Schröder–Bernstein teoremi - Schröder–Bernstein theorem

Gelen grubu teori , Schröder-Bernstein teoremi mevcut ise, bildiren injektif fonksiyonları f  : A → B ve g  : B → A arasındaki kümeler bir ve B , daha sonra vardır örten fonksiyonu h  : A → B .

İki kümenin kardinalitesi açısından bu, klasik olarak şu anlama gelir: eğer | bir | ≤ | B | ve | B | ≤ | bir | , sonra | bir | = | B | ; olduğu, A ve B olarak eş değerde . Bu, kardinal sayıların sıralanmasında kullanışlı bir özelliktir .

Teorem, Felix Bernstein ve Ernst Schröder'in adını almıştır . Kanıt olmadan ilk kez yayınlayan Georg Cantor'dan sonra Cantor-Bernstein teoremi veya Cantor-Schröder-Bernstein olarak da bilinir .

Kanıt

König'in bir önerme tanımı h : A  →  B verilen örnek enjeksiyonlardan f : A  →  B ve g : B  →  A . A ve B'deki bir eleman sırasıyla bir sayı ve bir harf ile gösterilir. 3 → e → 6 → ... dizisi, h (3) =  f (3) =  e , h (6) =  f (6), ... tanımlarına götüren bir A durdurucudur. d dizisi  → 5 →  f  → ... bir B -durdurucudur, h (5) =  g ^-1 (5) =  d , .... dizisi ... →  a  → 1 →  c  → 4 → .. . çift sonsuzdur, h (1) =  g ^-1 (1) =  a , h (4) =  g ^-1 (4) =  c , ...'ye yol açar. b  → 2 →  b dizisi döngüseldir, önde gelen için saat (2) =  gr ^-1 (2) =  b .

Aşağıdaki kanıt Julius König'e atfedilir .

O genelliği kaybetmeden varsayalım A ve B olan ayrık . Herhangi biri için , a içinde A ya da B içinde B biz dönüşümlü olan elemanların özel bir iki taraflı dizisi oluşturabilir A ve B tekrar tekrar uygulanarak ve gitmek için A için B ve ve gitmek için B için A tanımlandığı burada (; tersler ve ispatın bu aşamasında kısmi fonksiyonlar olarak anlaşılır .) ${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili g^{-1}}$${\görüntüleme stili g}$${\görüntüleme stili f^{-1}}$${\görüntüleme stili f^{-1}}$${\görüntüleme stili g^{-1}}$

${\displaystyle \cdots \rightarrow f^{-1}(g^{-1}(a))\rightarrow g^{-1}(a)\rightarrow a\rightarrow f(a)\rightarrow g(f( a))\sağ ok \cdots }$

Herhangi bir özel a için bu dizi, tanımlı veya tanımsız bir noktada sola doğru veya bitmeyebilir. ${\görüntüleme stili f^{-1}}$${\görüntüleme stili g^{-1}}$

Gerçeği tarafından ve injektif fonksiyonlarıdır, her bir de A ve B olarak B sadece bir tane sırayla kimliğindeki için: bir eleman iki dizideki oluşursa, sola ve sağa doğru elemanlar hem de aynı olmalıdır , dizilerin tanımına göre. Bu nedenle, diziler A ve B'nin (ayrık) birliğinin bir bölümünü oluşturur . Bu nedenle , dizilerin her birinde ayrı ayrı A ve B öğeleri arasında aşağıdaki gibi bir bijection üretmek yeterlidir : ${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili g}$

Bir sekansı, bir çağrı bir stoper bunun bir öğesi de durursa A ya da bir B-durdurucu bunun bir öğesi de durursa B . Aksi takdirde, tüm öğeler farklıysa çift ​​sonsuz veya tekrarlıyorsa döngüsel olarak adlandırın . Örnekler için resme bakın.

• Bir A durdurucu için işlev , A'daki öğeleri ile B'deki öğeleri arasında bir eşleştirmedir .${\görüntüleme stili f}$
• Bir B durdurucu için işlev , B'deki öğeleri ile A'daki öğeleri arasında bir eşleştirmedir .${\görüntüleme stili g}$
• Bir için çift sonsuz dizisi ya da bir siklik dizisi, ya da ya da yapacak ( resimde kullanılır).${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili g}$${\görüntüleme stili g}$

Tarih

Geleneksel adı "Schröder–Bernstein", 1898'de bağımsız olarak yayınlanan iki ispata dayanmaktadır. Teoremi ilk kez 1887'de belirttiği için Cantor sıklıkla eklenirken, Schröder'in adı genellikle atlanır, çünkü ispatı kusurlu olduğu için Richard'ın adı Bunu ilk ispatlayan Dedekind , teoremle bağlantılı değildir. Bernstein'a göre Cantor, denklik teoremi (Äquivalenzsatz) adını önermişti .

