Euler açıları - Euler angles

Klasik Euler açıları geometrik tanımı. Xyz (sabit) sistemi mavi renkte gösterilir, XYZ (döndürülmüş) sistemi kırmızı gösterilir. Düğüm hattı ( N ) yeşil gösterilir

Euler açıları ile getirilen üç açılar Leonard Euler açıklamak için yönlendirme a sert gövdesinin sabit bir göre koordinat sistemi .

Ayrıca, bir mobil yönünü temsil referans çerçevesi fizik veya genel yönelimine esas olarak 3 boyutlu doğrusal cebir. Alternatif formlar daha sonra Peter Guthrie Tait ve George H. Bryan tarafından havacılık ve mühendislikte kullanılmak üzere tanıtıldı .

Zincirleme rotasyon eşdeğerliği

Bilinen bir referans oryantasyonundan başlayarak, büyüklükleri hedef oryantasyonunun Euler açıları olan spesifik bir içsel rotasyon dizisi kullanılarak herhangi bir hedef oryantasyona ulaşılabilir. Bu örnek, zx′-z″ dizisini kullanır .

Euler açıları, element geometrisi veya dönüşlerin bileşimi ile tanımlanabilir . Geometrik tanım, herhangi bir hedef çerçeveye ulaşmak için birleştirilmiş üç elementel dönüşün (bir koordinat sisteminin eksenleri etrafındaki dönüşler ) her zaman yeterli olduğunu gösterir.

Üç temel dönüş, dışsal ( hareketsiz kaldığı varsayılan orijinal koordinat sisteminin eksenleri xyz etrafındaki dönüşler ) veya içsel (dönen koordinat sistemi XYZ'nin eksenleri etrafındaki dönüşler , hareket eden gövdeyle birleşen, onun konumunu değiştiren) olabilir. her elementel rotasyondan sonra oryantasyon).

Euler açıları tipik olarak α , β , γ veya ψ , θ , φ olarak gösterilir . Farklı yazarlar, Euler açılarını tanımlamak için farklı döndürme eksenleri veya aynı açılar için farklı isimler kullanabilir. Bu nedenle, Euler açılarını kullanan herhangi bir tartışma her zaman tanımlarından önce gelmelidir.

Dönme eksenlerinin (içsel veya dışsal) tanımı için iki farklı kuralı kullanma olasılığını göz önünde bulundurmadan, iki gruba ayrılmış on iki olası döndürme ekseni dizisi vardır:

  • Uygun Euler açıları ( z - x - z , x - y - x , y - z - y , z - y - z , x - z - x , y - x - y )
  • Tait–Bryan açıları ( x - y - z , y - z - x , z - x - y , x - z - y , z - y - x , y - x - z ) .

Tait-Bryan açılarına Kardan açıları da denir ; deniz açıları ; başlık , yükseklik ve banka ; ya da yaw, pitch ve roll . Bazen her iki tür diziye de "Euler açıları" denir. Bu durumda, birinci grubun dizilerine uygun veya klasik Euler açıları denir .

Uygun Euler açıları

Sol: Bir z - x - z dönüş dizisini gösteren bir yalpa seti . Tabanda gösterilen dış çerçeve. Kırmızı renkte iç eksenler. Sağda: Bir diyagramda benzer Euler açılarını gösteren basit bir diyagram.

geometrik tanım

Orijinal çerçevenin eksenleri x , y , z , döndürülen çerçevenin eksenleri ise X , Y , Z olarak gösterilir . Geometrik tanımı (bazen statik olarak da adlandırılır) tanımlayarak başlar düğüm hattı düzlemleri kesişimi olarak (N) xy ve XY (ayrıca eksenleri ortak bu dik olarak tanımlanabilir z ve Z ve aşağıdaki gibi yazılabilir vektör ürünü N = z Z ). Bunu kullanarak, üç Euler açısı aşağıdaki gibi tanımlanabilir:

  • (veya ) x ekseni ile N ekseni arasındaki işaretli açıdır ( x- kavramı - y ve N arasında da tanımlanabilir , y- kavramı olarak adlandırılır ).
  • (veya ) z ekseni ile Z ekseni arasındaki açıdır .
  • (veya ) N ekseni ile X ekseni ( x- kavramı) arasındaki işaretli açıdır .

Euler iki arasındaki referans çerçevesi de çerçeveler aynı olması durumunda tanımlanmıştır açıları ellilik .

