Fermat eğrisi - Fermat curve

Fermat kübik yüzey ${\ displaystyle X ^ {3} + Y ^ {3} = Z ^ {3}}$

Gelen matematik , Fermat eğrisi olan cebirsel eğri olarak karmaşık yansıtmalı düzlemde tanımlanan homojen koordinatlarla, ( X : Y : Z ile) Fermat denklemi

${\ displaystyle X ^ {n} + Y ^ {n} = Z ^ {n}. \}$

Bu nedenle, afin düzlem açısından denklemi

${\ displaystyle x ^ {n} + y ^ {n} = 1. \}$

Fermat denklemine bir tamsayı çözümü , afin denklemine sıfır olmayan bir rasyonel sayı çözümüne karşılık gelir ve bunun tersi de geçerlidir. Ancak Fermat'ın Son Teoremine göre artık ( n  > 2 için) Fermat denkleminin önemsiz tam sayı çözümlerinin olmadığı bilinmektedir ; bu nedenle, Fermat eğrisinin önemsiz rasyonel noktaları yoktur.

Fermat eğrisi tekil değildir ve cinsi vardır

${\ displaystyle (n-1) (n-2) / 2. \}$

Bu, n = 2 ( konik ) durumu için cins 0 ve sadece n = 3 ( eliptik bir eğri ) için cins 1 anlamına gelir . Jakobyan çeşitli Fermat eğrisinin derinlemesine incelenmiştir. Karmaşık çarpım içeren basit değişmeli çeşitlerin bir ürünü için eşojendir .

Fermat eğrisinde de gonalite vardır

${\ displaystyle n-1. \}$

Fermat çeşitleri

Daha fazla değişkendeki Fermat tarzı denklemler , Fermat çeşitlerini yansıtmalı çeşitler olarak tanımlar .

İlgili çalışmalar

• Baker, Matthew; Gonzalez-Jimenez, Enrique; Gonzalez, Josep; Poonen, Bjorn (2005), "En az 2 cinsin modüler eğrileri için sonluluk sonuçları", American Journal of Mathematics , 127 (6): 1325–1387, arXiv : math / 0211394 , doi : 10.1353 / ajm.2005.0037 , JSTOR   40068023 CS1 Maint: önerilmeyen parametre ( bağlantı )
• Gross, Benedict H .; Rohrlich, David E. (1978), "Fermat Eğrisinin Jacobian'ının Mordell-Weil Grubu Üzerine Bazı Sonuçlar" (PDF) , Inventiones Mathematicae , 44 (3): 201–224, doi : 10.1007 / BF01403161 , arşivlendi 2011-07-13 tarihinde orijinal (PDF)
• Klassen, Matthew J .; Debarre, Olivier (1994), "Düz Düzlem Eğrilerinde Düşük Dereceli Noktalar", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1994 (446): 81–88, doi : 10.1515 / crll.1994.446.81 </ref>
• Tzermias, Pavlos (2004), "Hurwitz-Klein Eğrilerinde Düşük Dereceli Puanlar", Amerikan Matematik Derneği İşlemleri , 356 (3): 939–951, doi : 10.1090 / S0002-9947-03-03454-8 , JSTOR   1195002