Bezout alanı - Bézout domain

In matematik , bir Bezout alanı bir şeklidir Prüfer etki . Bir olan entegre alan , iki toplamı olan ana idealleri tekrar bir ana idealdir. Bu elemanların her çift için bir olduğu anlamına gelir Bezout kimlik tutar ve her sonlu oluşturulan yere esastır. Herhangi bir temel ideal alan (PID) bir Bezout alanı olmakla birlikte, bir Bezout alan bir olması gerekmez Notherian halka , bu nedenle (tabii ki bir PID olmak barındırmayan) olmayan sonlu oluşturulan ideale sahip olabilir; eğer öyleyse, bu bir değil tek çarpanlama (UDF), ama yine de bir olduğunu OBEB alanı . Bezout etki teorisi Notherian özelliği gerektirmeden, PID özelliklerinin çoğunu muhafaza eder. Bezout etki adını taşır Fransız matematikçi Étienne Bezout .

Örnekler

  • Tüm PID'ler Bezout alandır.
  • Olmayan PID vardır Bezout alan örnekleri, bir halka dahil tüm fonksiyonları (bütün kompleks düzlemde holomorfik fonksiyonlar), ve bir halka cebirsel tamsayı . Tam fonksiyonların durumunda, sadece indirgenemez elemanlar fonksiyonlar ile ilişkili derecede 1 bir polinom fonksiyonu, yani bir elemanın bu sonlu sayıda sıfır sahip olması gerekir faktorize sahiptir. Aynı zamanda bir cebirsel tamsayı olan herhangi bir cebirsel tamsayı onun karekök (örneğin) için çünkü cebirsel tamsayılar durumunda, hiç indirgenemez unsur vardır. Bu halka bu kadar kesinlikle PID değil UFD değildir ve her iki durumda da gösterir.
  • Değerleme halkaları Bezout alandır. Olmayan herhangi bir Notherian değerleme halkası olmayan bir Noetherian Bezout alanının bir örneğidir.
  • Aşağıdaki genel yapı, Bezout alan üreten S herhangi Bezout alan bir UDF değildir , R , bir PID ile ilgili, örneğin, bir alan değildir; durumda R = Z aklında temel bir örnektir. Let F olması fraksiyonların alan bir R , ve koyun S = R + XF [ X ] , polinomların alt halka F : [ X, sabit terimi ile] R . Gibi bir element, çünkü bu halka, Notherian değildir X sıfır sabit terim ile bir noninvertible elemanları tarafından süresiz ayrılabilir R hala noninvertible olan, S , ve bütün bu katsayılar ile oluşturulan yere sonlu oluşturulmaz (ve böylece X, var hiçbir çarpanlara S ). O şöyle bir gösteren S bir Bezout etki alanıdır.
  1. Her çift için kanıtlamak için yeterli bir , b de S orada mevcut s , t olarak S şekilde olarak + bt hem böler a ve b .
  2. Eğer bir ve b bir ortak böleni var d , bunun için bu kanıtlamak için yeterli bir / d ve b / d aynı beri, s , t yapacağız.
  3. Biz polinomları varsayabiliriz a ve b sıfırdan farklı; a sıfır sabit bir terim olan iki, daha sonra izin N bunlardan en az biri, sıfırdan farklı bir katsayısına sahip olacak şekilde en az üs olarak X, n ; Bir bulabilirsiniz f olarak F , öyle ki FX n ortak bir böleni olan bir ve b onun tarafından ve bölme.
  4. Bu nedenle en az birini varsayabiliriz bir , b sıfırdan farklı sabit terimi var. Eğer bir ve b unsurları olarak görülen F [ X ] aralarında asal olmayan bir en büyük ortak bölen olduğu bir ve B sabit terim 1 vardır ve bu nedenle yatıyor UDF içinde S ; Bu faktörle bölebilirsiniz.
  5. Bu nedenle de varsayalım bir ve b nispeten büyük asal olan F [ X- 1 yalan, böylece] Af [ X ] + bF [ X ] ve bir sabit polinom R de R yatmaktadır aS + gn s . Ayrıca, çünkü R , bir Bezout alan gcd olan d olarak R sabit terimlerin bir 0 ve b 0 yatmaktadır bir 0 R + b 0 , R . Sabit terimi herhangi bir eleman için, böyle bir - bir 0 ya da b - b , 0 , sıfır olmayan herhangi bir sabit ile bölünebilen, sabit d ortak bölenin S arasında bir ve b ; bunu bir aslında yattığını göstererek büyük ortak böleni olan göstermemelidir aS + bs . Çarpılması bir ve b için Bezout katsayıları sırasıyla d ile ilgili olarak , bir 0 ve b 0 polinom verir p de aS + gn s sabit terimi ile d . Sonra p - D sıfır sabit bir terim olan, ve bu nedenle de bir katı olan S sabit polinom bir r ve bu nedenle yatar aS + gn s . Ama sonra d ispatı tamamlar hangi yanı yok.