İç rotasyonlara göre kurallar

İç rotasyonlar, hareketli bir cisme bağlı XYZ koordinat sisteminin eksenleri etrafında meydana gelen temel rotasyonlardır . Bu nedenle, her elementel rotasyondan sonra oryantasyonlarını değiştirirler. XYZ sistemi döner iken, xyz sabitlenir. İle başlayarak , XYZ örtüşen xyz üç iç dönüşlere ilişkin bir bileşim için, herhangi bir hedef yön ulaşmak için kullanılabilir XYZ .

Euler açıları içsel rotasyonlarla tanımlanabilir. Döndürülmüş çerçeve XYZ'nin , Euler açıları ile temsil edilen üç temel rotasyona girmeden önce, başlangıçta xyz ile hizalandığı düşünülebilir . Ardışık yönelimleri aşağıdaki gibi gösterilebilir:

  • x - y - z veya x 0 - y 0 - z 0 (başlangıç)
  • x ′- y ′- z ′ veya x 1 - y 1 - z 1 (ilk dönüşten sonra)
  • x ″- y ″- z ″ veya x 2 - y 2 - z 2 (ikinci dönüşten sonra)
  • X - Y - Z veya x 3 - y 3 - z 3 (son)

Yukarıda listelenen döndürme dizisi için, N düğümlerinin çizgisi , ilk temel döndürmeden sonra X'in yönü olarak basitçe tanımlanabilir . Dolayısıyla, N basitçe x ' olarak gösterilebilir . Ayrıca, üçüncü temel rotasyon Z etrafında gerçekleştiğinden , Z'nin yönünü değiştirmez . Dolayısıyla Z , z ″ ile çakışır . Bu, Euler açılarının tanımını aşağıdaki gibi basitleştirmemizi sağlar:

  • α (veya ) z ekseni etrafında bir dönüşü temsil eder ,
  • β (veya ) x ′ ekseni etrafında bir dönüşü temsil eder ,
  • γ (veya ) z ″ ekseni etrafında bir dönüşü temsil eder .

Dış rotasyonlara göre kurallar

Dış rotasyonlar, sabit koordinat sistemi xyz'nin eksenleri etrafında meydana gelen temel rotasyonlardır . XYZ sistemi döner iken, xyz sabitlenir. İle başlayarak , XYZ örtüşen xyz , üç dış dönüşlere ilişkin bir bileşim için, herhangi bir hedef yön ulaşmak için kullanılabilir XYZ . Euler veya Tait-Bryan açıları ( α , β , γ ) bu temel rotasyonların genlikleridir. Örneğin, hedef oryantasyona aşağıdaki gibi ulaşılabilir (Euler açısı uygulamasının ters sırasına dikkat edin):

  • XYZ ilgili sistem döner z eksen y . X ekseni açısı şimdi de y ile ilgili X ekseni.
  • XYZ sistemi döndüğü tekrar ancak bu konuda zaman x ile eksen P . Z ekseni açısı şimdi de P ile ilgili olarak Z ekseni.
  • XYZ ilgili sistem, üçüncü kez döner z açısı ile, daha eksen a .

Özetle, z , x ve z etrafında üç temel dönüş meydana gelir . Gerçekten de, bu dizi genellikle z - x - z (veya 3-1-3) olarak gösterilir. Hem uygun Euler açıları hem de Tait-Bryan açıları ile ilişkili dönme ekseni kümeleri, genel olarak bu gösterim kullanılarak adlandırılır (ayrıntılar için yukarıya bakın).

İşaretler, aralıklar ve sözleşmeler

Açılar genellikle sağ el kuralına göre tanımlanır . Yani, eksenin pozitif yönüne bakıldığında saat yönünde görünen bir dönüşü temsil ettiklerinde pozitif değerlere, dönüş saat yönünün tersine göründüğünde negatif değerlere sahiptirler. Tersi konvansiyon (sol el kuralı) daha az sıklıkla benimsenir.

Aralıklar hakkında ( aralık gösterimi kullanılarak ):

  • için a ve y , aralık tanımlanmıştır modülo 2 π radyan . Örneğin, geçerli bir aralık [− π ,  π ] olabilir .
  • için P , aralık kapakları tt radyan (ancak modülo olduğu söylenemez  π ). Örneğin, [0,  π ] veya [− π /2,  π /2] olabilir .

