yansımalarını içeren bir makaleye yer verdi. Makalede Tsingou, “Bir gün orada Makarna ve Ulam ile oturduğumu hatırlıyorum” diyor ve “bilgisayarda yapabileceğimiz bazı problemler, bazı gerçekten matematiksel problemler” üzerine beyin fırtınası yapıyorlar. Birkaç şey denediler, ama sonunda “bu titreşen ipi buldular”.

FPUT deneyi, hem doğrusal olmayan sistem davranışının karmaşıklığını hem de sistemleri analiz etmede bilgisayar simülasyonunun değerini göstermesi açısından önemliydi.

İsim değişikliği

Orijinal makale Fermi, Pasta ve Ulam'ı yazar olarak adlandırıyor (her ne kadar Fermi rapor yazılmadan önce ölmüş olsa da), Tsingou'ya MANIAC simülasyonlarının programlanmasındaki çalışmaları için teşekkür ediyor . Mary Tsingou'nun FPUT sorununa katkıları, Thierry Dauxois ( 2008 ) gelişmeyle ilgili ek bilgiler yayınlayana ve sorunun kendisine de atfedilmesi için yeniden adlandırılması için çağrıda bulunana kadar topluluk tarafından büyük ölçüde göz ardı edildi .

FPUT kafes sistemi

Fermi, Pasta, Ulam ve Tsingou, aşağıdaki ayrık en yakın komşu bağlı osilatör sistemini çözerek titreşen ipi simüle ettiler. Açıklamayı Richard Palais'in makalesinde olduğu gibi takip ediyoruz . Kafes aralığının olduğu denge konumlarına sahip bir uzunluk dizisini temsil eden N osilatör olsun . Daha sonra pozisyonu j , zamanın bir fonksiyonu olarak inci osilatör olup , böylece dengeden değiştirmesini sağlar. FPUT aşağıdaki hareket denklemlerini kullandı: ${\görüntüleme stili\el }$${\displaystyle p_{j}=jh,\ j=0,\dots ,N-1}$${\displaystyle h=\ell /(N-1)}$${\displaystyle X_{j}(t)=p_{j}+x_{j}(t)}$${\görüntüleme stili x_{j}(t)}$

${\displaystyle m{\ddot {x}}_{j}=k(x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j})[1+\alpha (x_{j+1}- x_{j-1})].}$

(Not: Bu denklem, makalenin Fransızca versiyonunda verilen klasik denkleme eşdeğer değildir.)

Bu sadece Newton'un j -inci parçacık için ikinci yasasıdır . İlk faktör , kuvvet için sadece olağan Hooke kanunu formudur. Faktörü doğrusal olmayan kuvvettir. Biz tanımlayarak sürekli miktarlarda açısından bu yeniden yazabilirsiniz dalga hızı, olmak olan Young modülü dizesi ve yoğunluğudur: ${\displaystyle k(x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j})}$${\görüntüleme stili \alfa }$${\displaystyle c={\sqrt {\kappa /\rho }}}$${\görüntüleme stili \kappa =k/s}$${\görüntüleme stili \rho =m/s^{3}}$

${\displaystyle {\ddot {x}}_{j}={\frac {c^{2}}{h^{2}}}(x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{ j})[1+\alpha (x_{j+1}-x_{j-1})].}$

KdV denklemine bağlantı

Sicim için temel denklemlerin süreklilik limiti (kuadratik kuvvet terimi ile) Korteweg-de Vries denklemidir (KdV denklemi). Bu ilişkinin ve KdV denkleminin soliton çözümlerinin Martin David Kruskal ve Norman Zabusky tarafından keşfedilmesi 1965'te doğrusal olmayan sistem araştırmalarında önemli bir adım oldu. Palais'in makalesinde olduğu gibi, oldukça zor olan bu sınırın bir türevini aşağıda yeniden üretiyoruz. Yukarıdaki kafes denklemlerinin "sürekli biçiminden" başlayarak, önce u ( x ,  t ) 'yi dizenin x konumunda ve t zamanında yer değiştirmesi olarak tanımlarız . Böylece Sonra bir yazışmalar isteyeceksiniz olduğunu . ${\ Displaystyle u(p_{j},t)}$${\görüntüleme stili x_{j}(t)}$

