Desargues teoremi - Desargues's theorem
Gelen Projektif geometri , Desargues teoremi adını, Girard Desargues , devletler:
- İki üçgen içindedir perspektiften eksenel ve ancak eğer onlar perspektifte olan merkezi .
Bir üçgenin üç köşesini a , b ve c ile ve diğerinin köşelerini A , B ve C ile gösterin . Eksenel perspektif , ab ve AB doğrularının bir noktada buluştuğu, ac ve AC doğrularının ikinci bir noktada buluştuğu ve bc ve BC doğrularının üçüncü bir noktada buluştuğu ve bu üç noktanın hepsinin , perspektif ekseni adı verilen ortak bir doğru üzerinde bulunduğu anlamına gelir . . Merkezi perspektif , Aa , Bb ve Cc çizgilerinin , perspektif merkezi olarak adlandırılan bir noktada eşzamanlı olduğu anlamına gelir .
Bu kesişim teoremi olağan Öklid düzleminde doğrudur, ancak istisnai durumlarda, örneğin bir çift kenarın paralel olduğu durumlarda, "kesişim noktasının" sonsuza kadar gerilemesi için özel dikkat gösterilmelidir. Genellikle, bu istisnaları ortadan kaldırmak için matematikçiler, Jean-Victor Poncelet'i izleyerek Öklid düzlemini sonsuzda noktalar ekleyerek "tamamlar" . Bu bir projektif düzlem ile sonuçlanır .
Desargues teoremi, gerçek yansıtmalı düzlem ve bir alan veya bölme halkasından aritmetik olarak tanımlanan herhangi bir yansıtmalı uzay için doğrudur ; ikiden büyük boyutlu herhangi bir projektif uzayı içeren veya Pappus teoreminin geçerli olduğu. Ancak, Desargues teoreminin yanlış olduğu birçok " Desargues dışı düzlem " vardır.
Tarih
Desargues bu teoremi hiçbir zaman yayınlamadı, ancak 1648'de yayınlanan perspektifin kullanımı üzerine pratik bir kitaba, Perspektif Kullanmak için M. Desargues'in Evrensel Yöntemi ( Manière evrenlle de M. Desargues pour practiquer la perspektif ) başlıklı bir ekte yer aldı. ve öğrenci Abraham Bosse (1602-1676).
koordinasyon
Desargues teoreminin soyut yansıtmalı geometrideki önemi, özellikle bir yansıtmalı uzayın bu teoremi, ancak ve ancak bir alan veya bölme halkası üzerinde tanımlanan bir yansıtmalı uzaya eşbiçimli olması halinde sağlamasından kaynaklanmaktadır.
Projektif ve afin uzaylar
Bir In afin uzay gibi Öklid düzleminde benzer bir ifade doğrudur, ancak yalnızca tek listeleri, çeşitli istisnalar paralel çizgiler içeren. Bu nedenle Desargues teoremi, doğal evi afin uzaydan ziyade projektif uzayda olan en basit geometrik teoremlerden biridir.
öz-dualite
Tanım olarak, iki üçgenler perspektif bir (eksenel olarak perspektif olarak, eşdeğer bu teoremine göre ya da,) ve eğer perspektif içinde sadece merkezi. Perspektif üçgenlerinin benzer olması gerekmediğini unutmayın .
Düzlem projektif geometrinin standart ikiliği altında (noktaların çizgilere karşılık geldiği ve noktaların eşdoğrusallığının çizgilerin eşzamanlılığına karşılık geldiği), Desargues'in teoreminin ifadesi kendi kendine çifttir: eksenel perspektif, merkezi perspektife çevrilir ve bunun tersi de geçerlidir. Desargues konfigürasyonu (aşağıda) kendi kendine çift konfigürasyondur.
İfadedeki bu kendi kendine ikilik, teoremi yazmanın alışılmış modern tarzından kaynaklanmaktadır. Tarihsel olarak, teorem sadece "bir projektif uzayda, bir çift merkezi perspektif üçgen eksenel olarak perspektiftir" şeklinde okunur ve bu ifadenin ikilisi Desargues teoreminin tersi olarak adlandırılır ve her zaman bu adla anılırdı.