α , β ve γ açıları , xy ve XY düzlemlerinin özdeş olduğu tekil durum dışında , yani z ekseni ve Z ekseni aynı veya zıt yönlere sahip olduğunda benzersiz bir şekilde belirlenir . Gerçekten de, z ekseni ve Z ekseni aynıysa, β  = 0 ve yalnızca ( α  +  γ ) benzersiz olarak tanımlanır (bireysel değerler değil) ve benzer şekilde, z ekseni ve Z ekseni zıt ise, β  =  π ve yalnızca ( α  −  γ ) benzersiz olarak tanımlanır (tek değerler değil). Bu belirsizlikler, uygulamalarda gimbal kilidi olarak bilinir .

Uygun Euler açıları için dönme eksenlerini seçmenin altı olasılığı vardır. Hepsinde birinci ve üçüncü dönme eksenleri aynıdır. Altı olası dizi:

  1. z 1 - x ′- z 2 ″ (içsel dönüşler) veya z 2 - x - z 1 (dışsal dönüşler)
  2. x 1 - y ′- x 2 ″ (içsel dönüşler) veya x 2 - y - x 1 (dışsal dönüşler)
  3. y 1 - z ′- y 2 ″ (içsel dönüşler) veya y 2 - z - y 1 (dışsal dönüşler)
  4. z 1 - y ′- z 2 ″ (içsel dönüşler) veya z 2 - y - z 1 (dışsal dönüşler)
  5. x 1 - z ′- x 2 ″ (içsel dönüşler) veya x 2 - z - x 1 (dışsal dönüşler)
  6. y 1 - x ′- y 2 ″ (iç rotasyonlar) veya y 2 - x - y 1 (dış rotasyonlar)

Presesyon, nütasyon ve içsel rotasyon

Euler Dünya'nın temel hareketleri. İçsel (yeşil), Presesyon (mavi) ve Nutasyon (kırmızı)

Presesyon , nütasyon ve içsel rotasyon (spin), Euler açılarından birini değiştirirken diğer ikisini sabit bırakarak elde edilen hareketler olarak tanımlanır. Bu hareketler, dış çerçeve cinsinden veya birlikte hareket eden döndürülmüş gövde çerçevesi cinsinden değil, bir karışım halinde ifade edilir. Birinci açının düğümler çizgisini dış eksen z etrafında hareket ettirdiği, ikincisinin düğümlerin çizgisi N etrafında döndüğü ve üçüncünün , gövdeye sabitlenmiş bir eksen olan Z etrafında içsel bir dönüş olduğu karma bir dönme eksenleri sistemi oluştururlar. bu hareket eder.

Statik tanım şu anlama gelir:

  • α (presesyon) z ekseni etrafında bir dönüşü temsil eder ,
  • β (nütasyon) N veya x' ekseni etrafında bir dönüşü temsil eder ,
  • γ (iç rotasyon), Z veya z″ ekseni etrafında bir dönüşü temsil eder .

Eğer β sıfır, yaklaşık hiçbir dönüş olmadığı N . Sonuç olarak, Z z ile çakışır , α ve γ aynı eksen ( z ) etrafındaki dönüşleri temsil eder ve nihai oryantasyon, α + γ'ye eşit bir açıyla z etrafında tek bir dönüşle elde edilebilir .

Örnek olarak, bir üst düşünün . Üst kısım kendi simetri ekseni etrafında döner; bu onun içsel rotasyonuna karşılık gelir. Aynı zamanda, eksen ekseni etrafında dönen kütle merkezi ile kendi ekseni etrafında da döner; bu rotasyon bir presesyondur. Son olarak, üst kısım yukarı ve aşağı sallanabilir; eğim açısı nütasyon açısıdır. Aynı örnek dünyanın hareketlerinde de görülebilir.

Her üç hareket de bazı çerçevelerde sabit katsayılı bir döndürme operatörü tarafından temsil edilebilmesine rağmen, bu operatörler tarafından aynı anda temsil edilemezler. Bir referans çerçevesi verildiğinde, bunlardan en fazla biri katsayısız olacaktır. Sadece presesyon, diğer açıların bağımlılıkları olmaksızın uzay bazında genel olarak bir matris olarak ifade edilebilir.

Bu hareketler aynı zamanda bir gimbal seti gibi davranır. Bir gimbal gibi her birini bir öncekine göre tek bir açıya göre hareket ettirebilen bir çerçeve kümesi varsayarsak, bir dış sabit çerçeve, bir son çerçeve ve ortada iki çerçeve olacaktır. çerçeveler". Ortadaki ikisi, son çerçevenin uzayda herhangi bir yöne ulaşmasını sağlayan iki yalpa halkası olarak çalışır.