Özellikleri

Herhangi iki unsur bir var olduğu bir tamlık ve sadece eğer bir halka Bezout etki alanıdır büyük ortak böleni bir olan doğrusal kombinasyonu iki elemanlar tarafından oluşturulan ideal de olduğunu bu ifadeye eşdeğerdir: Bunlardan tek bir eleman tarafından oluşturulur ve indüksiyon tüm sonlu oluşturulan idealler temel olduğunu göstermektedir. Lineer bir kombinasyonu olarak bir PID iki eleman büyük ortak bölen sentezlenmesi sık sık denir Bezout kimlik terminolojisi nereden.

Yukarıdaki gcd koşul gcd varoluşu daha güçlü olduğunu unutmayın. Bir gcd herhangi iki eleman için var bir tamlık denen elusyonu alan ve böylece Bezout etki GCD'yı etki vardır. Özel olarak, bir Bezout etki, irreducibles olan asal (ama cebirsel tamsayı örnekte gösterildiği gibi, bunlar mevcut değildir).

Bir Bezout alanı için , R , aşağıdaki koşulların tümü eşdeğerdir:

  1. R, bir ana doğru etki alanıdır.
  2. R, Notherian olup.
  3. R, a, tek çarpanlama (UDF).
  4. R, tatmin ana idealler artan zincir koşulu (ACCP).
  5. Her sıfır olmayan nonunit R irreducibles bir ürün (R, olduğu dahil olmaktadır atom alan ).

(1) ve (2) Yukarıda da belirtildiği denkliği. Bir Bezout alan bir elusyonu alanı olduğu için, (3), (4) ve (5) eşdeğerdir hemen izler. Son olarak, R, Noetherian değil, daha sonra ana ideallerin sonsuz artan zincir vardır sonlu üretilmiş ideallerin sonsuz artan zinciri vardır, bu nedenle Bezout etki. (4) ve (2) bu şekilde eşdeğerdir.

Bir Bezout alan a, Prüfer alan , yani, bir alan içinde her sonlu oluşturulan yere tersinirdir, ya da başka bir yol, bir değişmeli bahsedilen semihereditary alan).

Bunun sonucu olarak, daha tanıdık "PID IFF benzer olarak "Prüfer alanı ve GCD'yı-etki iff Bezout alan" denklik görüntüleyebilir Dedekind ve UFD".

Prüfer etki olan entegre alanlar olarak karakterize edilebilir lokalizasyonları hiç asal (eşit biçimde, hiç maksimal ) ideallerdir değerleme etki . Yani bir asal ideali bir Bezout etki lokalizasyonu bir değerleme etki alanıdır. Bir de bir ters çevrilebilir idealdir yana yerel halka esastır, yerel halka bir değerleme alanı IFF bir Bezout etki alanıdır. Ayrıca, siklik-olmayan (eşdeğer olmayan bir değer alanı ayrı ayrı ) değerinin grubu Notherian değildir ve her tamamen sıralı değişmeli grubu bir değerleme etki değeri grubudur. Bu sigara Noetherian Bezout alanlarının pek çok örnek vermektedir.

Nonkomutatif cebirinde doğru Bezout etki biçimi olan sonlu üretilmiş doğru idealleri ana doğru ideallerdir, yani etki vardır XR bazıları için , x in R . Kayda değer bir sonuç sağ Bezout alanı sağ olmasıdır Cevher alanı . Çünkü bu durum, değişmeli durumda ilginç değil her değişmeli alanı bir cevher etki alanıdır. Sağ Bezout alanlar ayrıca sağ semihereditary halkalar bulunmaktadır.

Bir Bezout alan adını üzerine Modülleri

Bir PID üzerinde modüllerin ilgili bazı gerçekler Bezout alan adını üzerine modülleri uzanır. Let R, bir Bezout alan ve olduğu E üzerinde sonlu oluşturulan modül R . Sonra M düz ise ve torsiyon içermeyen ise.

Ayrıca bakınız

Referanslar

  • Cohn, PM (1968), "Bezout yüzük ve onların alt halkalar" (PDF) , Proc. Cambridge Philos. Soc. , 64 : 251-264, doi : 10,1017 / s0305004100042791 , MR  0222065
  • Helmer, Olaf (1940), "ayrılmaz fonksiyonların bölünebilme özellikleri", Duke matematik. J. , 6 : 345-356, DOI : 10,1215 / s0012-7094-40-00626-3 , ISSN  0012-7094 , MR  0.001.851
  • Kaplansky, Irving (1970), Değişmeli halkalar , Boston, MA .: Allyn and Bacon Inc., s. X + 180, MR  0.254.021
  • Bourbaki Nicolas (1989), Değişmeli cebri
  • Hazewinkel Michiel , ed. (2001) [1994], "Bezout halka" , Matematik Ansiklopedisi , Springer BV / Kluwer Academic Publishers, ISBN  978-1-55608-010-4