${\displaystyle {\ddot {x}}_{j}={\frac {c^{2}}{h^{2}}}(x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{ j})[1+\alpha (x_{j+1}-x_{j-1})].}$

Küçük için ikinci faktörü yeniden yazmak için Taylor teoremini kullanabiliriz ( u'nun alt simgeleri kısmi türevleri gösterir): ${\görüntüleme stili h}$

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\sol({\frac {x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j}}{h^{2}}}\sağ)&={\ frac {u(x+h,t)+u(xh,t)-2u(x,t)}{h^{2}}}\\&=u_{xx}(x,t)+\left( {\frac {h^{2}}{12}}\sağ)u_{xxxx}(x,t)+O(h^{4}).\end{hizalı}}}$

Benzer şekilde, üçüncü faktördeki ikinci terim

${\displaystyle \alpha (x_{j+1}-x_{j-1})=2\alpha hu_{x}(x,t)+\left({\frac {\alpha h^{3}}} 3}}\sağ)u_{xxx}(x,t)+O(h^{5}).}$

Böylece, FPUT sistemi

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}u_{tt}-u_{xx}=(2\alpha h)u_{x}u_{xx}+\left({\frac {h) ^{2}}{12}}\sağ)u_{xxxx}+O(\alpha h^{2},h^{4}).}$

Terimleri yalnızca O ( h )'ye kadar tutmak ve bir sınıra yaklaştığını varsayarsak , ortaya çıkan denklem gözlenmeyen şoklar geliştiren bir denklemdir . Böylece O ( h ² ) terimi de korunur: ${\ Displaystyle 2\alfa h}$

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}u_{tt}-u_{xx}=(2\alpha h)u_{x}u_{xx}+\left({\frac {h) ^{2}}{12}}\sağ)u_{xxxx}.}$

Şimdi (sıradan yolculuk dalga çözümlerinin ayrışma motive aşağıdaki değiştirme yapmak dalga denklemi bu azaltır için, biz sadece sağ hareketli dalga düşünün böylece, sol ve sağ hareketli dalgalar halinde kaybolur). İzin ver . Bu koordinat değişikliği altında denklem şu hale gelir: ${\görüntüleme stili \alfa ,h}$${\displaystyle \xi =x-ct,\ \tau =(\alpha h)ct,\ y(\xi ,\tau )=u(x,t)}$

${\displaystyle y_{\xi \tau }-\left({\frac {\alpha h}{2}}\sağ)y_{\tau \tau }=-y_{\xi }y_{\xi \xi } -\sol({\frac {h}{24\alpha }}\sağ)y_{\xi \xi \xi \xi }.}$

Süreklilik limitini almak için, bunun bir sabite ve sıfıra eğilimli olduğunu varsayalım . alırsak , o zaman ${\görüntüleme stili \alfa /h}$${\görüntüleme stili \alfa ,h}$${\displaystyle \delta =\lim _{h\to 0}{\sqrt {h/(24\alpha )}}}$

${\displaystyle y_{\xi \tau }=-y_{\xi }y_{\xi \xi }-\delta ^{2}y_{\xi \xi \xi \xi }.}$

KdV denkleminde sonuç alınması : ${\displaystyle v=y_{\xi }}$

${\displaystyle v_{\tau }+vv_{\xi }+\delta ^{2}v_{\xi \xi \xi \xi }=0.}$

Zabusky ve Kruskal, KdV denkleminin soliton çözümlerinin, FPUT deneyinde dalgaların yarı-periyodikliğini açıklayan asimptotik şekilleri etkilemeden birbirlerinden geçebilecekleri gerçeği olduğunu savundular. Kısacası, sistemdeki belirli bir "soliton simetrisi" nedeniyle ısıllaşma gerçekleşememiştir, bu da ergodikliği bozmuştur.