Tait-Bryan açıları

Tait-Bryan açıları. z - y ′- x ″ dizisi (iç rotasyonlar; N , y' ile çakışır ). Açı döndürme sırası ψ , θ , φ şeklindedir . Bu durumda ψ > 90° ve θ'nin negatif bir açı olduğuna dikkat edin.

İkinci tür formalizm, Peter Guthrie Tait ve George H. Bryan'dan sonra Tait-Bryan açıları olarak adlandırılır . Normalde havacılık uygulamaları için kullanılan bir kuraldır, böylece sıfır derecelik yükseklik yatay konumu temsil eder. Tait-Bryan açıları, uçağın dünya çerçevesine göre yönünü temsil eder. Diğer araçlarla uğraşırken farklı eksen konvansiyonları mümkündür.

Tanımlar

Tait-Bryan açıları. z - x ′- y ″ dizisi (iç rotasyonlar; N , x ′ ile çakışır )

Tait-Bryan açıları için kullanılan tanımlar ve gösterimler, uygun Euler açıları için yukarıda açıklananlara benzerdir ( geometrik tanım , içsel dönüş tanımı , dışsal dönüş tanımı ). Tek fark, Tait-Bryan açılarının üç farklı eksen etrafındaki dönüşleri temsil etmesidir (örneğin x - y - z veya x - y ′- z ″), uygun Euler açıları ise hem birinci hem de üçüncü temel dönüşler için aynı ekseni kullanır ( örneğin, z - x - z veya z - x ′- z ″).

Bu , geometrik yapıda düğüm çizgisi için farklı bir tanım anlamına gelir . Uygun Euler açıları durumunda, iki homolog Kartezyen düzlem arasındaki kesişme olarak tanımlandı (Euler açıları sıfır olduğunda paralel; örneğin xy ve XY ). Tait-Bryan açıları durumunda, homolog olmayan iki düzlemin kesişimi olarak tanımlanır (Euler açıları sıfır olduğunda dik; örneğin xy ve YZ ).

Sözleşmeler

Hem gemide hem de yer izleme istasyonu için yerleşik ENU eksenlerini kullanan bir uçak için istikamet , yükseklik ve yatış açıları ( Z - Y ′- X ″). Sabit referans çerçevesi x - y - z , böyle bir izleme istasyonunu temsil eder. Yerleşik eksenler Y ve Z gösterilmemiştir. X yeşil renkte gösterilir. Bu şekil RHS kurallarına uymuyor: y ekseni, belirtilen pozitif açılarla bir RHS oluşturmak için tersine çevrilmelidir.

Üç tane dönmeler hareketsiz (kalır orijinal koordinat sistemi, bir eksen etrafında ya da oluşabilir dış rotasyonlar ), ya da her bir element dönme (sonra yönünü değiştirir rotasyonlu koordinat sisteminin ekseni etrafında iç dönmeler ).

Tait-Bryan açıları için dönme eksenlerini seçmenin altı olasılığı vardır. Altı olası dizi:

  • x - y ′- z ″ (iç rotasyonlar) veya z - y - x (dış rotasyonlar)
  • y - z ′- x ″ (içsel dönüşler) veya x - z - y (dışsal dönüşler)
  • z - x ′- y ″ (iç rotasyonlar) veya y - x - z (dış rotasyonlar)
  • x - z ′- y ″ (içsel dönüşler) veya y - z - x (dışsal dönüşler)
  • z - y ′- x ″ (içsel dönüşler) veya x - y - z (dışsal dönüşler): içsel dönüşler şu şekilde bilinir: sapma, eğim ve yuvarlanma
  • y - x ′- z ″ (içsel dönüşler) veya z - x - y (dışsal dönüşler)

İşaretler ve aralıklar

Asal eksenler hava norm göre bir uçağın DIN sabit ve mobil çerçeveleri açıları sıfır ile tesadüf olması gerektiğini 9300 Bildirimi. Bu nedenle, bu norm , referans sisteminde uyumlu bir eksen konvansiyonunu da zorlayacaktır.

Tait-Bryan kuralı, mühendislikte farklı amaçlarla yaygın olarak kullanılmaktadır. Hareketli ve sabit eksenlerin seçiminde pratikte birkaç eksen kuralı vardır ve bu kurallar açıların işaretlerini belirler. Bu nedenle, işaretler her durumda dikkatlice incelenmelidir.