Desargues teoreminin ispatı
Desargues teoremi herhangi bir alan ya da bölme halkası üzerinde herhangi bir boyutunun yansıtmalı alanı için de geçerlidir ve aynı zamanda boyut 2 bu adlandırılır sahip olan düzlemler 3. En az bir boyut soyut yansıtmalı boşluk için de geçerlidir Dezarg uçaklar ve düzlem ile aynı olduğu bir bölme halkası üzerinden koordinatlar verilebilir. Desargues teoreminin tutmadığı Desargues olmayan birçok düzlem de vardır .
Üç boyutlu kanıt
Desargues teoremi, en az 3 boyutlu herhangi bir projektif uzay için ve daha genel olarak en az 3 boyutlu bir uzaya gömülebilen herhangi bir projektif uzay için doğrudur.
Desargues teoremi şu şekilde ifade edilebilir:
- Aa , Bb ve Cc doğruları eşzamanlıysa (bir noktada buluşuyorsa), o zaman
- noktaları AB ∩ ab , AC ∩ ac ve BC ∩ bc vardır collinear .
Noktaları A , B , bir ve b nedeniyle assumed eş zamanlı eş-düzlemli (aynı düzlemde durur) olan Aa ve Bb . Bu nedenle, AB ve ab doğruları aynı düzleme aittir ve kesişmeleri gerekir. Ayrıca, iki üçgen farklı düzlemlerde yer alıyorsa, AB ∩ ab noktası her iki düzleme de aittir. Simetrik bir argümanla, AC ∩ ac ve BC ∩ bc noktaları da mevcuttur ve her iki üçgenin düzlemlerine aittir. Bu iki düzlem birden fazla noktada kesiştiği için kesişimleri üç noktayı da içeren bir doğrudur.
Bu, eğer iki üçgen aynı düzlemde yer almıyorsa, Desargues'in teoremini kanıtlar. Aynı düzlemdeyseler, Desargues'in teoremi düzlemde olmayan bir nokta seçilerek kanıtlanabilir, bunu üçgenleri düzlemden çıkarmak için kullanarak yukarıdaki argüman çalışır ve sonra tekrar düzleme yansıtılır. Projektif uzayın boyutu 3'ten küçükse ispatın son adımı başarısız olur, çünkü bu durumda düzlemde olmayan bir nokta bulmak mümkün değildir.
Monge teoremi aynı zamanda bir doğru üzerinde üç noktanın bulunduğunu ileri sürer ve aynı fikri kullanarak, onu iki boyuttan ziyade üç boyutta ele alarak ve doğruyu iki düzlemin kesişimi olarak yazarak bir ispatı vardır.
İki boyutlu kanıt
Bulunmadığından olmayan Dezarg yansıtmalı uçaklar Desargues teoremi doğru değildir ki, bazı ekstra koşullar bunu kanıtlamak için karşılanması gerekmektedir. Bu koşullar genellikle, belirli bir tipte yeterince çok sayıda paralelliğin varlığını varsayma biçimini alır ve bu da, altta yatan cebirsel koordinat sisteminin bir bölme halkası (skewfield) olması gerektiğinin gösterilmesine yol açar .
Pappus teoremi ile ilişkisi
Pappus'un altıgen teoremi , eğer bir AbCaBc altıgeni , a , b ve c köşeleri bir doğru üzerinde ve A , B ve C köşeleri ikinci bir doğru üzerinde olacak şekilde çizilirse , altıgenin her iki zıt tarafının da üzerinde olduğunu belirtir. bir noktada buluşan iki doğru ve bu şekilde oluşturulan üç nokta eşdoğrusaldır. Pappus teoreminin evrensel olarak doğru olduğu bir düzleme Pappian denir . Hessenberg (1905) , Desargues teoreminin Pappus teoreminin üç uygulamasından çıkarılabileceğini gösterdi.
Tersi bu sonucun tüm Dezarg uçakları Pappus değildir olduğunu, doğru değildir. Pappus teoremini evrensel olarak tatmin etmek, temeldeki koordinat sisteminin değişmeli olmasına eşdeğerdir . Değişmeli olmayan bir bölme halkası (bir alan olmayan bir bölme halkası) üzerinde tanımlanan bir düzlem bu nedenle Desarguesian olacaktır, ancak Pappian değil. Ancak, tüm sonlu bölme halkalarının alanlar olduğunu belirten Wedderburn'ün küçük teoremi nedeniyle , tüm sonlu Desargues düzlemleri Pappian'dır. Bamberg & Penttila (2015) sadece "temel" cebirsel gerçekleri (Wedderburn'un küçük teoreminin tam gücü yerine) kullanan bir kanıt sunsa da , bu gerçeğin bilinen tamamen geometrik bir kanıtı yoktur .
