Vitali seti - Vitali set

In matematik , bir Vitali seti bir dizi bir ilköğretim örnektir gerçek sayılar değil ölçülebilir Lebesgue tarafından bulunan, Giuseppe Vitali 1905. İn teoremi Vitali olan varlık teoremi böyle setleri olduğunu. Orada sayılamayacak sonsuzlukta Vitali setleri ve onların varlığı bağlıdır Seçim aksiyomu . 1970 yılında, Robert Solovay , erişilemeyen bir kardinalin varlığını varsayarak, tüm gerçek sayı kümelerinin Lebesgue ile ölçülebilir olduğu, seçim aksiyomu olmadan bir Zermelo-Fraenkel küme teorisi modeli oluşturdu (bkz. Solovay modeli ).

ölçülebilir kümeler

Bazı kümelerin belirli bir "uzunluğu" veya "kütlesi" vardır. Örneğin, [0, 1] aralığının uzunluğu 1 olarak kabul edilir; daha genel olarak, [ a , b ], ab aralığının b  -  a uzunluğuna sahip olduğu kabul edilir . Bu tür aralıkları tekdüze yoğunluğa sahip metal çubuklar olarak düşünürsek, bunların da aynı şekilde iyi tanımlanmış kütleleri vardır. [0, 1] ∪ [2, 3] kümesi bir uzunlukta iki aralıktan oluşur, bu nedenle toplam uzunluğunu 2 olarak alıyoruz. Kütle açısından, kütle 1 olan iki çubuğumuz var, yani toplam kütle 2.

Burada doğal bir soru var: E , gerçek çizginin keyfi bir alt kümesiyse, bir "kütlesi" veya "toplam uzunluğu" var mı? Bir örnek olarak, biz kümesi kütlesi ne isteyebilir rasyonel sayılar rationals olan aralığının kütlesi [0, 1] 1. olduğu göz önüne alındığında, yoğun , reals herhangi bir değer ile 0 ve 1 dahil bu yüzden makul görünebilir.

Ancak kütleye en yakın genelleme , Lebesgue ölçüsüne yol açan sigma toplamsallığıdır . Bu bir ölçüsüdür atar b - Bir aralık [üzere bir , b ], ancak, çünkü rasyonel sayılar kümesine 0 ölçüsüdür atar sayılabilir . İyi tanımlanmış bir Lebesgue ölçüsüne sahip olan herhangi bir kümenin "ölçülebilir" olduğu söylenir, ancak Lebesgue ölçüsünün yapısı (örneğin Carathéodory'nin genişleme teoremi kullanılarak ) ölçülemeyen kümelerin var olup olmadığını açıkça ortaya koymaz. Bu sorunun cevabı seçim aksiyomunu içerir .

İnşaat ve kanıt

Bir Vitali kümesi, gerçek sayıların [0, 1] aralığının bir alt kümesidir , öyle ki, her gerçek sayı için tam olarak bir rasyonel sayı olacak şekilde bir sayı vardır . Rasyonel sayılar için Vitali setleri mevcut S bir formu , normal bir alt grubunu gerçek sayılar R altında ilave ve bu katkı inşasına olanak sağlar bölüm grubu R / S tarafından oluşturulan grup, bu iki grup arasında kalan sınıfları rasyonel sayı olarak toplama altındaki gerçek sayıların bir alt grubu. Bu grup, R / S oluşur ayrık bir "kopya kaymıştır" Q bu bölüm grubunun her eleman formu bir dizi anlamında S + r bazı r içinde R . Sayılamayacak çok unsurları R / S bölüm R , ve her bir elemandır yoğun olarak R . R / Q'nun her öğesi [0, 1] ile kesişir ve seçim aksiyomu , R / Q'nun her öğesinden tam olarak bir temsilci içeren bir [0, 1] alt kümesinin varlığını garanti eder . Bu şekilde oluşan kümeye Vitali kümesi denir.

Her Vitali kümesi sayılamaz ve herhangi biri için irrasyoneldir .

ölçülemezlik

Rasyonel sayıların olası bir sayımı

Bir Vitali seti ölçülemez. Bunu göstermek için V'nin ölçülebilir olduğunu varsayıyoruz ve bir çelişki elde ediyoruz. Let q, 1 , q, 2 , ... rasyonel sayı bir numaralandırma olmak [-1, 1] (rasyonel sayılardır olduğu geri çağırma sayılabilir ). V'nin yapısından , çevrilmiş kümeler , k = 1, 2, ...'nin ikili olarak ayrık olduklarına dikkat edin ve ayrıca şunu not edin:

.

İlk içermeyi görmek için, [0, 1]'deki herhangi bir r gerçek sayısını göz önünde bulundurun ve v , eşdeğerlik sınıfı [ r ] için V'nin temsilcisi olsun ; daha sonra r - v = q i bir rasyonel sayı için q i içinde [-1, 1] olduğu sonucunu getirir r olan V i .

Sigma toplamsallığını kullanarak bu kapanımlara Lebesgue ölçüsünü uygulayın :

Lebesgue ölçüsü çeviri değişmez olduğundan ve bu nedenle

Ama bu imkansız. λ( V ) sabitinin sonsuz sayıda kopyasını toplamak , sabitin sıfır veya pozitif olmasına göre ya sıfır ya da sonsuz verir. Her iki durumda da [1, 3]'teki toplam değildir. Dolayısıyla V , sonuçta ölçülebilir olamaz, yani Lebesgue ölçüsü λ, λ( V ) için herhangi bir değer tanımlamamalıdır .

Ayrıca bakınız

Referanslar

bibliyografya