ψ ve φ açılarının aralığı 2 π radyanı kapsar . İçin İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin aralık kapakları tt radyan.

alternatif isimler

Bu açılar normal olarak bir dış referans çerçevesinde ( pruva , kerteriz ), bir içsel hareketli çerçevede ( banka ) ve bir orta çerçevede, yatay düzleme göre bir yükseklik veya eğimi temsil eden olarak alınır. bu amaç için düğüm hattı.

Açı adlarını hatırlamak için anımsatıcılar

Bir uçak için, doğru sırada yapılırsa , ana eksenleri etrafında üç dönüş ile elde edilebilirler . Bir yalpalama kerterizi, bir adım yüksekliği verir ve bir merdane yatış açısını verir. Bu nedenle, havacılıkta bazen yalpalama, eğim ve yuvarlanma olarak adlandırılırlar . Rotasyonlar başka bir sırada uygulanırsa veya uçak eksenleri referans çerçevesine eşdeğer olmayan herhangi bir konumda başlarsa bunun işe yaramayacağına dikkat edin.

Tait-Bryan sonra açıları z - y '- X "(intrinsik dönmeler) Kongre, aynı zamanda şu şekilde bilinmektedir deniz açılarda bir gemi veya uçakta yönünü açıklamak için kullanılabilir, çünkü, ya da kardan açılar İtalyan matematikçisinden ve Kardan süspansiyonunu ve Kardan eklemini ilk kez ayrıntılı olarak açıklayan fizikçi Gerolamo Cardano .

Belirli bir çerçevenin açıları

Z vektörünün projeksiyonları
Y vektörünün projeksiyonları

Yaygın bir problem, verilen bir çerçevenin Euler açılarını bulmaktır. Bunları elde etmenin en hızlı yolu, verilen üç vektörü bir matrisin sütunları olarak yazmak ve teorik matrisin ifadesi ile karşılaştırmaktır (daha sonraki matris tablosuna bakın). Böylece üç Euler Açısı hesaplanabilir. Yine de aynı sonuca matris cebirinden kaçınarak ve sadece elementel geometriyi kullanarak ulaşılabilir. Burada en sık kullanılan iki kuralın sonuçlarını sunuyoruz : uygun Euler açıları için ZXZ ve Tait–Bryan için ZYX . Sadece eksenlerin adını değiştirerek başka herhangi bir kuralın elde edilebileceğine dikkat edin.

Uygun Euler açıları

Ana diyagramda olduğu gibi koordinatları ile verilen birim vektörleri ( X , Y , Z ) olan bir çerçeveyi varsayarsak , şunu görebiliriz:

Dan beri

için elimizdeki

Olarak , yekpare bir vektörün çift çıkıntıdır

için benzer bir yapı vardır, ilk önce onu z ekseni ve düğümler çizgisi tarafından tanımlanan düzlem üzerine yansıtır . Düzlemler arasındaki açı ve olduğundan , bu şuna yol açar:

ve son olarak, ters kosinüs fonksiyonunu kullanarak ,

Tait-Bryan açıları

Üç Tait-Bryan dönüşünden sonra x ekseni projeksiyonları . Teta'nın y ′ ekseni etrafında negatif bir dönüş olduğuna dikkat edin .

Bu yeni diyagramdaki gibi koordinatları tarafından verilen birim vektörleri ( X , Y , Z ) olan bir çerçeveyi varsayarsak (teta açısının negatif olduğuna dikkat edin), şu şekilde görülebilir:

Eskisi gibi,

için elimizdeki

öncekine benzer bir şekilde:

Öncekilere benzer ifadeler aranıyor:

Son açıklamalar

Ters sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının argüman için iki olası değer verdiğini unutmayın. Bu geometrik tanımlamada çözümlerden sadece biri geçerlidir. Euler açıları bir dönüş dizisi olarak tanımlandığında, tüm çözümler geçerli olabilir, ancak açı aralıkları içinde yalnızca bir tane olacaktır. Bunun nedeni, aralıklar daha önce tanımlanmamışsa, hedef çerçeveye ulaşmak için dönüş dizisinin benzersiz olmamasıdır.

Hesaplama amacıyla açıları atan2 ( y , x ) kullanarak göstermek faydalı olabilir . Örneğin, uygun Euler açıları durumunda:

Diğer oryantasyon temsillerine dönüştürme

Euler açıları, yönelimleri temsil etmenin bir yoludur. Başkaları da var ve diğer sözleşmelere geçiş yapmak mümkündür. 3 boyutlu Öklid uzayında yönelimleri tanımlamak için her zaman üç parametre gereklidir . Euler açıları da dahil olmak üzere birkaç şekilde verilebilirler; diğerleri için SO(3) üzerindeki çizelgelere bakın .