Desargues yapılandırması
Desargues teoreminde yer alan on doğru (üçgenlerin altı kenarı, üç doğru Aa , Bb ve Cc ve perspektif ekseni) ve ilgili on nokta (altı köşe, perspektif ekseni üzerindeki üç kesişme noktası ve perspektif merkezi), on çizginin her biri on noktadan üçünden geçecek ve on noktadan her biri on çizginin üçü üzerinde uzanacak şekilde düzenlenmiştir. Bu on nokta ve on çizgi , projektif bir konfigürasyon örneği olan Desargues konfigürasyonunu oluşturur . Desargues teoremi bu on çizgi ve nokta için farklı roller seçse de, Desargues konfigürasyonunun kendisi daha simetriktir : on noktadan herhangi biri perspektif merkezi olarak seçilebilir ve bu seçim hangi altı noktanın üçgenlerin köşeleri olacağını ve hangi altı noktanın olacağını belirler. hangi çizgi perspektif ekseni olacak.
Küçük Desargues teoremi
Bu kısıtlı versiyon, iki üçgen belirli bir çizgi üzerindeki bir noktadan perspektif ise ve iki çift karşılık gelen kenar da bu doğru üzerinde buluşuyorsa, o zaman üçüncü karşılık gelen kenar çifti de doğru üzerinde buluşur. Bu nedenle, Desargues Teoreminin yalnızca perspektif merkezinin perspektif ekseninde yer aldığı durumlara özelleştirilmesidir.
Bir Moufang düzlemi , küçük Desargues teoreminin her doğru için geçerli olduğu bir projektif düzlemdir.
Ayrıca bakınız
Notlar
Referanslar
- Albert, A. Adrian; Sandler, Reuben (2015) [1968], Sonlu Projektif Düzlemlere Giriş , Dover, ISBN 978-0-486-78994-1
- Bamberg, John; Penttila, Tim (2015), " Segre'nin Wedderburn's küçük teoreminin ispatını tamamlama" , Bulletin of the London Mathematical Society , 47 (3): 483-492, doi : 10.1112/blms/bdv021
- Casse, Rey (2006), Projektif Geometri: Bir Giriş , Oxford: Oxford University Press , ISBN 0-19-929886-6
- Coxeter, HSM (1964), Projektif Geometri , Blaisdell
- Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Geometriye Giriş (2. baskı), Wiley, ISBN 978-0-471-50458-0, MR 0123930
- Cronheim, Arno (1953), "Hessenberg teoreminin kanıtı", Proceedings of the American Mathematical Society , 4 (2): 219–221 , doi : 10.2307/2031794 , JSTOR 2031794 , MR 0053531
- Dembowski, Peter (1968), Sonlu Geometriler , Springer Verlag, ISBN 978-3-540-61786-0
- Hessenberg, Gerhard (1905), "Beweis des Desarguesschen Satzes aus dem Pascalschen", Mathematische Annalen , Springer, 61 (2): 161-172, doi : 10.1007/BF01457558 , ISSN 1432-1807
- Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometri ve Hayal Gücü (2. baskı), Chelsea, s. 119–128, ISBN 0-8284-1087-9
- Hughes, Dan; Piper, Fred (1973), Projektif Uçaklar , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90044-6
- Kárteszi, Ferenc (1976), Sonlu Geometrilere Giriş , Kuzey Hollanda, ISBN 0-7204-2832-7
- Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics:An Introduction (2nd ed.), Reading, Mass.: Addison Wesley Longman, ISBN 0-321-01618-1
- Pambuccian, Victor; Schacht, Celia (2019), "Pappus ve Desargues teoremlerinin aksiyomatik kaderi", Dani, SG; Papadopoulos, A. (ed.), Tarihte Geometri , Springer, s. 355–399, ISBN 978-3-030-13611-6
- Oda, Thomas G. ; Kirkpatrick, PB (1971), Miniquaternion Geometri , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-07926-8
- Smith, David Eugene (1959), Matematikte Bir Kaynak Kitap , Dover, ISBN 0-486-64690-4
- Stevenson, Frederick W. (1972), Projektif Uçaklar , WH Freeman, ISBN 0-7167-0443-9
- Voitsekhovskii, MI (2001) [1994], "Desargues varsayımı" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press