Benzer bir dizi manipülasyon (ve yaklaşım) , tamamen entegre edilebilir bir sistem olmasıyla da ünlü olan Toda kafesine yol açar . O da soliton çözümlere, Lax çiftlerine sahiptir ve dolayısıyla FPUT modelindeki ergodikliğin eksikliğini tartışmak için de kullanılabilir .

Termalleştirmeye giden yollar

1966'da Izrailev ve Chirikov , yeterli miktarda başlangıç ​​enerjisi sağlanırsa sistemin termalleşeceğini öne sürdüler . Buradaki fikir, doğrusal olmamanın dağılım ilişkisini değiştirmesi ve enerjiyi bir moddan diğerine sızdıracak rezonans etkileşimlerinin gerçekleşmesine izin vermesidir . Bu tür modellerin bir incelemesi Livi ve ark . Yine de 1970'de Ford ve Lunsford, rastgele küçük başlangıç ​​enerjileriyle bile karıştırmanın gözlemlenebileceği konusunda ısrar ediyor. Soruna yaklaşımların uzun ve karmaşık bir tarihi vardır, (kısmi) bir araştırma için bkz. Dauxois (2008).

Onorato ve ark. termalleştirme için çok ilginç bir yol gösterir. FPUT modelini normal modlar cinsinden yeniden yazmak, doğrusal olmayan terim kendisini üç modlu bir etkileşim olarak ifade eder ( istatistiksel mekaniğin dilini kullanarak buna "üç fonon etkileşimi" denebilir .) Ancak, değildir. bir rezonant etkileşim , ve böylece bir moddan diğerine yayılması enerjisi mümkün değildir; yalnızca FPUT tekrarını oluşturabilir. Üç fonon etkileşimi sistemi termalleştiremez.

Bununla birlikte, önemli bir anlayış, bu modların "serbest" ve "bağlı" modların kombinasyonları olmasıdır. Yani, yüksek harmonikler temele "bağlıdır", tıpkı KdV denkleminin çözümlerindeki yüksek harmoniklerin temele bağlı olması gibi. Kendi dinamiklerine sahip değiller ve bunun yerine temele faz kilitli . Termalleştirme, varsa, yalnızca serbest modlar arasında olabilir.

Serbest modları elde etmek için, serbest olmayan (rezonans etkileşimlerine girmeyen) tüm modları kaldıran bir kanonik dönüşüm uygulanabilir. FPUT sistemi için bunu yapmak, dört dalga etkileşimi olan osilatör modlarıyla sonuçlanır (üç dalga etkileşimi kaldırılmıştır). Bu dörtlü, resonantly etkileşim yapmak yani do mix bir anda birlikte dört modu. Garip bir şekilde, FPUT zincirinde yalnızca 16, 32 veya 64 düğüm olduğunda, bu dörtlüler birbirinden izole edilir. Herhangi bir mod yalnızca bir dörtlüye aittir ve enerji bir dörtlüden diğerine sızamaz. Daha yüksek etkileşim derecelerine devam edildiğinde, rezonanslı altı dalgalı bir etkileşim vardır; ayrıca, her mod en az iki farklı altı-dalga etkileşimine katılır. Başka bir deyişle, tüm modlar birbirine bağlanır ve enerji tüm farklı modlar arasında aktarılır.

