Woodin Kardinal - Woodin cardinal

Gelen set teorisi , bir Woodin kardinal (adını W. Hugh Woodin ) bir olan kardinal sayı öyle λ tüm fonksiyonlar için

f  : λ → λ

bir kardinal var κ <λ ile

{ f (β) | β <κ} ⊆ κ

ve temel bir yerleştirme

j  : V → M

adlı Von Neuman evrenin V geçişli içine iç modeli M ile kritik nokta k ve

V _{j (f) (κ)} ⊆ M .

Eşdeğer bir tanım şudur: λ Woodin olduğunu ve ancak eğer λ olduğunu kuvvetle ulaşılmaz ve herkes için bir vardır <λ olan - -strong. ${\ displaystyle A \ subseteq V _ {\ lambda}}$${\ displaystyle \ lambda _ {A}}$${\ displaystyle <\ lambda}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ lambda _ {A}}$ olmak - -strong araçları tüm bu sıra sayıları α <λ, orada mevcut bir olan temel gömme ile kritik nokta , , ve . (Ayrıca bkz . Güçlü kardinal .) ${\ displaystyle <\ lambda}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle j: V \ ila M}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {A}}$${\ displaystyle j (\ lambda _ {A})> \ alpha}$${\ displaystyle V _ {\ alpha} \ subseteq M}$${\ displaystyle j (A) \ cap V _ {\ alpha} = A \ cap V _ {\ alpha}}$

Bir Woodin ana bir öncesinde sabit seti arasında ölçülebilir cardinals , ve bu nedenle a, Mahlo ana . Bununla birlikte, ilk Woodin kardinali zayıf bir şekilde kompakt bile değildir .

Sonuçlar

Woodin kardinalleri, tanımlayıcı küme teorisinde önemlidir . Martin ve Steel'in bir sonucu olarak , sonsuz sayıda Woodin kardinalinin varlığı yansıtmalı belirleyiciliği ima eder, bu da her projektif kümenin Lebesgue ölçülebilir olduğunu, Baire özelliğine sahip olduğunu gösterir ( yetersiz bir küme , yani bir küme ile açık bir kümeden farklıdır) Bu, hiçbir yerde yoğun olmayan kümelerin sayılabilir bir birleşimidir ) ve mükemmel küme özelliği (sayılabilir veya mükemmel bir alt küme içerir ).

Woodin kardinallerinin varlığının tutarlılığı, belirlilik hipotezleri kullanılarak kanıtlanabilir. ZF + AD + DC'de çalışmak , Woodin'in kalıtsal olarak sıralı tanımlanabilir kümeler sınıfında olduğunu kanıtlayabilir . sürekliliğin sıralı tanımlanabilir bir surjeksiyonla eşlenemeyeceği ilk sıra sayısıdır (bkz. Θ (küme teorisi) ). ${\ displaystyle \ Theta _ {0}}$${\ displaystyle \ Theta _ {0}}$

Shelah bir Woodin kardinal varlığı tutarlı ise o zaman ω üzerinde durağan olmayan ideal bir o tutarlı olduğunu kanıtladı ₁ edilmektedir -doymuş. Woodin ayrıca, sonsuz sayıda Woodin kardinalinin varlığının eşit tutarlılığını ve aşırı bir idealin varlığını da kanıtladı . ${\ displaystyle \ aleph _ {2}}$${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$

Hyper-Woodin kardinalleri

Bir kardinal κ hiper-Woodin olarak adlandırılır, eğer U üzerinde normal bir U ölçüsü varsa , öyle ki her S seti için,

{λ <κ | λ, <κ- S - güçlü }

içinde U .

λ, <κ-S-güçlüdür ancak ve ancak her δ <κ için geçişli bir N sınıfı ve bir temel yerleştirme varsa

j: V → N

ile

λ = kritik (j),

j (λ) ≥ δ ve

${\ displaystyle j (S) \ cap H _ {\ delta} = S \ cap H _ {\ delta}}$ .

İsim, bir kardinalin Woodin olduğu klasik sonucunu ima eder, ancak ve ancak her S seti için set

{λ <κ | λ, <κ- S - güçlü }

a, sabit resim

U ölçüsü , κ altındaki tüm Shelah kardinallerinin setini içerecektir .

Zayıf hiper Woodin kardinalleri

Her S kümesi için κ üzerinde normal bir U ölçüsü varsa , bir kardinal κ zayıf hiper-Woodin olarak adlandırılır , öyle ki {λ <κ | λ, <κ- S -strong } U dedir . λ <κ-S-güçlüdür, ancak ve ancak her δ <κ için geçişli bir N sınıfı ve λ = crit (j), j (λ)> = δ ve j (λ)> = δ ile temel bir gömme j: V → N varsa ve ${\ displaystyle j (S) \ cap H _ {\ delta} = S \ cap H _ {\ delta}.}$

İsim, klasik sonuca, eğer her S kümesi için bir kardinalin Woodin olduğunu ima eder , {λ <κ | λ, <κ- S - güçlü } durağandır.

Hyper-Woodin kardinalleri ile zayıf hiper-Woodin kardinalleri arasındaki fark, U seçiminin, hiper-Woodin kardinaller için S setinin seçimine bağlı olmamasıdır .

Notlar ve referanslar

daha fazla okuma

• Kanamori, Akihiro (2003). Yüksek Sonsuz: Başlangıcından Küme Teorisinde Büyük Kardinaller (2. baskı). Springer. ISBN   3-540-00384-3 .
• Sonuçlarda listelenen iki sonucun kanıtları için Handbook of Set Theory'ye (Eds. Foreman, Kanamori, Magidor) (görünecek) bakınız. Bazı bölümlerin taslakları mevcuttur.
• Ernest Schimmerling, Woodin cardinals , Shelah cardinals ve Mitchell-Steel çekirdek modeli , Proceedings of the American Mathematical Society 130/11, s. 3385–3391, 2002, çevrimiçi
• Steel, John R. (Ekim 2007). "Woodin Kardinal nedir?" ( PDF ) . American Mathematical Society'nin Bildirimleri . 54 (9): 1146–7 . Erişim tarihi: 2008-01-15 .