En çok kullanılan oryantasyon gösterimi, 3B rotasyonları temsil etmek için başka bir mekanizma sağlayan Euler-Rodrigues parametreleri olarak da bilinen rotasyon matrisleri , eksen açısı ve kuaterniyonlardır . Bu, özel üniter grup tanımına eşdeğerdir.

Döndürmeleri matrisler yerine birim kuaterniyonlar olarak 3B olarak ifade etmenin bazı avantajları vardır:

  • Birleştirme rotasyonları, hesaplama açısından daha hızlı ve sayısal olarak daha kararlıdır.
  • Dönme açısını ve eksenini çıkarmak daha basittir.
  • İnterpolasyon daha basittir. Örneğin slerp'e bakın .
  • Kuaterniyonlar , Euler açılarının yaptığı gibi gimbal kilitten muzdarip değildir .

Ne olursa olsun, döndürme matrisi hesaplaması, diğer iki gösterimi elde etmek için ilk adımdır.

döndürme matrisi

Bilinen bir standart oryantasyondan başlayarak üç temel rotasyon oluşturularak herhangi bir oryantasyon elde edilebilir. Eşdeğer olarak, herhangi bir rotasyon matrisi R , üç temel rotasyon matrisinin bir ürünü olarak ayrıştırılabilir . Örneğin:

z , y , x , (bu sırayla) eksenleri etrafındaki dış rotasyonların bir bileşimini veya x - y ′- z ″ eksenleri etrafındaki içsel rotasyonların bir bileşimini (bu sırayla) temsil etmek için kullanılabilen bir döndürme matrisidir . Bununla birlikte, hem X , Y , Z elementel rotasyon matrislerinin tanımı hem de bunların çarpma sırası, kullanıcının hem rotasyon matrislerinin hem de Euler açılarının tanımı hakkında yaptığı seçimlere bağlıdır (örneğin, bkz . matrisler ). Ne yazık ki, farklı bağlamlarda kullanıcılar tarafından farklı kurallar kümesi benimsenmiştir. Aşağıdaki tablo, bu kurallar dizisine göre oluşturulmuştur:

  1. Her matrisin sütun vektörlerini önceden çarparak çalışması amaçlanmıştır (dönme matrislerinin tanımındaki Belirsizliklere bakın )
  2. Her matrisin aktif bir dönüşü temsil etmesi amaçlanır (birleşen ve oluşan matrislerin, ilk sabit referans çerçevesinde tanımlanan vektörlerin koordinatları üzerinde hareket etmesi ve sonuç olarak aynı referans çerçevesinde tanımlanan döndürülmüş bir vektörün koordinatlarını vermesi beklenir).
  3. Her matris, öncelikle, içsel rotasyonların bir bileşimini ( dönen referans çerçevesinin eksenleri etrafında) ve ikincil olarak, üç dış rotasyonun bileşimini (bu, üçün çarpımı ile R matrisinin yapıcı değerlendirmesine karşılık gelir) temsil eder. gerçekten temel matrisler, ters sırada).
  4. Sağ el referans çerçeveleri benimsenmiştir ve α , β , γ açılarının işaretini belirlemek için sağ el kuralı kullanılmıştır .

Basitlik adına, aşağıdaki matris ürünleri tablosu aşağıdaki terminolojiyi kullanır:

  1. 1, 2, 3, a , β ve y açılarını temsil eder , yani sırasıyla birinci, ikinci ve üçüncü temel dönüşlere karşılık gelen açılar.
  2. X , Y , Z sabit çerçevenin x , y , z eksenleri etrafındaki temel dönüşleri temsil eden matrislerdir (örneğin, X 1 α açısı ile x etrafında bir dönüşü temsil eder ).
  3. s ve c sinüs ve kosinüs (örneğin, temsil s 1 sinüs temsil a ).
Uygun Euler açıları Tait-Bryan açıları

Bu tablo halindeki sonuçlar çok sayıda ders kitabında mevcuttur. Her sütun için son satır en sık kullanılan kuralı oluşturur.