Üç dalga etkileşimi güçlüdür ( yukarıdaki önceki bölümlerde olduğu gibi). Dört dalga etkileşimi güçlüdür ve altı dalga etkileşimi güçlüdür . Etkileşimlerin korelasyonundan ( BBGKY hiyerarşisinden kaynaklanan) genel ilkelere dayanarak , termalleştirme süresinin etkileşimin karesi olarak çalışması beklenir . Bu nedenle, orijinal FPUT kafesi (16, 32 veya 64 boyutunda) sonunda bir zaman ölçeğinde termalleşecektir : açıkça, bu zayıf etkileşimler için çok uzun bir süre olur ; bu arada, FPUT tekrarı hız kesmeden devam edecek gibi görünecektir. Bu özel sonuç, bu belirli kafes boyutları için geçerlidir; farklı kafes boyutları için rezonanslı dört-dalga veya altı-dalga etkileşimleri modları birbirine karıştırabilir veya karıştırmayabilir (çünkü Brillouin bölgeleri farklı bir boyuttadır ve dolayısıyla dalga vektörlerinin toplamının sıfıra eşit olduğu kombinatorikler değiştirilir.) Genel Sınırlı modları doğrusallaştıran kanonik dönüşümleri elde etme prosedürleri aktif bir araştırma konusu olmaya devam etmektedir. ${\displaystyle 1/\alfa }$${\görüntüleme stili \alfa }$${\displaystyle 1/\alfa ^{2}}$${\displaystyle 1/\alfa ^{4}}$${\displaystyle 1/\alfa ^{8}}$${\displaystyle \alpha \ll 1}$

Referanslar

daha fazla okuma

• Dauxois, Thierry (2008). "Fermi, Makarna, Ulam ve gizemli bir hanımefendi". Fizik Bugün . 6 (1): 55–57. arXiv : 0801.1590 . Bibcode : 2008PhT....61a..55D . doi : 10.1063/1.2835154 . S2CID  118607235 .
• Fermi, E. ; makarna, J .; Ulam, S. (1955). "Doğrusal Olmayan Problemlerin Çalışmaları" (PDF) . Belge LA-1940. Los Alamos Ulusal Laboratuvarı. Alıntı günlüğü gerektirir |journal=( yardım )
• Grant, Virginia (2020). "Bayan Mary Tsingou'ya teşekkür ediyoruz" . Ulusal Güvenlik Bilimi. Kış 2020: 36-43.
• Zabusky, NJ ; Kruskal, MD (1965). "Çarpışmasız bir plazmada solitonların etkileşimleri ve ilk durumların tekrarı" . Fiziksel İnceleme Mektupları . 15 (6): 240–243. Bibcode : 1965PhRvL..15..240Z . doi : 10.1103/PhysRevLett.15.240 .
• Palais, R. (1997). "Solitonların Simetrileri" (PDF) . Amerikan Matematik Derneği Bülteni . 34 (4): 339-403. arXiv : dg-ga/9708004 . doi : 10.1090/S0273-0979-97-00732-5 . MR  1462745 . S2CID  14550937 .
• Dauxois, T.; Ruffo, S. (2008). "Fermi-Makarna-Ulam doğrusal olmayan kafes salınımları" . Scholarpedia . 3 (8): 5538. Bibcode : 2008SchpJ...3.5538D . doi : 10.4249/scholarpedia.5538 .
• Gallavatti, G. , ed. (2008). Fermi-Makarna-Ulam Problemi: Bir Durum Raporu . Fizik Ders Notları . 728 . Springer . ISBN'si 978-3-540-72994-5.
• Porter, MA; Zabusky, NJ ; Hu, B.; Campbell, DK (2009). "Fermi, Makarna, Ulam ve Deneysel Matematiğin Doğuşu" (PDF) . Amerikalı Bilim Adamı . 97 (3): 214–221. doi : 10.1511/2009.78.214 .
• Onorato, M.; Vozella, L.; Proment, D.; Lvov, Y. (2015). "α-Fermi-Makarna-Ulam sisteminde termalizasyona giden yol" (PDF) . Amerika Birleşik Devletleri Ulusal Bilimler Akademisi Bildirileri . 112 (14): 4208-4213. arXiv : 1402.1603 . Bibcode : 2015PNAS..112.4208O . doi : 10.1073/pnas.1404397112 . PMC  4394280 . PMID  25805822 .

Dış bağlantılar

• "Fermi Pasta Ulam: bilimsel hesaplamayı başlatan paradoks" .