Von Staudt-Clausen teoremi - Von Staudt–Clausen theorem

Gelen sayı teorisi , von Staudt-Clausen teoremi belirleyen bir sonucudur kesirli kısmı arasında Bernoulli sayı ile, bağımsız bir şekilde bulunan, Karl von STAUDT  ( 1840 ) ve Thomas Clausen  ( 1840 ).

Özellikle, n pozitif bir tamsayıdır ve 1 / ekleme p Bernoulli sayı B _{2 , n} her için asal p şekilde p 1 - bölme 2 , n , biz bir tam sayıyı elde etmek, yani, ${\ Displaystyle b_ {2n} + \ toplamı _ {(p-1). | 2n} {\ frac {1} {s}} \ in \ mathbb {Z}}$

Bu durum, hemen sıfır olmayan Bernoulli sayıları arasında payda karakterize olanak sağlıyor B _{2 , n} tüm ürün olarak asal p şekilde p 1 - bölme 2 , n ; dolayısıyla paydası olan kare serbest ve 6 ile bölünebilir.

Bunlar paydası olan

6, 30, 42, 30, 66, 2730, 6, 510, 798, 330, 138, 2730, 6, 870, 14.322, 510, 6, 1.919.190, 6, 13530, ... (dizi A002445 içinde OEIS ) .

Kanıt

Von Staudt-Clausen teoreminin bir kanıtıdır Bernoulli sayı için açık bir formül aşağıdaki gibidir:

${\ Displaystyle b_ {2n} = \ toplamı _ {j = 0} ^ {2n} {\ frac {1}, {j + 1}} \ toplamı _ {m = 0} ^ {j} - {(1) ^ {m} {j \ seçin m} m ^ {2n}}}$

ve bir doğal sonucu olarak:

${! \ Displaystyle b_ {2n} = \ toplamı _ {j = 0} ^ {2n} {\ frac {j} {j + 1}} (- 1) ^ {j} S (2-N, j)}$

nerede olduğu ikinci türden Stirling sayıları . ${\ Displaystyle S (n, i)}$

Ayrıca, aşağıdaki lemmaları ihtiyaç vardır:
p sonra asal bir sayı, olsun
1 . Eğer p-1 2n ayırır , sonra

${\ Displaystyle \ toplamı _ {m = 0} ^ {p-1} - {(1) ^ {m} {p-1 \ m} m ^ {2n}} \ equiv {-1} {tercih \ PMOD { p}}}$

2 . Eğer p-1 2n bölmek değil , sonra

${\ Displaystyle \ toplamı _ {m = 0} ^ {p-1} - {(1) ^ {m} {p-1 \} m tercih m ^ {2n}} \ eşdeğer 0 {\ PMOD {s}} }$

Kanıtı (1) ve (2) : bir mesafede yer alır Fermat'ın küçük teoremi ,

${\ Displaystyle m ^ {p-1} \ ilâ 1 eşdeğer {\ PMOD {s}}}$

için . Eğer p-1 2n ayırır , sonra bir sahiptir ${\ Displaystyle m = 1,2, ..., p-1}$

${\ Displaystyle m ^ {2n} \ ilâ 1 eşdeğer {\ PMOD {s}}}$

için . Bundan sonra bir sahiptir ${\ Displaystyle m = 1,2, ..., p-1}$

${\ Displaystyle \ toplamı _ {m = 1} ^ {p-1} - {(1) ^ {m} {p-1 \ m} m ^ {2n}} \ eşdeğer \ toplamı tercih _ {m = 1} ^ {p-1} - {(1) ^ {m} {p-1 \ tercih m}} {\ PMOD {s}}}$

olan (1) hemen izler.
Eğer p-1 2n bölmek yok Fermat teoremi birine sahiptir ardından sonra,

${\ Displaystyle m ^ {2n} \ eşdeğer m ^ {2N (p-1)}, {\ PMOD {s}}}$

Tek izin verirse ( Greatest tamsayı işlevi sonra birine sahiptir yineleme sonra), ${\ Displaystyle \ WP = [{\ frac {2n} {p-1}}]}$

${\ Displaystyle m ^ {2n} \ eşdeğer m ^ {2N \ WP (p-1)}, {\ PMOD {s}}}$

için ve . Bundan sonra bir sahiptir ${\ Displaystyle m = 1,2, ..., p-1}$${\ Displaystyle 0 <2N- \ WP (p-1) <p-1}$

${\ Displaystyle \ toplamı _ {m = 0} ^ {p-1} - {(1) ^ {m} {p-1 \ m} m ^ {2n}} \ eşdeğer \ toplamı tercih _ {m = 0} ^ {p-1} - {(1) ^ {m} {p-1 \} m tercih m ^ {2N \ wP (p-1)}} {\ PMOD {s}}}$

Lemma (2) hemen üstünde ve aslında bu izler S ( n , j için) = 0 j > n .
(3) . O için olduğunu anlamak kolaydır a> 2 ve b> 2, ab böler (ab-1)! .
(4). İkinci tür Stirling sayıları tam sayılardır .

Teoremin ispatı : Şimdi Von-Staudt Clausen teoremini kanıtlamak için hazırdır,
varsa j + 1 kompozit ve j> 3 , sonra (3), j + 1 j böler dan !.
J = 3 için,

${\ Displaystyle \ toplamı _ {m = 0} ^ {3} - {(1) ^ {m} {3 \ tercih m} m ^ {2n}} = 3 \ cdot 2 ^ {2n} -3 ^ {2n } -3 \ eşdeğer 0 {\ PMOD {4}}}$

Eğer j + 1 asal sonra (1) ve (2) kullanımı durumunda ve j + 1 kompozit sonra (3) ve (4) kullanmak anlamak için:

${- | 2n} {\ frac {1} {s}} \ toplamı _ {(p-1) \ displaystyle b_ {2n} I_ {n} =}$

burada Von-Staudt Clausen teoremi olan bir tamsayıdır.${\ Displaystyle I_ {n}}$

Ayrıca bakınız

• Kummer'in ahenk

Referanslar

• Clausen, Thomas (1840), "Teorem", Astronomische Nachrichten , 17 (22): 351-352, doi : 10.1002 / asna.18400172204
• Rado, R. (1934), "v STAUDT bir teoreminin Yeni kanıtı", J. Londra Math. Soc. , 9 (2): 85-88, doi : 10,1112 / jlms / s1-9.2.85
• Von Staudt, Ch. (1840), "Beweis eines Lehrsatzes, Bernoullischen Zahlen betreffend die" , Journal für Reine und Angewandte Mathematik die , 21 : 372-374, ISSN  0075-4102 , ERAM  021.0672cj

Dış bağlantılar

• Weisstein Eric W. "von Staudt-Clausen Teoremi" . MathWorld'den .