Pasif dönüşler için formülleri değiştirmek (veya ters aktif dönüşü bulmak), matrisleri transpoze edin (daha sonra her matris, döndürülmüş referans sisteminde ölçülen aynı vektörün koordinatlarına sabit kalan bir vektörün başlangıç ​​koordinatlarını dönüştürür; aynı dönüş ekseni, aynı açılar, ancak şimdi vektör yerine koordinat sistemi dönüyor).

Aşağıdaki tablo bir döndürme matrisinin elemanlarından α , β ve γ açıları için formüller içerir .

Uygun Euler açıları Tait-Bryan açıları

Özellikler

Euler meydana açıları grafik tüm ilgili SO (3) , özel bir ortogonal grubu 3D uzayda rotasyonların. Grafik, β = 0 boyunca bir kutupsal koordinat stili tekilliği dışında düzgündür . Daha eksiksiz bir tedavi için SO(3) üzerindeki çizelgelere bakın .

Döndürme alanı "genel olarak adlandırılır rotasyonlar Hipersilindir bu yanlış bir isimlendirmedir da,": Grup Spin (3) olan izometrik hiperküredir için S 3 , ama dönme alanı (3), bunun yerine izometriktir gerçek yansıtmalı hiperkürenin 2 katlı bölüm uzayı olan uzay RP 3 . Bu 2'ye 1 belirsizlik, fizikteki spinin matematiksel kökenidir .

Benzer bir üç açı ayrışma için geçerlidir SU (2) , özel bir birim grubu farkıyla, karmaşık 2D uzayda rotasyonlar β 0 ila 2 arasında değişir tt . Bunlara Euler açıları da denir.

Haar ölçüsü Euler SO (3) için SO Hopf açısı parametre ayarı (3) ile verilir açıları, , burada parametrelendirmek , dönme eksenlerinin alanı.

Örneğin, tekdüze rastgele yönelimler oluşturmak için, α ve γ 0'dan 2 π'ye kadar tek tip olsun, z -1'den 1'e kadar düzgün olsun ve β = arccos( z ) olsun .

geometrik cebir

Euler açılarının ve dönmelerin genel olarak diğer özellikleri , kuaterniyonların bir çift alt cebir olduğu daha yüksek bir soyutlama olan geometrik cebirden bulunabilir . Geometrik cebir başlıca aracı rotoru dönüş açısı , dönme eksenine (üniter vektör) ve pseudoscalar (Üçlü Vektör olarak )

Daha yüksek boyutlar

Üçten büyük boyutlarda Euler açılarına benzer parametreler tanımlamak mümkündür.

Dönme matrisinin serbestlik derecesi sayısı her zaman matrisin karesinin boyutundan küçüktür. Yani, bir döndürme matrisinin elemanlarının tamamı tamamen bağımsız değildir. Örneğin, boyut 2'deki döndürme matrisi, dört elemanının tümü tek bir dönme açısına bağlı olduğundan yalnızca bir serbestlik derecesine sahiptir. Boyut 3'teki (dokuz elemanlı) bir rotasyon matrisi, örneğin üç Euler açısı veya bir büyüklük bir (birim) dördü ile her bağımsız rotasyona karşılık gelen üç serbestlik derecesine sahiptir.

Gelen SO (4) rotasyon matrisi , iki quaternions ile tanımlanır , ve 6-parametrik (her quaternion için üç serbestlik derecesi) etmektir. 4 x 4 rotasyon matrisleri nedenle 6 16 üzerinden bağımsız bileşenlere sahiptir.

Dönme matrisini tanımlayan herhangi bir 6 parametre seti, Euler açılarının 4 boyutuna bir uzantısı olarak düşünülebilir.

Genel olarak, D boyutundaki euler açılarının sayısı D'de ikinci derecedendir; Herhangi bir dönüş boyutta mevcut devir sayısı arasındaki döndürülmesi iki boyutu tercih oluştuğu için olduğu için, verim .

Uygulamalar

Araçlar ve hareketli çerçeveler

Diğer oryantasyon açıklamalarına göre ana avantajları, bir araca monte edilmiş bir yalpa çemberinden doğrudan ölçülebilir olmalarıdır. Jiroskoplar dönme eksenini sabit tuttuğundan, bir jiroskop çerçevesinde ölçülen açılar, laboratuvar çerçevesinde ölçülen açılara eşdeğerdir. Bu nedenle, hareket eden uzay aracının gerçek yönünü bilmek için jiroskoplar kullanılır ve Euler açıları doğrudan ölçülebilir. İçsel dönüş açısı tek bir gimbalden okunamaz, bu nedenle bir uzay aracında birden fazla gimbal olması gerekir. Normalde fazlalık için en az üç tane vardır. Ayrıca makine mühendisliğinin iyi bilinen gimbal kilit problemiyle de bir ilişkisi vardır  .

