Bijective geçirmez - Bijective proof
Gelen kombinatorik , örten kanıt a, korumalı bir bulur teknik örten fonksiyonu f : A → B arasında iki sonlu kümeler A ve B , veya iki arasında bir boyutu koruyucu örten fonksiyonu kombinasyon sınıfları , bu nedenle aynı sayıda elemana sahip olduğunu kanıtlamaktadır | bir | = | B |. Biz boyutunu bilmek isteyen nerede tekniği yararlıdır biri yerdir A , ama onun unsurları sayarak doğrudan hiçbir yol bulabiliriz. Daha sonra bir eşleşme kuran bir bazı B durumunda olduğu sorunu çözer B daha kolay sayılabilir olup. Tekniğin diğer yararlı özelliği bir eşleşme kendisi doğası çoğu zaman kümelerinin her ya da her ikisi güçlü analizler sağlamasıdır.
içindekiler
Temel örnekler
Tepe değeri simetri kanıtlanması
Tepe değeri simetrisi bildiren
Bu tam olarak çok var demektir kombinasyonları arasında k kümesindeki n kombinasyonları olduğu gibi n - k bir sette n .
bijective geçirmez
Bir grup dışına seçilmesi: İspat anahtar fikri basit bir örnekle de anlaşılacağı n hangi çocuklarda k dondurma koni ile ödüllendirmek tam yerine seçerek aynı etkiye sahiptir, n - k çocukları bunları inkar etmek. Daha soyut ve genel olarak, iki miktarları eşit saymak olduğu ileri sürülen dikkat boyut alt kümeleri k ve n - k herhangi sırasıyla, n -eleman seti S . İki aile arasında basit bijection yoktur F k ve K n - k alt kümelerinin S : Her ilişkilendiren k onun ile -eleman alt kümesini tamamlayıcı tam kalan içeren, n - k unsurları S . Yana F k ve F n - k elemanlar aynı sayıda karşılık gelen binom katsayıları eşit olmalıdır.
Pascal üçgeni nüks ilişkisi
bijective geçirmez
Kanıt . Biz seçim için yollar sayısını k bir öğeleri n -SET. Yine, tanımı gereği, denklemin sol tarafı seçmek için yollar sayısıdır k dan n . 1 ≤ yana k ≤ n - 1, biz sabit bir eleman seçebilirsiniz e gelen n kalan alt kümesi boş değildir ki -SET. Her biri için k ise -SET, e seçilir vardır
Kalan seçmek için yollar k - Kalan arasında 1 elemanlar n - 1 seçenekleri; Aksi vardır
yolları kalan seçim için k kalan arasında elemanları n 1 seçimler -. Bu nedenle, var
yolları seçmek için k olmadığına bağlı elemanlar e sağ taraf ifadesinde olduğu gibi, her seçim dahildir.
Diğer örnekler
Kombinatoryal deliller itiraf Sorunları binom katsayısı kimlikler sınırlı değildir. Sorun artar karmaşıklığı gibi, bir kombinatoryal geçirmez çok sofistike hale gelebilir. Bu teknik alanlarda faydalı olan ayrık matematik gibi kombinatorik , grafik teorisi ve sayı teorisi .
kombinasyon hesaplarının bijective delillerinden en klasik örnekler:
- Prüfer sekansı bir kanıt verme, Cayley, formül sayısı için etiketli ağaçlar .
- Algoritması Robinson Schensted bir kanıtı veren Burnside 'la formülünün simetrik grubu .
- Konjugasyon ait Genç şemalar belli sayısına klasik bir sonucu bir kanıtı veren tamsayı bölümleri .
- Ait bijective deliller beşgen sayı teoremi .
- İçin formül bijective deliller Katalan numaralar .
Ayrıca bakınız
- Binom teoremi
- Schröder-Bernstein teoremi
- Çift sayma (kanıt tekniği)
- kombinatoryal ilkeler
- kombinatoryal geçirmez
- Categorification
Dış bağlantılar
- "Üçe bölme" - Doyle tarafından Conway .
- "Kanca uzunluğu formül doğrudan örten korumalı" - Novelli tarafından Pak ve Stoyanovsky.
- "Örten sayımı ve öngörülen tepe derece Euler düzlemsel haritaları rasgele nesil" - Gilles Schaeffer ile.
- "Gauss Polinomlarının Unimodality Kathy O'Hara'nın Yapıcı Kanıtı" - tarafından Doron Zeilberger .
- "Bölme Bijections bir Araştırması" - tarafından İgor Pak .
- Garsia-Milne İnvolüsyon Prensibi - dan MathWorld .
Referanslar
- Loehr Nicholas A. (2011). Bijective Kombinatorik . CRC Press . ISBN 143984884X , ISBN 978-1439848845 .