Cantor'un teoremin ilk ifadesi (1887)

• 1887 Cantor , teoremi kanıtlamadan yayınlar.
• 1887 11 Temmuz'da Dedekind ( seçim aksiyomuna dayanmadan) teoremi ispatlar, ancak kanıtını ne yayınlar ne de Cantor'a bundan bahsetmez. Ernst Zermelo Dedekind kanıtı keşfetti ve 1908 yılında o dayalı kendi kanıtını yayınlar zincir teorisi Dedekind kağıttan sind und die Zahlen sollen edildi oldu mu?
• 1895 Cantor teoremi küme kuramı ve sonlu-ötesi sayılar üzerine ilk makalesinde belirtir. Bunu, kardinal sayıların doğrusal sırasının kolay bir sonucu olarak elde eder. Ancak, 1915'te Friedrich Moritz Hartogs tarafından tercih edilen aksiyomla eşdeğer olduğu gösterilen ikinci teoremi kanıtlayamadı .
• 1896 Schröder bir ispatı açıklar ( Jevons'ın bir teoreminin doğal sonucu olarak ).
• 1897 Cantor's Seminar'da 19 yaşında bir öğrenci olan Bernstein kanıtını sunar.
• 1897 Neredeyse aynı anda, ancak bağımsız olarak, Schröder bir kanıt bulur.
• 1897 Bernstein'ın ziyaretinden sonra Dedekind bağımsız olarak teoremi ikinci kez ispatlar.
• 1898 Bernstein'ın ispatı (seçim aksiyomuna dayanmayan) Émile Borel tarafından fonksiyonlar üzerine kitabında yayınlandı. ( Zürih'teki 1897 Uluslararası Matematikçiler Kongresi'nde Cantor tarafından tebliğ edilmiştir .) Aynı yıl, kanıt Bernstein'ın tezinde de yer almaktadır.
• 1898 Schröder kanıtını yayınlar, ancak Alwin Reinhold Korselt tarafından 1902'de (Schröder'in ölümünden hemen önce) hatalı olduğu gösterilir (Schröder tarafından onaylanmıştır), ancak Korselt'in makalesi sadece 1911'de yayınlanır.

Dedekind'in her iki kanıtı da ünlü 1888 anısına dayanıyor Was sind und was sollen die Zahlen? ve Cantor'un makalesindeki A  ⊆  B  ⊆  C ve | bir | = | C | ima eder | bir | = | B | = | C |. Cantor, bu özelliği 1882/83 gibi erken bir tarihte küme teorisi ve transfinit sayılar konusundaki çalışmaları sırasında gözlemledi ve bu nedenle (dolaylı olarak) Seçim Aksiyomu'na güveniyordu .

Önkoşullar

Cantor'un 1895 ispatı , iyi sıralama teoreminin bir sonucu olarak sonucu çıkararak seçim aksiyomuna dayanıyordu . Bununla birlikte, König'in yukarıda verilen ispatı , sonucun seçim aksiyomu kullanılmadan da ispatlanabileceğini göstermektedir.

Öte yandan, König'in ispatı, vakalara analiz yapmak için hariç tutulan orta ilkesini kullanır , bu nedenle bu ispat yapıcı küme teorisinde çalışmaz . Dahası, Schröder-Bernstein teoremi dışlanmış orta ilkesini ima ettiğinden, yalnızca yapıcı küme teorisinden (yani dışlanmış orta ilkesini dağıtarak) hiçbir kanıt var olamaz. Bu nedenle, sezgiciler teoremi kabul etmezler.

Tarski'nin sabit nokta teoremini kullanan bir kanıt da var .

Ayrıca bakınız

• Myhill izomorfizm teoremi
• ölçülebilir uzaylar için Schröder-Bernstein teoremi
• Operatör cebirleri için Schröder-Bernstein teoremleri
• Schröder-Bernstein özelliği

Notlar

Referanslar

• Martin Aigner & Gunter M. Ziegler (1998) KİTAPTAN Kanıtlar , § 3 Analiz: Kümeler ve fonksiyonlar, Springer kitapları MR 1723092 , beşinci baskı 2014 MR 3288091 , altıncı baskı 2018 MR 3823190
• Hinkis, Arie (2013), Cantor-Bernstein teoreminin Kanıtları. Matematiksel bir gezi , Science Networks. Tarihsel Çalışmalar, 45 , Heidelberg: Birkhäuser/Springer, doi : 10.1007/978-3-0348-0224-6 , ISBN 978-3-0348-0223-9, MR  3026479
• Searcóid, Míchael Ó (2013). "Eşdeğerlik teoreminin tarihi ve matematiği Üzerine". İrlanda Kraliyet Akademisi'nin Matematiksel Bildirileri . 113A : 151–68. doi : 10.3311/PRIA.2013.113.14 . JSTOR  42912521 .

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric W. "Schröder-Bernstein Teoremi" . Matematik Dünyası .
• Cantor-Schroeder-Bernstein teoremi içinde nLab
• Bir Semiring'de Cantor-Bernstein Teoremi, Marcel Crabbé.
• Bu makale , Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License altında lisanslanan ancak GFDL kapsamında olmayan Citizendium makalesi " Schröder-Bernstein_theorem " den materyal içermektedir .