Genel olarak katı cisimleri incelerken, xyz sistem uzay koordinatları ve XYZ sistem gövde koordinatları denir . Uzay koordinatları hareketsiz olarak kabul edilirken vücut koordinatları hareketli cisme gömülü olarak kabul edilir. İle ilgili hesaplar ivme , açısal ivme , açısal hız , açısal momentumu ve kinetik enerjiyi daha sonra atalet tensör momenti zamanında değişmez, çünkü vücut koordinatlarında genellikle kolay olanlardır. Eğer katı cismin atalet tensör momenti de (altısı bağımsız dokuz bileşenli) köşegenleştirilirse, atalet tensör momentinin sadece üç bileşene sahip olduğu bir dizi koordinat (asıl eksenler olarak adlandırılır) vardır.

Katı bir cismin açısal hızı , hareketli çerçevede Euler açıları kullanılarak basit bir biçim alır . Ayrıca Euler'in katı cisim denklemleri daha basittir çünkü eylemsizlik tensörü bu çerçevede sabittir.

kristalografik doku

Yüksek enerjili X-ışınları ile ölçüldüğü gibi, bir alfa2-gama alaşımında gama-TiAl'in kristalografik dokusunu gösteren kutup figürleri.

Malzeme biliminde, kristalografik doku (veya tercih edilen yön) Euler açıları kullanılarak tanımlanabilir. Doku analizinde, Euler açıları, bir polikristal malzeme içindeki tek tek kristalitlerin oryantasyonunun matematiksel bir tasvirini sağlar ve makroskopik malzemenin nicel tanımına izin verir. Açıların en yaygın tanımı Bunge'den kaynaklanmaktadır ve ZXZ kuralına karşılık gelmektedir . Bununla birlikte, uygulamanın genellikle tensör miktarlarının eksen dönüşümlerini, yani pasif dönüşleri içerdiğini belirtmek önemlidir. Bu nedenle, Bunge Euler açılarına karşılık gelen matris, yukarıdaki tabloda gösterilenin devrikidir.

Diğerleri

Bir dökümhanede çalışan endüstriyel robot

Euler açıları, normalde Tait-Bryan kuralında, bir bileğin serbestlik dereceleri hakkında konuşmak için robotikte de kullanılır . Aynı şekilde elektronik stabilite kontrolünde de kullanılırlar .

Silah atış kontrol sistemleri, güverte eğimini (eğim ve yuvarlanma) telafi etmek için silah sırası açılarında (yön ve yükseklik) düzeltmeler gerektirir. Geleneksel sistemlerde, dikey dönüş eksenine sahip dengeleyici bir jiroskop, güverte eğimini düzeltir ve optik nişangahları ve radar antenini dengeler. Ancak, silah namluları, diğer faktörlerin yanı sıra, hedef hareketini ve merminin yerçekimi nedeniyle düşmesini tahmin etmek için hedefin görüş hattından farklı bir yöne bakar. Tabanca yuvaları güverte düzlemi ile birlikte yuvarlanır ve eğilir, ancak aynı zamanda stabilizasyon gerektirir. Silah siparişleri, dikey gyro verilerinden hesaplanan açıları içerir ve bu hesaplamalar Euler açılarını içerir.

Euler açıları, açısal momentumun kuantum mekaniğinde de yaygın olarak kullanılmaktadır. Kuantum mekaniğinde, SO(3) temsillerinin açık tanımları hesaplamalar için çok önemlidir ve hemen hemen tüm çalışmalar Euler açıları kullanılarak yapılmıştır. Kuantum mekaniğinin erken tarihinde, fizikçiler ve kimyagerlerin soyut grup teorik yöntemlerine ( Gruppenpest denir ) karşı keskin bir olumsuz tepki gösterdiğinde , temel teorik çalışma için Euler açılarına güvenmek de gerekliydi.

Birçok mobil bilgisayar cihazı, bu cihazların Euler açılarını dünyanın yerçekimi çekimine göre belirleyebilen ivmeölçerler içerir . Bunlar oyunlar, kabarcık seviyesi simülasyonları ve kaleydoskoplar gibi uygulamalarda kullanılır .

Ayrıca bakınız

Referanslar

bibliyografya

Dış bağlantılar