Kesinlikle entegre edilebilir fonksiyon - Absolutely integrable function

Gelen matematik bir kesinlikle integre fonksiyonu a, fonksiyonu olan mutlak değeri olan entegre edilebilir bütün üzerinde mutlak değer ayrılmaz, yani etki sonlu.

Bir İçin gerçek -valued fonksiyonu beri

nerede

Her iki ve sonlu olması gerekir. In Lebesgue entegrasyonu , bu tam herhangi biri için gerekliliktir ölçülebilir fonksiyon f eşit ardından integrali ile, integrallenebilen dikkat edilmesi gereken böylece aslında "kesinlikle integrallenebilir" ölçülebilir fonksiyonlar için "Lebesgue integrallenebilir" aynı anlama geldiğini,. ${\textstyle \int f^{+}(x)\,dx}$${\textstyle \int f^{-}(x)\,dx}$ ${\textstyle \int f^{+}(x)\,dx-\int f^{-}(x)\,dx}$

Aynı şey karmaşık değerli bir işlev için de geçerlidir. tanımlayalım

Nerede ve Hangi gerçek ve sanal kısımları arasında . Sonra ${\görüntüleme stili \Re f(x)}$${\görüntüleme stili \Im f(x)}$${\görüntüleme stili f(x)}$

$${\displaystyle |f(x)|\leq f^{+}(x)+f^{-}(x)+f^{+i}(x)+f^{-i}(x)\leq {\sqrt {2}}\,|f(x)|}$$

Bu yüzden

$${\displaystyle \int |f(x)|\,dx\leq \int f^{+}(x)\,dx+\int f^{-}(x)\,dx+\int f^{+i} (x)\,dx+\int f^{-i}(x)\,dx\leq {\sqrt {2}}\int |f(x)|\,dx}$$

Bu, (ortadaki) dört integralin toplamının ancak ve ancak mutlak değerin integrali sonluysa sonlu olduğunu ve fonksiyonun yalnızca dört integralin tümü sonluysa Lebesgue ile integrallenebilir olduğunu gösterir. Bu nedenle, mutlak değerin sonlu bir integraline sahip olmak, fonksiyonun "Lebesgue integrallenebilir" olma koşullarına eşdeğerdir.

Dış bağlantılar

• "Kesinlikle entegre edilebilir fonksiyon - Matematik Ansiklopedisi" . 9 Ekim 2015'te alındı .