Kapalı kategori - Closed category

In kategori teorisi , bir kolu matematik , bir kapalı kategori özel bir türüdür kategori .

Bir içinde lokal olarak küçük bir kategori , dış Hom ( x , y ), bir nesnelerin bir çift haritalar grubu arasında Morfizm . Yani kümeler kategorisinde bu, kategorinin kendisinin bir nesnesidir. Aynı şekilde, kapalı bir kategoride, bir nesneden diğerine morfizmlerin (nesnesi) kategori içinde yatıyormuş gibi görülebilir. Bu dahili hom [ x , y ] 'dir.

Her kapalı kategorinin, kümeler kategorisi için unutkan bir işlevi vardır ve bu, özellikle iç hom'u harici ana konuma götürür.

Tanım

Bir kapalı kategori bir şekilde tanımlanabilir kategori bir sözde iç Hom funktor${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

${\ displaystyle \ sol [- \ - \ sağ]: {\ mathcal {C}} ^ {op} \ times {\ mathcal {C}} \ - {\ mathcal {C}}}$

sol Yoneda okları ile

${\ Displaystyle L: \ sol [B \ C \ sağ] \ sol [\ sol [A \ B \ sağ] \ sol [A \ C \ sağ] \ sağ]}$

Doğal olarak ve ve dinatural olarak ve sabit bir nesne arasında bir ile doğal izomorfik${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

${\ displaystyle i_ {A}: A \ cong \ sol [I \ A \ sağ]}$

ve doğaüstü bir dönüşüm

${\ displaystyle j_ {A}: I \ sola [A \ A \ sağa]}$ ,

hepsi belirli tutarlılık koşullarını karşılamaktadır.

Örnekler

• Kartezyen kapalı kategoriler , kapalı kategorilerdir. Özellikle, herhangi bir topo kapalıdır. Kanonik örnek, kümeler kategorisidir .
• Kompakt kapalı kategoriler , kapalı kategorilerdir. Kanonik örnek, nesneler olarak sonlu boyutlu vektör uzayları ve morfizmler olarak doğrusal haritalar içeren FdVect kategorisidir .
• Daha genel olarak, herhangi bir monoidal kapalı kategori , kapalı bir kategoridir. Bu durumda, nesne monoidal birimdir. ${\ displaystyle I}$

Referanslar

• Eilenberg, S. & Kelly, GM Kapalı kategoriler Kategorik Cebir Konferansı Bildirileri. ( La Jolla , 1965) Springer . 1966. s. 421–562
• Kapalı kategori içinde nLab